全等三角形作辅助线专题一(重点：截长补短法)-可打印版精编版.doc

全等三角形作辅助线经典例题常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答一、倍长中线（线段）造全等1：已知，如图ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.2：如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.中考应用：以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由二、截长补短1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC2：如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证:ABAD+BC3：如图，已知在内，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求证： 5:如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC6如图，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，求BC的值 中考应用：如图，在四边形ABCD中，AD/BC，点E是AB上一个动点，若B=60°，AB=BC，且DEC=60°，判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。三、 找全等1. 已知：如图，在RtABC中，ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CEAD于E，交AB于F，连接DF求证：ADC=BDF2如图，ABC中，AB=AC，过点A作GEBC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明 四.借助角平分线造全等说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等练习：1 已知：ABC中，BD=CD，12求证：AD平分BAC2.如图22，ABCD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分ABC、BCD求证：AE=ED以角的平分线为对称轴构造对称图形例： 如图，在ABC中，AD平分BAC，C=2B求证：AB=AC+CD分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例： 如图，在ABC中，AD平分BAC，CEAD于E求证：ACE=B+ECD分析：注意到AD平分BAC，CEAD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形利用角的平分线构造等腰三角形如图，在ABC中，AD平分BAC，过点D作DEAB，DE交AC于点E易证AED是等腰三角形因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形 例： 如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，DEBD于D，交BC于点E求证：CD=BE全等三角形作辅助线·课后练习 1在ABC中，BAC=60º，C=40º，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q求证：AB+BP=BQ+AQ 2如图，在ABC中，AD平分BAC，AB=AC+CD求证：C=2B 3已知，E为ABC的A的平分线AD上一点，ABAC求证：AB-ACEB-EC 4如图，在四边形ABCD中，BCBA，AD=CD，BD平分ABC 求证：A+C=180º5如图所示，已知ADBC，1=2，3=4，直线DC过点E作交AD于点D，交BC于点C求证：AD+BC=AB 6已知，如图，ABC中，ABC=90º，AB=BC，AE是A的平分线，CDAE于D求证：CD=AE 7ABC中，AB=AC，A=100º，BD是B的平分线求证：AD+BD=BC 8如图，ABC中，AD平分BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点求证：AB=AC 9已知：如图，ABC中，AD是BAC的平分线，E是BC的中点，EFAD，交AB于M，交CA的延长线于F求证：BM=CF 10.如图，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD11.如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.中考应用: 如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；OPAMNEBCDFACEFBD图图图（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。