CT图像的平滑增强方法.doc

CT图像的平滑增强方法摘 要CT图像作为医学中常用的观察检测疾病的方法，往往边缘细节部分对病情的有决定性作用，如何优化CT图像的边缘部分，,或者说对边缘部分图像的处理将对病情起至关重要的作用。对于此类图像的处理我们一般会进行图像分割。常见的图像分割方法一般分为两种：第一种是人为的分割，就是在用CT图像观察检测疾病时，一些有经验的医生对于整个的CT图像往往能客观判断出需要的部分，从思想上直接提取出图像模块，这是传统字面意义上的分割。而另外一种的分割就是根据图像形成的原因，从形成过程入手，采用机器使图像形成时，直接形成我们需要的部分；或者从大的图像中分割出来需要的部分单独研究。这是CT图像作为疾病监测手段需要的处理方法。然而在图像分割前，我们往往会采用一些预处理来对图像进行加工，使图像变得更加清晰直观，这些预处理就包括图像的平滑增强本文首先对传统的图像平滑增强方法引入了综合分析，然后基于正则化方法研究了CT图像的平滑增强。特别关注CT图像的区域平滑和图像锐化，以便于为图像的进一步后处理作准备。正则化模型中正则化参数的选择是本文研究的另一个重点。由于目前还没有有效方法，本文利用L-曲线从图像残差和噪声残余相对变化的角度分析了确定参数的方法，最后通过实际CT图像平滑的数值分析验证了正则化模型及L-曲线的效果。关 键 词：图像去噪；正则化参数；L曲线 ABSTRACTCT images as a commonly used method of medical observation of disease detection, often the edge of the details of the part of the disease has a decisive role in how to optimize the edge of the CT image part, or the edge of the image processing will play a vital role in the disease The For the processing of such images we generally image segmentation. Common image segmentation method is generally divided into two kinds: the first is artificial segmentation, that is, when using CT images to detect disease, some experienced doctors for the entire CT image is often able to objectively determine the needs of the part, from the idea Directly on the extraction of the image module, which is the traditional literal sense of the division. The other kind of segmentation is based on the formation of the image, from the formation process to start, the use of the machine to form the image, the direct formation of the parts we need; or large images from the need to separate the part of a separate study. This is the CT image as a means of disease monitoring means. However, before image segmentation, we tend to use some pretreatment to process the image, making the image more clear and intuitive, these preprocessing, including image smooth enhancementIn this paper, we first introduce the comprehensive analysis of the traditional image smoothing enhancement method, and then study the smooth enhancement of CT image based on the regularization method. Particular attention is paid to the smoothing and image sharpening of CT images in order to prepare for further processing of images. The selection of regularization parameters in the regularization model is another focus of this paper. In this paper, the L-curve is used to determine the parameters from the angle of image residual and noise residual change. Finally, the effect of regularization model and L-curve is verified by the actual CT image smoothing analysis.KEY WORDS: Image denoising; Regularization parameter; L-cure目 录1 绪论11.1 选题背景与意义11.2 研究现状11.3 主要工作和组织安排22 CT图像处理32.1 CT的产生和发展32.2 CT成像的特点32.3 CT图像的处理42.4 小结53 图像平滑增强73.1 引言73.2 均值滤波73.2.1 算法思想73.2.2 均值滤波的效果83.3 中值滤波93.3.1 算法分析93.3.2 噪声分析103.3.3 中值滤波的效果113.4 小结114 正则化方法134.1 图像的退化模型134.2 反问题的研究144.3 正则化方法144.4 正则化参数的选择方法154.5 模型分析174.6 小结175 L-曲线195.1 L-曲线的产生和由来195.2 L-曲线与图像去噪的关系195.3 L-曲线的生成205.4 数值实验分析215.5 小结236 结论与展望25 1 绪论1.1 选题背景与意义数字图像处理经过几十年来的发展，应用领域已非常广泛，在航空航天，科学计算、生物医疗等方面，都大放异彩。较以往的的文字数据处理，数字图像处理带来了更加高效快捷的材料结果显示。数字图像处理目前已成为全方位，多领域科技中至关重要的部分。我国也高度重视数字图像处理的研究，这已经成为当今强军兴国中的重要一步。CT图像作为图像处理在医学上的应用，也是关乎我国计民生一项重要研究。CT (Computed Tomography)，是计算机断层扫描，主要通过X射线与灵敏度极高的探测器一同围绕人体的某一部位作一个接一个的断面扫描，然后取截面图片，主要广泛应用于医学中疾病检查。图像处理作为现在科学领域中较为活跃的一项科学研究，它的发展关乎未来科学发展的趋势，无论日常生活中的电子数码产品，还是关乎人类全球的气象、宇宙学等，都是以图像处理为载体，才能保持长足稳健发展。CT图像的处理在医学的上突出作用更是将图像处理与人类息息相关的生命科学结合再一起。CT图像技术的完善将极大改变人类疾病检查和治疗的手段。本文以CT图像的处理为研究背景，解决了CT图像处理中的一项重要技术难关，对人类科学发展进步也具有重要意义。1.2 研究现状CT图像从起源到发展的几十年中，已经有了相对完善的理论体系与配套的实际应用。但是图像的边缘提取问题却一直作为一项重点难题，引起科学界展开广泛讨论。如何在CT图像处理中恰到好处的去掉噪声，并零干扰的提取边缘问题也是亟待解决技术难点之一。因为CT图像主要应用于医学疾病检查，而在成像中，由于人体组织、血管、肌肉等较为复杂，更加深这一次层次问题的研究难度。而一些现有的去噪方法很难从根本上解决这些问题。以往，人们都是应用基于Roberts算子、Solel算子等局部图像微分技术来获得边缘检测算子。此类算子可以增加高频分量，但是会严重受噪声影响，并且当边缘像素值变化不明显时，容易产生假边界或不连续边界。后来人们又尝试用线性滤波方法，但是小尺度滤波虽然定位边缘准确，而对噪声敏感；大尺度滤波定位边缘可去除噪声，但又会发生偏移。而近年来又提出了一种新的图像去噪方法，就是利用图像梯度稀疏性来去除噪声。即充分利用图像的自相似性又兼顾结构信息的冗余性，取得了较好的去噪效果。而在利用图像稀疏去噪中，以往的方法都是讲图像进行稀疏分解，即将图像信号分解为若干基的线性组合，不仅全面细致的表示出信号涵盖的某些特征，更有效的将信号和噪声分离开来。而另一方面，图像梯度稀疏性去噪，也提出过一种基于梯度重权的非局部平均的噪声图像去噪算法，利用全变分法求解图像结构的梯度，给予图像边缘信息更高的权重，结合图像结构信息的相似性和稀疏性先验，求解优化后的反问题。此种方法中往往对于强噪声具有良好的去噪效果，对于弱噪声却存在一定的局限性。以上两种都存在着一定的优点和缺点，如何改进完善以上两种去噪方法也将作为未来图像处理中的关键技术难点以待研究。而本文主要通过正则化参数的优化选择来拟合图像梯度稀疏处理实现图像去噪的过程。同时通过图像噪声最小化过程进而研究正则化参数优化方法。1.3 主要工作和组织安排基于数字图像处理发展至今存在的重点研究问题，本文主要针对CT图像处理问题，对CT图像做系统了解，包括CT图像的产生由来，以及近年来CT图像的发展应用，以及CT图像的成像的基本原理：使用X射线透视成像的原理。同时在指出CT图像特点的同时，给出图像处理的一些基本方法：图像的压缩编码、分割增强等。同时针对CT图像的的去噪处理分析研究几种常用的图像去噪方法，其中包括常见的均值滤波、中值滤波法，同时给出这两种方法的优点，适用噪声以及存在的缺陷，以介绍三种具体的噪声为例来说明以上两种方法的局限性，同时引出一种新的可调控的图像平滑方法。在以图像退化引出反问题的后，介绍反问题的产生以及反问题的不适定性提出逼近的方法，同时将图像平滑去噪的研究与正则化参数优化处理结合起来，将图像平滑问题转化为正则化参数的选取问题。进而对于正则化参数的选取给出几种不同的方法：拟最优方法、广义交叉等，最终选取简单直观的L-曲线方法作为本文中的正则化参数选择方法。对L-曲线的产生原理，最初在解决最小二乘问题中，使用反问题的研究来逼近原问题的解。同时给出将L-曲线解决图像平滑中正则化参数确定时的相关性。以及对正则化参数的调控平滑处理为准给出L-曲线中拐点的意义。最后通过使用共轭梯度法的使用来利用Matlab生成L-曲线的算法研究。然后给出模型的具体结果以及参数的选取。本文的主要结构如下：第一章：介绍数字CT图像处理的研究背景与意义，以及面对的难点问题。第二章：主要介绍CT图像的一些性质，对CT图像处理的基础做系统了解。第三章：主要针中CT图像的去噪，给出常用的图像平滑增强处理方法。第四章：针对第三章提出的可调控的图像平滑增强方法利用反问题中的逼近拟合原理，给出正则化参数调控图像平滑去噪的新方法，并给出具体去噪模型分析。第五章：通过Matlab实现L-曲线的生成，同时给出实验结果和具体分析。2 CT图像处理2.1 CT的产生和发展1895年德国著名科学家伦琴发现了X射线，后期开始投入医学领域，从此CT图像的发展开启雏形，虽然早期的此类原始CT图像医学中检测疾病时，由于人体器官对于X射线的吸收差别比较小，没有达到相对完善的效果，CT图像也存在很多缺陷，但此次应用却也开启了这一领域的研究。随着时代的发展终于在1972年诞生了第一台CT机，虽然只能进行脑部检查，但是这正式标志的CT的诞生。后来随着第一代第二代等一直到第五代CT机的出现，CT在医学上的成就也日新月异。CT无论从图像扫描，数据采集，图像质量甚至工作时间上都有了很大改善。而应用的疾病监测范围也逐渐扩大，从头部发展至全身，基本已经具备全面、高效、立体等多方位的疾病监测常用手段，并得到全面推广发展，成为各级医疗部门的常用疾病检测仪器。2.2 CT成像的特点 医学上的CT成像主要运用的人体组织对X射线的吸收，因为X射线的衰减是服从一个指数函数。因为人体组织肌肉和血液中所包含的物质种类不同，所以当用X射线透射人体时，由于这些组织对X射线的吸收程度不一样，在X射线穿透人体器官或组织时，由于人体器官或组织是由多种物质成分和不同的密度构成的，所以各点对X射线的吸收系数是不同的。将沿着X线束通过的物体分割成许多小单元体（体素），令每个体素的厚度相等(L)。设L足够小，使得每个体素均匀，每个体素的吸收系数为常值，如果X线的入射强度、透射强度I和体素的厚度L均为已知，沿着X线通过路径上的吸收系数之和+就可计算出来。为了建立CT图像，必须先求出每个体素的吸收系数、 。为求出n个吸收系数，需要建立如上式那样n个或n个以上的独立方程。因此，CT成像装置要从不同方向上进行多次扫描，来获取足够的数据建立求解吸收系数的方程。吸收系数是一个物理量，CT影像中每个像素所对应的物质对X线线性平均衰减量大小的表示。实际应用中，均以水的衰减系数为基准，故CT值定义为将人体被测组织的吸收系数 与水的吸收系数的相对值,再将图像面上各像素的CT值转换为灰度，就得到图像面上的灰度分布，就是CT影像。CT图像是由一定数目由黑到白不同灰度的像素按矩阵排列所构成。这些像素反映的是相应体素的X线吸收系数。不同CT装置所得图像的像素大小及数目不同。大小可以是1.0×1.0mm，0.5×0.5mm不等；数目可以是256×256，即65536个，或512×512，即262144个不等。显然，像素越小，数目越多，构成图像越细致，即空间分辨力（spatial resolution）高。CT图像的空间分辨力不如X射线图像高。  CT图像是断层面图像，常用的是横断面。为了显示整个器官，需要多个连续的层面图像。通过CT设备上图像的重建程序的使用，还可重建冠状面和矢状面的层面图像，可以多角度查看器官和病变的关系。CT成像特点以高精度、像素高等特点在各级医疗部门广泛使用，它不仅能清晰的检测出人体复杂肌肉骨骼纤维等组织，而且传递图片像素高，检测效果好，尤其对于一些细微的人体结构也能全方位的检测治疗。只是CT在成像的同时由于一定因素的噪声干扰会影响原图的观测，如何处理好CT图像，怎样对CT图像的噪声部分去除，留下我们需要的部分，也成为CT图像处理方面的一大难题。2.3 CT图像的处理CT基本主要应用于医学中的人体疾病监测。而由于人体中组织、肌肉等较为复杂在医学中使用CT成像时，往往会对图像造成一定的干扰，而这种干扰有时候来自人体内部的一些无关检测因素，有的也来自CT成像或者加工处理过程中，如何准确把握好CT图像的处理也是亟待解决问题之一。对此我们先了解一下图像处理的方法。针对图像处理一般会采用以下几种方法：图像编码压缩：压缩，顾名思义就是将图像缩小，图像编码压缩技术就是减少描述图像的数据量（即比特数），以便节省图像传输、处理时间和减少所占用的存储器容量等方便进行一些其他操作。压缩主要有两种，一种压缩可以在不失真的前提下获得，而另外一种可以在允许的失真条件下进行。编码是压缩技术中最重要的方法，同时作为图像压缩的常用手段，在图像处理技术中是发展最早且比较成熟的技术。图像增强和复原：图像增强和复原的目的是为了提高图像的质量，如去除噪声，提高图像的清晰度等。图像增强不考虑图像降质的原因，突出图像中重点观察部分，如强化图像高频分量，可使图像中物体轮廓清晰，细节明显；如强化低频分量可减少图像中噪声影响。图像复原要求对图像降质的原因有一定的了解，一般讲应根据降质过程建立“降质模型”，再采用某种滤波方法，恢复或重建原来的图像。图像分割：图像分割是数字图像处理中的关键技术之一。图像分割是将图像中有意义的特征部分提取出来，其有意义的特征有图像中的边缘、区域等，这是进一步进行图像识别、分析和理解的基础。虽然目前已研究出不少边缘提取、区域分割的方法，但还没有一种普遍适用于各种图像的有效方法。因此，对图像分割的研究还在不断深入之中，是目前图像处理中研究的热点之一。图像描述：图像描述是图像识别和理解的必要前提。作为最简单的二值图像可采用其几何特性描述物体的特性，一般图像的描述方法采用二维形状描述，它有边界描述和区域描述两类方法。对于特殊的纹理图像可采用二维纹理特征描述。随着图像处理研究的深入发展，已经开始进行三维物体描述的研究，提出了体积描述、表面描述、广义圆柱体描述等方法。图像分类（识别）：图像分类（识别）属于模式识别的范畴，其主要内容是图像经过某些预处理（增强、复原、压缩）后，进行图像分割和特征提取，从而进行判决分类。图像分类常采用经典的模式识别方法，有统计模式分类和句法（结构）模式分类，近年来新发展起来的模糊模式识别和人工神经网络模式分类在图像识别中也越来越受到重视。以上几种图像处理的方法中，针对CT图像的处理，我们有的不常用。CT图像根据其主要应用于医学疾病监测，我们常规使用的就是图像的分割和平滑增强。对于人体中组织纤维的干扰，会对CT原图像造成一定的噪声，而此类噪声由于人体组织的复杂多样性，往往较难根除，而对于CT图像中有观测意义的图像部分，我们如何分割然后平滑增强得到我们需要的部分，才是CT图像处理的关键。根据本文模型，图像分割方法使用意义不大，在此我们暂不研究，所以此项目研究重点就是图像的去噪平滑处理。2.4 小结本章主要介绍了CT图像的产生和发展以及成像原理、成像特点等。同时基于本文中主要针对图像处理的研究，进一步介绍几种常用的图像处理方法。而对于包含噪声的CT图像去噪问题引出图像平滑增强处理的的重要性，同时为下步研究常用的平滑去噪方法做准备。3 图像平滑增强3.1 引言图像平滑增强是图像处理中一种常见的处理形式，是指对于包含噪声的图像，通过某种变换实现控制图像中的噪声和干扰成分，同时对于图像中梯度突变部分进行稀疏性处理，使图像中的边缘部分得以增强，从而改善图像质量，便于获取信息。图像平滑增强处理作为图像处理的一种形式，其主要目的就是控制图像中的噪声，或者说对图像中突变梯度的噪声进行缓和，然后实现图像优化，某种意义上讲也是一种基于图像的优化问题。图像平滑增强这项技术随着图像处理的应用，近年来在科学各个领域也得到广泛关注，同时也具备一些相对完善的处理方法。比如均值滤波、中值滤波等。然而因为噪声的产生和传播的不确定性，很大意义上增加了图像处理中平滑增强的难度，以往一些传统的平滑增强方法在对于某些包含特殊噪声的图像并不能达到实际工作中需要的效果，如何选择一种正确的平滑增强方法也成为当代图像处理中一个亟待解决的问题。3.2 均值滤波3.2.1 算法思想所谓均值滤波，就是对要处理图像的当前像素，整合出一个临近像素区域1，然后以临近像素区域中所有的像素值套用一个权重模板然后代替当前像素值的一种平滑图像的方法。均值滤波也叫做线性滤波，主要算法思想就是邻域平均法。均值滤波的算法公式：f (, ) = ， （3-2-1）其中g为原像素，f为经过均值处理后的像素.S是原像素的邻域,h为像素邻域模板。表3-1给出像素域邻域的例子，表中的数表示该点像素的灰度值。136425789表 3-1原像素邻域而针对以上邻域使用的模板则为表3-2。表3-2 模板则经过均值滤波后得到目标像素的灰度值为 （3-2-2）经过均值滤波处理后，结果如表3-3所示。#5#表3-3均值滤波处理结果从以上分析也可得出均值滤波的算法思想就比较简单了，先找出原图中的目标像素点 ,然后根据该点的邻域像素给出一个权重模板h，此权重模板不一定各点处权重都相同，该邻域也包含目标像素点1。然后求出该模板内的平均像素点,最后以这个平均像素值代替目标像素值f，这就是均值滤波的主要思想。3.2.2 均值滤波的效果均值滤波作为线性滤波，采用邻域平均法，其算法思想比较简单，因为由线性计算，往往具有方便快捷的作用。尤其针对某些高频尖锐的噪声可以将其钝化平滑，以达到图像平滑处理的效果。图3-1和图3-2分别给出了包含噪声的图像和均值滤波处理后的图像。        图3-1包含噪声图像 图3-2均值滤波后图像由以上两图对比可知，均值滤波对于噪声强度过大，或者过于尖锐的噪声，有明显平滑作用。因为在取邻域均值中，图像中的噪声幅度将被明显改善，一定程度上降低了噪声。同时在平滑处理后，也能较为清楚的提供一定的信息，使图像显示出相对较为清楚的可用资源。 相对而言均值滤波的缺点也较为明显：首先均值滤波不可能完全将噪声去除，只是在一定程度上，将一些过强噪声得到平滑作用。同时均值滤波还有一个明显缺陷就是对于一些噪声过小的图像，均值滤波对于一些细节处理上有较强的副作用，即不能完整的保留图像的细节部分，而且将细节部分平滑后，可能会损坏原有的可用资源。图3-3和图3-4分别给出了原图像和均值滤波后得到的图像。其中原图像是未含噪声的图像。图3-3 原图像 图3-4均值滤波后图像从3-3、3-4两图对比来看，在原图噪声过小的情况下，使用均值滤波会使得图像变得平滑，但是也会使原图的细节变得相对模糊，在实际应用中，可能这样的图像处理会取得适得其反的作用。所以均值滤波的图像处理方法具有局限性。3.3 中值滤波3.3.1 算法分析中值滤波顾名思义跟均值滤波相同，都是从图像中的目标像素取邻域，然后求出模板中各个像素值的中值作为新的像素点来替代目标像素点的图像处理方法。中值滤波是一种典型的非线性滤波方法。与中值滤波类型的还有最大值滤波和最小值滤波，都是根据像素邻域中的取值不同来获取新的像素点，达到平滑图像的作用。 (3-3-1)(3-3-1)式中为目标像素的邻域。对比均值滤波，中值滤波的转换形式也方便理解，只是在均值滤波过程中的平均数换成了中位数，虽然中值滤波跟均值滤波如出一辙，但是从平滑效果来看却有明显不同的变化。比如一组包含目标像素和邻域像素其值为（12，1.2,3,4,5,9），对此数组重新排序后获得新的数组即为（1,2,3,4,5,9,12）由此可简单得出中值滤波后的像素值为4.虽然此例子看似简单，再做深层分析可知：对于明显突出的数值12和9.经过中值滤波后基本得到的数值基本不受那些突出数值影响：假设9和12换做6和7结果也是4，由此分析可得出中值滤波去噪的优点。3.3.2 噪声分析对于中值滤波优缺点的分析以及应用，我们首先要了解三种不同类型的的噪声：高斯噪声：施加的噪声分布符合高斯分布，即越靠近某个强度的噪声数量越多，而越远离这个噪声强度的噪声越少，并且这个分布严格符合高斯分布。此类噪声一般采用线性去噪方法11。椒盐噪声：传统意义上理解就是形象与一种胡椒和盐一样的噪声，我们也可以理解为图像上面的黑白斑点。椒盐噪声是一种逻辑噪声12，有时候随机性比较大，在去除此类噪声时，一般的线性去噪方法往往不太适用。脉冲噪声：脉冲噪声是一种图像在传递和通信中所产的特殊噪声，脉冲噪声是其中离散型噪声的统称。脉冲噪声往往产生于持续短时间和大幅度的不规则脉冲或噪声尖峰。脉冲噪声的特点是往往突然爆发又很快消失，也是CT图像中主要存在的噪声。脉冲噪声的去除比以上两种噪声稍微复杂，在此我们讨论中值滤波、均值滤波的去除效果时，暂不讨论。 关于高斯噪声和椒盐噪声具体对比如下图3-6、图3-7：图3-5原始图像图3-6加高斯噪声图像图3-7加椒盐噪声图像高斯噪声和椒盐噪声是图像中两种最常见的噪声，根据噪声的性质不同，通常也会采取不同的去噪方法，这种有针对性的去噪方法能收获较好的图像平滑效果。3.3.3 中值滤波的效果相对于均值滤波，中值滤波作为一种非线性去噪方法对于一些特定的噪声有显著效果。比如在去除椒盐噪声，或者一些包含脉冲噪声时，可以在基本保持原图像的同时去掉一些强度较大，或者频率较高的噪声。同时中值滤波对于图像边缘的也具有很强的保真性，这也是均值滤波等此类线性滤波方法不能达到的。 中值滤波通过改善一些相邻像素值中一些差比较大的像素，从而达到去除一些孤立噪声点（比如椒盐噪声）等，具有明显效果，同时也对图像边缘细节处理的也比均值滤波要好。（其中改进的加权中值滤波对边缘问题处理效果更显著）同时，中值滤波也有明显的缺陷，首先中值滤波主要针对高强度孤立噪声，并且对这些噪声也只有平滑而不能完全去除，一旦孤立噪声高频率分布在图像的边缘细节部分，中值噪声也可能会损毁原图像。比如中值滤波对于高斯噪声并不适用，因为高斯噪声在某个范围内存在着高频率的高强度噪声。以上两种常用的去噪方法都是通过某种方法对于包含噪声的图像都在一定程度上有平滑作用，但是对于去噪程度和原图像双方面的把握和控制上具有较强的局限性。如何能选择控制一个类似变量参数，来调节图像精度和去噪程度也成为图像平滑中的重要研究部分。3.4 小结本章主要针对图像的平滑处理给出两种常用的去噪方法：均值滤波和中值滤波，同时以几种不同性质的噪声为例来具体分析以上两种的优点和缺陷，针对CT图像中最常见的脉冲噪声也给出定义。最后引出权衡图像平滑处理时噪声以及原图像的关系，提出使用一种新的正则化参数选取的方法来实现图像去噪。4 正则化方法4.1 图像的退化模型图像的平滑处理简单来讲就是对图像的噪声处理，由噪声的产生形成与图像的产生、传递、存储等，图像的复原问题就转化为求原图像问题。退化现象：在图像产生时，由于获取图像设备的缺陷，图像传递存储时其他外界因素的干扰等一系列原因，使得我们获取的图像往往与实际的图像存在差异，这就是图像的退化现象。退化现象再所有图像的获取都是客观存在的，如何根据获取图像去恢复实际图像也是图像去噪平滑关键。退化现象的产生源于图像的获取过程和外界干扰，其模型如图4-1所示。如图4-1 图像退化模型对于此过程我们可以构造退化模型。设实际图像为,其转换形式为H，外界干扰（暂定为噪声）为,观测图像为，则根据以上退化过程可构造退化模型如下： (4-1-1)对于退化问题中的图像复原问题，我们可以采用反向滤波，将图像退化模型转化如下 (4-1-2)图像复原问题即转化求最小二乘问题 (4-1-3)由梯度为零解（4-1-3）可得 (4-1-4)对于（4-1-4）中，H表示转换过程，而这个过程通常是不可逆的，所以H的逆往往不存在，特别在CT图像中H的条件数将会很大，也加大了H的计算量，此问题就变成一个不适定性反问题。4.2 反问题的研究20世纪60年代以来，对于科学实验和研究，各个领域都曾提出“由效果表现（输入），反求原因（输出）”的研究方法，此类问题称作反问题。比如： （4-2-1）正问题：已知，,求。反问题：已知， ,求。以上只是简单的反问题举例，而在一些较为复杂的情况下，有些反问题的研究也具有局限性，比如当（4-1-1）式中的f，h施加一定的值域时，反问题的研究也将变得较为复杂。而对于反问题的研究又分为适定的和不适定的，给出定义：定义4.1 已知算子：,U，V均为赋范空间，若方程满足以下几点：（1）任意 ,存在,使得。（存在性）（2）对于任意 、 ，如果，,则有=；（唯一性）（3）对于任意，存在，满足，则，其中,且, 。（稳定性）则称算子方程在赋范空间是适定的，如果不满足其中任意一个则称为不适定的。而图像处理中，应用反问题也可以解决。图像在产生、传递或者存储时受外界因素的干扰往往会产生噪声，现实中我们接收到的图像通常都会含有一定的噪声。如何获取原图像，或者尽可能的“逼近”原图像也是作为一种反问题的研究。而此类问题往往称作病态问题，即图像的的结果并不完全依赖于图像的输入。图像的退化模型，就是一个不适定反问题，具体证明参考文献13.因为噪声的未知性，解决此类问题往往需要对于原图像有一定的先验知识，然后通过先验知识去尽可能的寻找图像丢失部分或者去除图像噪声部分，此即正则化方法。4.3 正则化方法因为图像的去噪过程是个不适定性反问题的研究13，图像的产生转化过程往往是个不可逆过程，噪声的产生与施加也都是无法确定的，在去噪的同时，没有这些中间处理条件，往往原模原样的还原图片变得非常困难，如何在还原图像中，尽量找“一组“图像去尽量的接近原图像，然后从这组图像中得到我们需要的图像细节，也就达到了实际应用时的图像的还原问题。但是如何构造这“一组”图像，是否可以通过一个同样未知的参数来控制此图像来解决问题呢，我们引出正则化方法。所谓正则化，在解决不适定反问题中，采用一组与之相匹配的适定的反问题的解来“逼近”原问题的解。同时将此组与之相匹配的适定反问题通过一个可控制的未知变量参数来优化逼近问题9。运用一组适定反问题的解来逼近不适定反问题解的求解方法称为正则化方法。此类方法对于图像还原中也有很大应用。我们可以通过对图像的退化模型添加正则化项，将其转化为适定反问题，再以对参数的调控，实现我们理想的图像平滑增强效果。通过转换，图像平滑复原问题就变成了包含正则化参数来控制逼近的适定反问题.此类图像复原问题就转换为优化问题，针对（4-1-3）中的不适定反问题，我们可以添加正则化项将其转化为适定的反问题，构造如下最小泛函求解优化问题。根据（4-1-3）图像恢复的正则化模型为： （4-3-1）（4-3-1）式中的实际意义就是表示反问题中观测图像对于原图像的逼近程度。为正则化参数，用来衡量以上问题近似解的逼近程度以及控制图像的平滑性；为正则项，它是一种根据图像平滑性对解的约束，此时为正则算子，通常为高通滤波算子。为了使图像更加逼近原图像，我们对（4-3-1）式中f进行微分并取零，则有： f (4-3-2)对于给定的正则化算子C，适当选取正则化参数，即可求得正则化解：= (4-3-3)针对（4-3-3）中此时的不需要求逆即可求算解决了（4-1-4）中的逆不存在或者条件数过大的问题逆不好求的问题，也将图像的退化问题有不适定反问题转化为适定反问题。对于观测图像g，给定一个正则化算子C，就变为一个通过正则化参数可控制的一组恢复图像。所以图像的恢复问题，或者说图像的去噪问题就转变为对于正则化参数的选择问题，选取不当即可能产生两种弊端：一种是图像的噪声去除效果不明显；另一种则是对于原图像的损毁程度比较高。所以如何选择适当的正则化参数问题，对于图像平滑去噪的意义十分重大。4.4 正则化参数的选择方法对于正则化参数的选择问题，通常有以下几种方法9：（1）拟最优准则Tikhonov8指出从下面的拟最优准则可以求出正则化参数 （4-4-1）主要思想就是：尽力让让正则化参数以及正则解对该参数的影响变化率同时稳定相对较小的范围内。（2）广义交叉验证令 （4-4-2）其中，为的对角元素。这样可以取满足 （4-4-3）此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS准则，但比它更稳健。（3）偏差原理:定理4-1 (Morozov 偏差原理)如果是单值函数,则当时存在这样的,使得: （4-4-4） 式中 。事实上，令 ，由的单调性和半连续性，可知也是单调和半连续的，并且 （4-4-5）同时，由的定义以及的半连续性，对于给定的，可以找到这样的，使得 （4-4-6）由的单值性可导出的单值性，从而必定存在满足方（4-4-4）。根据上述定理，若方程 ， （4-4-7）的准确右端项,而的近似且满足条件：；，则正则化参数存在且唯一。（4）误差极小化准则Arcangeli主张由下式来确定正则参数 （4-4-8）注意到对于每个固定的，函数 （4-4-9）对是连续的，单调递增的，且有 （4-4-10）故存在唯一的一个满足方程（4-4-8）。（5）L-曲线法L曲线准则是指以log-log尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L曲线。运用L曲线准则的关键是给出L曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数。定义L曲线的偶角为L曲线在log-log尺度下的最大曲率。以上几种确定正则化参数的选取方法，在此我们只做了解不去深入研究。对于本项目中的图像平滑去噪我们也选取其中相对简单的L-曲线方法来选取合适的正则化参数。也作为重点研究。4.5 模型分析对于一个较为复杂的模型，也是本文中的一个重点研究对象。该模型为：min+,0<p<1 (4-5-1)对于上述去噪模型中:为原图像，为实际观测图像。上述模型为加入两个正则化项的退化模型。第一项二范数取最小值时，其实际意义表示观测图像和原图像尽可能保持其相似性，数学意义上使其二范数值最小；第二项为添加的正则化项，在满足第一项图像尽可能相似的前提下，尽可能取小，即使得u和的梯度尽可能保持一致，使图像退化这个反问题拟合更加近似；第三项,正则化项我们通常称为稀疏项，所谓稀