一元微积分期末复习提纲.docx

一元微积分期末复习提纲一、 高阶导数，包括简单有阶导数；求导思路：逐次求导法例：（1）； （2）； （3）； （4）； 例题：、二、 曲线的凹凸性及拐点； 凹凸性与拐点的判别步骤：（1） 求出一、二阶导数和；（2） 令，解出的点与不存在的点；（3） 利用（2）解出的点划分函数的定义域；（4） 画表分析、判别；（5） 代入原函数式求出拐点的纵坐标，并写出结论。例题：、三、 相关变化率利用复合函数的求导法则：，解题步骤：（1） 利用题设条件，写出函数关系式或；（2） 求出；（3） 利用已知条件求出变化率：或。例题：、四、 微分的计算；微分的计算公式：或。例题：五、 微分在近似计算中的应用；微分的近似计算公式：由一阶近似计算公式得：（1）；（2）。特别地，当时，则有。例题：六、 隐函数求导；求解步骤：（1） 对方程两边同时求导（2） 由求导后的方程解出，并按题目要求写出结论。或由原隐函数方程解出，将代入求导后的方程，解出例题：、。七、 参数方程求导；求导法则：如果间的函数关系由参数方程，来确定，则由参数方程确定的函数的一阶导数公式为。二阶导数公式为：。例题：、。八、 中值定理（定理内容）；共性条件：函数在闭区间上连续，在开区间内可导；个性条件：罗尔定理要求区间端点的函数值相等；拉格朗日中值定理的两个推论：推论1、若在区间上恒有，则在上是一个常数，即。推论2、若在区间上恒有，则在上仅相差一个常数，即。九、 洛必达法则1、“”与“”标准型：；2、“”型可先利用“无穷大与无穷小的关系”变形为“”或“”标准型后，再使用洛必达法则求解；3、“”型可先“通分”后变形为“”或“”标准型，再使用洛必达法则求解；4、“”、“”与“”型，可先利用公式变形为指数函数后，再利用复合函数连续性的推论和洛必达法则求解；例题：、。十、 不定积分的概念、性质若，则称是的一个原函数。不定积分与导数或微分互为逆运算。（1） 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）：（2） 对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差一个积分常数：。例题：十一、 不定积分、定积分的第一类换元法注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成； （2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积分变量无关，运算时不需要“回代”；例题：、； 、；十二、 不定积分、定积分的第二类换元法1、根式代换题型：被积函数中含有根式的形式（被开方式为线性函数）解题思路：“去根号”；解题方法：令，解出，有； 特别地，解出，有；代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题：；补充例题：、；2、三角代换题型：被积函数中含有根式的形式（被开方式为线性二次函数）解题思路：“去根号”；解题方法：（1） 含有的形式：令，有；（2） 含有的形式：令，有；（3） 含有的形式：令，有；代换原则：由左至右、依次代换、一次完成；例题：；。注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。十三、 不定积分、定积分的分部积分法1、不定积分的分部积分公式：；定积分的分部积分公式：。2、凑成公式中的的“优先次序”：（1）指数函数：；（2）三角函数：；（3）幂函数：。例题：； 、。十四、 定积分的性质1、 关于被积函数的性质：（1）；（2）。2、 关于积分区间的性质：（1）；（2）；（3）。3、 关于对称区间上的性质：4、 关于不等式的性质：（1） 若在区间上，则；（2） 若在区间上，则；（3） 设及分别是函数在区间上的最大值及最小值，则。5、 积分中值定理：如果函数在区间上连续，则在上至少存在一点，使得。例1、 利用定积分的几何意义计算定积分的值：；例2、 利用定积分的性质比较定积分的大小：；例3、 利用定积分的性质、单调性与函数的最大（小）值估算定积分的值：；例4、 利用对称区间上的定积分的性质计算定积分的值：、；十五、 变限求导1、 变上限函数有求导：定理及解法：；例题：；2、 含有变上限定积分的极限：解法：洛必达法则+微积分基本定理例题：；十六、 定积分应用：面积、体积；解题步骤：（1） 画出草图；（2） 建立联立方程组，解出两条曲线的交点坐标；（3） 画出“穿透射线”，确定积分方向与积分区间（选择与旋转体相同的积分方向）；（4） 解出平面图形的面积：或与绕轴旋转而成的旋转体的体积：或。 例题：、；十七、 无穷区间上的广义积分概念及解法：；。若为的一个原函数，则有：；例题：、