人版八年级数学全等三角形常见模型总结.doc

人教版八年级数学全等三角形常见模型总结要点梳理一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等全等三角形的判定与性质类型一：角平分线模型应用1. 角平分性质模型：（利用角平分线的性质） 辅助线：过点G作GE射线AC例题解析例：（1）如图1，在ABC中，C=90°，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离是 cm.（2）如图2，已知，1=2，3=4，求证：AP平分BAC.图1图2【答案】2 （提示：作DEAB交AB于点E），.类型二：角平分线模型应用2. 角平分线，分两边，对称全等(截长补短构造全等) 两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B，使OB=OA，从而使OACOBC.例题解析例1：在ABC中，BAC=60°，C=40°，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。证明：如图（1），过O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°，    ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO， ADOAQO，    OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，    PBO=DOB，又PBO=DBO，    DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70°，BOP=OBA+BAO=70°，BOP=BPO，BP=OB，   AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。     解题后的思考：（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过O作ODBC交AC于D，则ADOABO从而得以解决。如图（5），过P作PDBQ交AC于D，则ABPADP从而得以解决。小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。例2：如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由 ，理由如下如图所示，在的延长线上截取，连接因为是的外角平分线，故在和中，公用，因此，从而在中，而，故 例3：在中，是的平分线是上任意一点求证： 在上截取，连结，根据证得，又中，类型三：等腰直角三角形模型1、在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将ABD逆时针旋转90°，使ACMABD，从而推出ADM为等腰直角三角形.（但是写辅助线时不能这样写）（2）过点C作MCBC，连AM导出上述结论.2、定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：操作过程：连AD.（1）. 使BF=AE（AF=CE），导出BDFADE. （2）. 使EDF+BAC=180°，导出BDFADE. 例题解析例1：两个全等的含30°，60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD得中点M，连接ME，MC，试判断EMC的形状，并证明。证明：连接AM，证明MDEMAC.特别注意证明MDE=MAC. 例2：已知：如图所示，RtABC 中，AB=AC，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM. （1）是判断OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？思路：两种方法： 类型四：三垂直模型（弦图模型） 由ABEBCD导出 由ABEBCD导 由ABEBCD导出 ED=AE-CD 出EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD例题解析例1：已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，D为AC中点，AFBD于E，交BC于F，连接DF。求证：ADB=CDF. 思路：方法一: 过点C作MCAC交AF的延长线于点M.先证ABDCAM，再证 CDF CMF即可. （一） （二） （三）方法二：过点A作AMBC分别交BD、BC于H、M.先证ABHCAF， 再证 CDF ADH即可.方法三：过点A作AMBC分别交BD、BC于H、M.先证RtAMF RtBMH，得出 HFAC. 由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为ABC的中位线从而推出MDAB，又由于，故而MDAC，MDHF，所以MD为线段HF的中垂线. 所以1=2.再由ADB+1=CDF+2 ，则ADB=CDF .类型五：手拉手模型1.ABE和ACF均为等边三角形 结论：（1）. ABFAEC （2）.BOE=BAE=60°（“八字模型证明”）（3）.OA平分EOF 拓展： 条件：ABC和CDE均为等边三角形 结论：（1）、AD=BE （2）、ACB=AOB （3）、PCQ为等边三角形 （4）、PQAE （5）、AP=BQ （6）、CO平分AOE （7）、OA=OB+OC （8）、OE=OC+OD （7），（8）需构造等边三角形证明）2.ABD和ACE均为等腰直角三角形 结论：（1）、BE=CD （2）BECD 3.ABEF和ACHD均为正方形 结论：（1）、BDCF （2）、BD=CF四、半角模型条件：a = 1 b, 且b+q=180°，b 两边相等 .2思路：1、补短（旋转）辅助线：延长 CD 到 E，使 ED=BM，连 AE 或延长 CB 到 F，使 FB=DN，连 AF将ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°得ABF，注意：旋转需证 F、B、M三点共线结论：（1）MNBMDN；（2） CVCMN =2 AB ；（3）AM、AN 分别平分BMN、MND .2、翻折（对称）辅助线：作 APMN 交 MN 于点 P将ADN、ABM 分别沿 AN、AM 翻折，但一定要证明 M、P、N 三点共线 .例 1、在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD 上移动，且满足 MNBMDN， 求证：（1）MAN45°；（2） CVCMN =2 AB ；（3）AM、AN 分别平分BMN 和DNM .变式：在正方形 ABCD 中，已知MAN45°，若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线 上移动，AHMN，垂足为 H，（1）试探究线段 MN、BM、DN 之间的数量关系；（2）求证：ABAH