全等三角形的性质和判定.docx

全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边， 重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上， 这样容易 找出对应边、对应角.如下图，ABC与DEF全等，记作AABC也QEF，其中点 A和点D，点B和点E,点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和 DF是对应边；/ A和/D，/B 和 ZE，ZC和/F是对应角.要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等要点四、全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL ）全等三角形判定一（SSS, SAS）全等三角形判定1 “边边边”三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“ SSS'）.要点诠释： 如图，如果 A'B' = AB , A'C' = AC , B'C' = BC,则ABCA'B'C'.要点二、全等三角形判定2 “边角边”1.全等三角形判定2 “边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或要点诠释：如图，如果 AB = A'B' , ZA = / A', AC = A'C'，贝UAABC也zA'B'C'.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，AXBC 与AABD 中，AB = AB , AC = AD , ZB=ZB，但AABC 与AABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等， 两个三角形 不一定全等.【典型例题】 类型一、全等三角形的判定1 “边边边”1、已知：如图， RPQ中，RP= RQ , M为PQ的中点.求证：RM平分ZPRQ .证明：TM为PQ的中点（已知），PM = QM在RPM和RQM中，RP RQ（已知），PM QM,RM RM公共边 PM zRQM （SSS）. ZPRM =/QRM （全等三角形对应角相等）即RM平分ZPRQ.举一反三:【变式】已知：如图， AD = BC, AC = BD.试证明：/CAD =/DBC.类型二、全等三角形的判定2 “边角边”2、已知：如图，AB = AD , AC = AE, /1 =/2 .求证：BC= DE.证明： / + /CAD =/2 + ZCAD，即 ZBAC = /DAE 在/ABC和ZADE中AB ADBACDAEAC AE/ABC也zADE (SAS)BC = DE (全等三角形对应边相等)AB= CB, EB= DB ,ZABC = /EBD = 90 ° ）连接 AE、CD，试确定 AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论.证明：延长AE交CD于F,v/ABC和DBE是等腰直角三角形AB = BC, BD = BE在KBE和MBD中AB BCABE CBD 90BE BD ZABENBD (SAS)AE= CD, Z1 =/2又+ Z3 = 90 °,3 =/4 (对顶角相等) z2 +Z4 = 90。，即 AFC = 90 °AE 丄 CD举一反三:【变式】已知：如图,PC AC, PB AB , AP 平分ZBAC，且 AB = AC ,点 Q在 PA 上,求证：QC= QB类型三、全等三角形判定的实际应用G4、“三月三，放风筝” 下图是小明制作的风筝，他根据DE = DF, EH = FH ,不用度量，就知道/ DEH =/DFH 请你用所学的知识证明.【答案与解析】证明：在厶DEH和ADFH中,DE = DFEH = FHDH DH/.ZDEH 也QFH(SSS)一、选择题1. KBC 和A'B'C'中，若 AB = A'B' , BC= B'C', AC = A'C'.则（）A. BC 也ZA'C'B'B. ABC 也ZA'B'C'C. ABC 也'A'B'D. ABC 也zC'B'A'2.如图，已知AB = CD , AD = BC,则下列结论中错误的是（）A. AB /DCB.ZB = /DC.ZA = /CD.AB = BC3.下列判断正确的是（）A. 两个等边三角形全等B. 三个对应角相等的两个三角形全等C. 腰长对应相等的两个等腰三角形全等D. 直角三角形与锐角三角形不全等6.如图，已知 AB丄BD于B, ED丄BD于D , AB = CD , BC = ED,以下结论不正确的是（）A. EC 丄 ACB.EC= ACC.ED + AB = DB D.DC = CB、填空题时，就可9.如图，在AABC和EFD中，AD = FC, AB = FE,当添加条件 得ABC 也FD (SSS)Z2 = 30 °，3= 26。，贝U£BE=DCD , AC = BD，贝U AABC宅,KDC 笔三、解答题13.已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于0, ZADC/BCD，AD = BC，AB = CD.求证：AD /BC.分析：要证AD /BC，只要证Z又需证s证明： AB /CD ()， Z ( )在八和厶中，(),(),( ),Asa()Z ()/ ( )15.如图，已知 AB = DC, AC = DB , BE= CE 求证：AE= DE.全等三角形判定3 “角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ ASA ”）.要点诠释：如图，如果/A =/A' ,AB = A'B', ZB = Z B'，则ABC也ZA'B'C'.A要点二、全等三角形判定4 “角角边”1. 全等三角形判定4 “角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“ AAS ”）2. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在AABC 和AADE 中，如果 DE/BC，那么ZADE = /B,/AED = /C,又/A =ZA，但SBC和8DE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不定全等要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表:已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS类型一、全等三角形的判定3 “角边角”1、已知：如图，E, F 在 AC 上，AD /CB 且 AD = CB,/D = /B .'/A =/C在KDF与:BE中A CAD CBD B DF 也QBE (ASA)AF = CE , AF+ EF= CE+ EF故得：AE= CF举一反三：【变式】如图，AB /CD , AF /DE, BE= CF求证：AB = CD.类型二、全等三角形的判定4 “角角边”2、已知：如图，AB 丄 AE, AD 丄 AC,/E=/B, DE = CB. 求证：AD = AC.证明：TAB丄AE, AD丄AC ,/CAD = /BAE = 90 °/CAD + ZDAB = /BAE +ZDAB ，即/BAC = /EAD在经AC和生AD中BAC EADB ECB=DE AC 也£AD (AAS)'AC = AD举一反三:【变式】如图，AD是AABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线 CF、BE.证明：TAD为ABC的中线'BD = CDBE丄 AD , CF丄 AD , zBEDZCFD = 90 ° ,在BED和CFD中BED CFDBDE CDF (对顶角相等)BD CD ED也/CFD (AAS )BE= CF3、已知：如图，AC与BD交于0点，AB /DC, AB = DC .(1) 求证：AC与BD互相平分；(2) 若过O点作直线I，分别交AB、DC于E、F两点，证明:TAB /DC./A = /C在KBO与ACDO中A = CAOB= COD (对顶角相等)AB=CDZABO 也 ADO (AAS)AO = CO , BO=DO在ZKEO和MFO中A = CAO二COAOE = COF (对顶角相等) ZAEO 也ZFO (ASA)OE = OF.一、选择题1.能确定ABC也ZEF的条件是 （）A.AB = DE,BC = EF,/A =/EB.AB = DE,BC = EF,/C=/EC./A = /E,AB = EF,ZB = /DD ./A =/D, AB = DE,ZB=ZE2 如图，已知 ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和 ABC全等的图形是 （）图4 3A .甲和乙B.乙和丙C .只有乙 D .只有丙3. AD是ABC的角平分线，作DE丄AB于E, DF丄AC于F,下列结论错误的6 .如图，/ 1 = Z2，Z3 = /4A. ADC zBCDC.ABO /CDOF面结论中错误的是（）B. ABD 也BACD . AOD 也OC是（ ）A. DE= DFB. AE = AFC . BD = CDD . ZADE = ZADF4.如图，已知MB=ND，/MBA =ZNDC，下列条件不能判定 ABM也DN的是（）A. ZM =/NB. AB = CDC . AM = CND . AM /CN、填空题7.女口图,/ 1 = / 2 ,要使 ABE ACE ,还需添加一个条件是.(填上你认为适当的一个条件即可).8. 在 AABC 和厶 A'B'C'中，/A = 44。，启=67°,£' = 69 ° ,zB' = 44。，且AC = B'C'，则这两个三角形 全等.(填“一定”或“不一定”)9. 已知，女口图，AB /CD，AF /DE, AF = DE，且 BE= 2 , BC = 10，贝U EF=11.如图,已知：Z1 =/2 , Z3 =/4 ,要证 BD = CD ,需先证ZAEB 也AEC ,根据是，再证ABDE也A，根据是12.已知:如图，/B=/DEF, AB = DE，要说明 AABC 也AEF,(1) 若以“ ASA”为依据，还缺条件 (2) 若以“ AAS”为依据，还缺条件 (3) 若以“ SAS”为依据，还缺条件 F三、解答题13 阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点0,且OA =0B，/A = /C.那么AA0D与COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由.答: AOD NOB .证明：在厶AOD和COB中，AC（已知），OA OB（已知），AODCOB（对顶角相等）, AOD FOB （ASA）.问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么?14.已知如图，E、F 在 BD 上，且 AB = CD，BF= DE，AE= CF,求证：AC 与BD互相平分.A15.已知：如图,AB 1/CD, OA = OD, BC过O点，点E、F在直线AOD上,且AE = DF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等， 或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了 这里用到的是“ AAS ”，“ ASA 或“ SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）这个判定方法是直角三角形所独有的，般三角形不具备【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定一一“ HL1、已知：如图，AB 丄 BD , CD 丄BD , AD = BC.求证：(1) AB = CD :(2) AD /BC.证明：(1) VAB 丄 BD , CD 丄 BD ,/ABD = ZCDB = 90 °在 Rt KBD 和 Rt:DB 中,AD= BCBD DB Rt KBD 李tMDB (HL)AB = CD (全等三角形对应边相等)(2 )由/ADB = /CBDAD /BC .举一反三：【变式】已知：如图， AE丄AB , BC丄AB , AE = AB , ED = AC.求证：ED±AC .2、B判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“X”，全(1)一个锐角和这个角的对边对应相等;等的注明理由:一个锐角和斜边对应相等;两直角边对应相等;一条直角边和斜边对应相等.举一反三:【变式】下列说法中，正确的画“V”;错误的画X”，并举出反例画出图形.(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.(3) 有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.(3、已知：如图，AC = BD , AD 丄 AC, BC 丄 BD .证明：连接DCAD 丄 AC , BC丄 BDzDAC = /CBD = 90在 Rt KDC 与 RtBCD 中，DC CDAC= BDRtADC 李tBCD (HL)AD = BC .(全等三角形对应边相等)举一反三：【变式】已知，如图，AC、BD相交于0，AC = BD , ZC=ZD = 90 求证：OC = OD.、如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线I的垂线，垂足分别为 D，E,请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程一、选择题1 .下列说法正确的是（）A .一直角边对应相等的两个直角三角形全等B .斜边相等的两个直角三角形全等C. 斜边相等的两个等腰直角三角形全等D .一边长相等的两等腰直角三角形全等3.能使两个直角三角形全等的条件是（）A.斜边相等B.锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A.形状相同B .周长相等C.面积相等D .全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A.定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7 .如图，BE,CD是ABC的高，且BD = EC,判定BCD也QBE的依据是“”8.已知，如图，/ A = /D = 90 °,BE= CF, AC = DE,贝ABC圣=90,AB = CE, BC= ED，贝U AC =10.如图，已知 AB 丄 BD 于 B, ED丄 BD 于 D , EC丄 AC , AC = EC,若 DE = 2 ,E为AC上一点,AC, FD = CD.则BE 交 AD 于 F, 且 BF=/BAD =三、解答题14.如图，已知 AB丄BC于B, EF丄AC于G, DF丄BC于D , BC= DF.求证:AC = EF.15.如图，已知 AB = AC, AE= AF, AE丄EC, AF丄BF,垂足分别是点 E、F.求证：/1 = /2.