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选修4_5不等式选讲课题：第01课时不等式的基本性质目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。列子?汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可。怎么证呢?二、不等式的基本性质：1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质：、如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b。(对称性)、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d即a>b，c>da+c>b+d、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc、如果a>b>0，那么(nN，且n>1)、如果a>b>0，那么(nN，且n>1)。三、典型例题：例1、已知a>b，c<d，求证：a-c>b-d例2已知a>b>0，c<0，求证：。四、练习：五、作业：选修4_5不等式选讲课题：第02课时含有绝对值的不等式的解法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义.请同学们回忆一下绝对值的意义。在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即。2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。第一种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（a，a），如图所示。图1-1如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。第二种类型。设a为正数。根据绝对值的意义，不等式的解集是或它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间的并集。如图1-2所示。图1-2同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。二、典型例题：例1、解不等式。例2、解不等式。方法1：分域讨论方法2：依题意，或，（为什么可以这么解？）例3、解不等式。例4、解不等式。解本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（51）；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，或例5、不等式>，对一切实数都成立，求实数的取值范围。三、小结：四、练习：解不等式1、2、3、.4、.5、6、.7、8、9、10、五、作业：选修4_5不等式选讲课题：第03课时含有绝对值的不等式的证明目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）（2）（3）（4）请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）。同样，当且仅当时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。二、典型例题：例1、证明（1），（2）。证明（1）如果那么所以如果那么所以（2）根据（1）的结果，有，就是，。所以，。例2、证明。例3、证明。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例4、已知，求证证明（1），（2）由（1），（2）得：例5、已知求证：。证明，由例1及上式，。注意：在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。三、小结：四、练习：1、已知求证：。2、已知求证：。五、作业：选修4_5不等式选讲课题：第07课时不等式的证明方法之一：比较法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：二、典型例题：例1、设，求证：。例2、若实数，求证：证明：采用差值比较法：=讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值比较法：设故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，可得，从而，其中都是正数，且。于是，即。从而知甲比乙首先到达指定地点。讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？例5、设求证；对任意实数，恒有（1）证明考虑（1）式两边的差。（2）即（1）成立。三、小结：四、练习：五、作业：1比较下面各题中两个代数式值的大小：（1）与；（2）与.2已知求证：（1）（2）3若，求证4比较a4-b4与4a3(a-b)的大小解：a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)=-(a-b)2(3a3+2ab+b2)=-(a-b)2(当且仅当db时取等号)a4-b44a3(a-b)。5比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小6已知x0，比较(x2+1)2与x4+x2+1的大小7如果x>0，比较与的大小8已知a0，比较与的大小9设x1，比较x3与x2-x+1的大小说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。选修4_5不等式选讲课题：第08课时不等式的证明方法之二：综合法与分析法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点。所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐步寻找，直至找到他，这是“综合法”；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法”。以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，是常常要用到的一个重要不等式。二、典型例题：例1、都是正数。求证：证明：由重要不等式可得本例的证明是综合法。例2、设，求证证法一分析法要证成立.只需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立.由此命题得证。证法二综合法注意到，即，由上式即得，从而成立。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a，b，m都是正数，并且求证：（1）证法一要证（1），只需证（2）要证（2），只需证（3）要证（3），只需证（4）已知（4）成立，所以（1）成立。上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。证法二因为是正数，所以两边同时加上得两边同时除以正数得（1）。读一读：如果用或表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是（1）而采用综合法的证法二就是如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为在例2中，由于都是正数，实际上例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以本题只需证明。证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为。只需证明：。为了证明上式成立，只需证明。两边同乘以正数，得：。因此，只需证明。上式显然成立，所以。这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。例5、证明：。证法一因为（2）（3）（4）所以三式相加得（5）两边同时除以2即得（1）。证法二因为所以（1）成立。例6、证明：（1）证明（1）（2）（3）（4）（5）（5）显然成立。因此（1）成立。例7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式着手。证明：=由于都是正数，所以而，可知即（等号在时成立）探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：，其中是互不相等的正数，且.三、小结：解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。四、练习：1、已知求证：2、已知求证3、已知求证4、已知求证：（1）（2）5、已知都是正数。求证：（1）（2）6、已知都是互不相等的正数，求证选修4_5不等式选讲课题：第09课时不等式的证明方法之三：反证法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例1、已知，求证：（且）例1、设，求证证明：假设，则有，从而因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。例2、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例3、设0<a,b,c<1，求证：(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同时大于证：设(1?a)b>,(1?b)c>,(1?c)a>,则三式相乘：ab<(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a<又0<a,b,c<1同理：,以上三式相乘：(1?a)a?(1?b)b?(1?c)c与矛盾原式成立例4、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0证：设a<0,abc>0,bc<0又由a+b+c>0,则b+c=?a>0ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0与题设矛盾又：若a=0，则与abc>0矛盾，必有a>0同理可证：b>0,c>0三、小结：四、练习：1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且，则2、设0<a,b,c<2，求证：(2?a)c,(2?b)a,(2?c)b,不可能同时大于13、若x,y>0，且x+y>2，则和中至少有一个小于2。提示：反设2，2x,y>0，可得x+y2与x+y>2矛盾。五、作业：选修4_5不等式选讲课题：第10课时不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。二、典型例题：例1、若是自然数，求证证明：=注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。例2、求证：证明：由（是大于2的自然数）得例3、若a,b,c,d?R+，求证：证：记m=a,b,c,d?R+1<m<2即原式成立。例4、当n>2时，求证：证：n>2n>2时,三、小结：四、练习：1、设为大于1的自然数，求证2、设为自然数，求证选修4_5不等式选讲课题：第11课时几个着名的不等式之一：柯西不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等着名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。1、什么是柯西不等式：定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立。证明：几何意义：设，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（），B（），那么它们的数量积为，而，所以柯西不等式的几何意义就是：，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理3：（三角形不等式）设为任意实数，则：分析：思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设为大于1的自然数，（1，2，）为任意实数，则：，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。证明：构造二次函数：即构造了一个二次函数：由于对任意实数，恒成立，则其，即：，即：，等号当且仅当，即等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，）。如果（）全为0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式1设，等号成立当且仅当变式2设ai，bi同号且不为0（i=1，2，n），则：，等号成立当且仅当。二、典型例题：例1、已知，求证：。例2、设，求证：。例3、设为平面上的向量，则。例4、已知均为正数，且，求证：。方法1：方法2：（应用柯西不等式）例5：已知，为实数，求证：。分析：推论：在个实数，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，当且仅当时，平方和取最小值。三、小结：四、练习：1、设x1，x2，xn>0,则2、设（i=1，2，n）且求证:3、设a为实常数,试求函数(xR)的最大值4、求函数在上的最大值,其中a，b为正常数五、作业：1、已知：，,证明：。选修4_5不等式选讲课题：第13课时几个着名的不等式之三：平均不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：1、定理1：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：1指出定理适用范围：强调取“=”的条件。2、定理2：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）证明：即：当且仅当时注意：1这个定理适用的范围：；2语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3、定理3：如果，那么（当且仅当时取“=”）证明：上式0从而指出：这里就不能保证。推论：如果，那么。（当且仅当时取“=”）证明：4、算术几何平均不等式：如果则：叫做这n个正数的算术平均数，叫做这n个正数的几何平均数；基本不等式：（）这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。的几何解释：以为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD?AB则，从而，而半径。二、典型例题：例1、已知为两两不相等的实数，求证：。证：以上三式相加：例2、设为正数，求证：。例3、设，为正数，证明：。例4、若，设求证：加权平均；算术平均；几何平均；调和平均证：即：（俗称幂平均不等式）由平均不等式即：综上所述：三、小结：四、练习：五、作业：1、若求证证：由幂平均不等式：选修4_5不等式选讲课题：第15课时利用柯西不等式求最大（小）值目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：1、柯西不等式：。二、典型例题：例1、把一条长是m的绳子截成三段，各围成一个正方形。怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小？例2、如图，等腰直角三角形AOB的直角边为1，在这个三角形内任意取一点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P点为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形面积和的最小值，以及取到最小值时点P的位置。分析：三、小结：四、练习：五、作业：选修4_5不等式选讲课题：第16课时数学归纳法与不等式目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在nk时命题成立，再证明nk1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。证明时，关键是k1步的推证，要有目标意识。二、典型例题：例1、证明：。例2、设，证明贝努利不等式：。例3、设为正数，证明：。例4、设数列a的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S，证明a是等差数列。（94年全国文）例5、已知数列，得，。S为其前n项和，求S、S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。（93年全国理）解：计算得S，S，S，S，猜测S(nN)【注】从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是探索性问题的证法，数列中经常用到。（试值猜想证明）【另解】用裂项相消法求和例6、设a(nN),证明：n(n1)<a<(n1)。三、小结：四、练习：五、作业：1、设f(logx),.求f(x)的定义域；.在yf(x)的图像上是否存在两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？证明你的结论。.求证：f(n)>n(n>1且nN)。2、已知数列a满足a1，aacosxcos(n1)x，(xk，n2且nN)。求a和a；.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。3、用数学归纳法证明等式：cos·cos·cos··cos(81年全国高考)4、用数学归纳法证明：61(nN)能被7整除。