中线倍长法和截长补短法学.doc
几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法:例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD (AB+AC)分析：要证明AD (AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。 在ADB和EDC中， ADBEDC(SAS)AB=CE又 在ACE中，AC+CEAEAC+AB2AD，即AD (AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角BAD和CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。课题练习:中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC例2: 中线一倍辅助线作法 ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CFAD于F， 延长MD到N， 作BEAD的延长线于E 使DN=MD，连接BE 连接CD例3：ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE课堂练习：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF例5：已知：如图，在中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分课堂练习：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：C=BAE作业：1、在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，DABC中，ÐC=90°，CMAB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE/AB交BC于E，求证：CT=BE.3：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF4：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线，求证：C=BAE5、在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 （二）截长补短法图1-1例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180°.图1-2分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2BD平分ABC，DE=DF，在RtADE与RtCDF中，RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180°，BAD+DCF=180°，即BAD+BCD=180°例2. 如图2-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.图2-1求证：CD=AD+BC.例3. 已知，如图3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.求证：BAP+BCP=180°.图3-1例4. 已知：如图4-1，在ABC中，C2B，12.图4-1求证：AB=AC+CD.作业：1、已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE.2、五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求证：AD平分CDE（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图1：已知AD为ABC的中线，且12,34,求证：BECFEF。2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图2：AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF 练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF2AD。 3、延长已知边构造三角形：例如：如图6：已知ACBD，ADAC于A ，BCBD于B，求证：ADBC4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图7：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图8：在RtABC中，ABAC，BAC90°，12，CEBD的延长于E 。求证：BD2CE 6连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且ABDC，ACBD，求证：AD。九、取线段中点构造全等三有形。例如：如图10：ABDC，AD 求证：ABCDCB。
