新课程标准下导数精讲.doc

新课程标准下导数的应用1 引言导数在新课程标准中的高中数学教材中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰富的外延,在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.而导数的应用已经成为课改后中学数学的一个重点、难点、亮点,是进一步学习高等数学的基础,它为我们提供了新的解题工具,特别是在求曲线的切线、研究函数的单调性、求解函数的单调区间和研究函数极值、最值、证明不等式、恒不等式问题中求参数的取值范围等问题中,处理起来程序化,非常方便、简捷,是高考的热点.但导数在初等数学中的应用远不止于此,近几年高考试题中频频出现的方程根的研究问题、函数图象的画法、解析几何中的最值等问题也都显示了导数的威力与魅力.如何运用导数解决高考中的问题?本文将通过对新课程标准下导数的应用的讲解来介绍具体的方法.2导数在高中数学新课程中的地位普通高中数学课程标准(实验)指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的必修课程是整个高中数学课程的基础,选修课程是在完成必修课程学习的基础上,希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成在系列1和系列2中都选择了导数及其应用显然，导数的重要性不言而喻2.1利于学生更好地理解函数的性态在高中阶段学习函数时,为了理解函数的性态,学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等我们知道,函数的这些性质都可以通过函数的图象表示出来,因而,如果能准确地作出函数的图象,函数的性质就一目了然,函数的性态也容易掌握了如果所涉及的函数是基本初等函数,用描点法就可以作出函数的图象但是,如果所涉及的函数是非基本初等函数,如，等函数,仅用描点法就很难较为准确地作出象但是,掌握了导数的知识之后,学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线,然后再结合描点法,就能较为准确地作出函数的图象这样就有利于学生更好地理解函数的性态,同时也拓宽了学生的知识面2.2 有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题,用初等数学方法是不能解决的,或者难以解决,而通过数学模型建立函数关系,利用函数思想,然后用导数来研究其性质,充分发挥导数的工具性和应用性的作用,可以轻松简捷地获得问题的解决,这也正体现和显示了新课程的优越性其实我们不难发现,函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁,不管是在证明不等式,解决数列求和的有关问题,以及解决一些实际应用问题,我们都可以构造函数模型,并且利用导数,来解决相关问题2.3 有利于学生弄清曲线的切线问题学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响,误认为曲线在某点处的切线,就是与曲线有一个公共点的直线如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道在点的切线斜率，正是割线斜率在时的极限,即由导数的定义,所以曲线在点的切线方程是这就是说：函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线及上的一点,在点外另取曲线上一点,作割线,当点沿曲线趋向点时,如果割线绕点旋转而趋向极限位置,那么直线就称为曲线在点处的切线2.4 有利于学生学好其他学科高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念,它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用微积分所讨论的基本对象是函数,而且以函数的极限为基础作为微积分的一个重要的分支微分学,主要涉及变量的“变化率”问题,对于,导数可以解释为关于的变化率在学习并且掌握了导数及其应用以后,学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：，算出物体的瞬时速度：、瞬时加速度：；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了2.5 有利于发展学生的思维能力在以前的课程标准中,无论是导数的概念还是应用,更多的是作为一种规则来教、来学这样造成的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处,反而加重了他们的学习负担而普通高中数学课程标准(实验)就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化：即在高中阶段,应通过大量的实例,让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限,通过它了解这种认识世界的思维方式,提高学生的思维能力再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导数,再过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时,利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质这种从局部到整体,再由整体到局部的思想方法是很值得学生学习的总之,通过学习导数,使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题,而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一,发展学生的辩证思维能力3 导数在解题中的应用【1】导数作为高中新教材的新增内容之一,它给高中数学增添了新的活力,特别是导数广泛的应用性,已经成为课改后中学数学的一个重点、难点、亮点，是进一步学习高等数学的基础,它为我们提供了新的解题工具,特别是在求曲线的切线、研究函数的单调性、求解函数的单调区间和研究函数极值、最值、证明不等式、恒不等式问题中求参数的取值范围等问题中,处理起来程序化,非常方便、简捷,为我们展现出了一道亮丽的风景线,也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具将导数与传统内容结合,不仅能加强能力的考查力度,而且也使试题具有更广泛的实践意义.下面举例探讨导数在新课程标准下高考的应用3.1利用导数解决函数问题3.1.1利用导数求函数的解析式我们知道,用解析式表示函数关系,便于研究函数的性质,而利用导数求函数的解析式,可以使函数的一些基本性质就会显得更加的明了,此类型问题为导数的常用题型例1：（湖北文科）已知关于的函数，其导函数为，如果函数在处有极值，试确定的值.解 ：由在处有极值,可得解得或若，则，此时没有极值，若，则，易得符合条件，所以时，有极大值 ，故即为所求3.1.2利用导数求函数的单调区间【2】函数的单调性是函数的一个重要性质,也是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关,在运用导数知识来讨论函数单调性时,可结合导数的几何意义,只需考虑的正负即可,假设在区间中可导(1)若对中所有而言,则在中递增;(2)若对中所有而言,则在中递减;(3)若对中所有而言=0,则在中不变由此可见,只要求出函数的导数,判断其正负性,便能判断函数的单调性,这种方法比传统的“定义法”及“图像法”更方便例1：（2009安徽理科） 已知函数，讨论的单调性.解：的定义域是(0,+), 设,二次方程的判别式. 当,即时，对一切都有,此时在上是增函数.当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数. 当，即时,方程有两个不同的实根,. +0- 0+ 单调递增极大单调递减极小 单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.本题属于利用导数判断函数单调性的典型例题,难点在于对导数正负大小的讨论,涉及到了二次函数中判别式知识,综合性很强,也体现了导数在新课改后在高考中的重要地位.例2：（2009浙江文科）已知函数 （I）若函数的图象过原点,且在原点处的切线斜率是,求的值；（II）若函数在区间上不单调,求的取值范围解：（I）由题意得又 ,解得，或， （II）函数在区间不单调,等价于导函数在既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数,即函数在上存在零点,根据零点存在定理,有即,整理得：,解得此题的难点之处在于考查不单调的情况,而不是我们常见的单调情况,反其道而行之的思考方式,更能体现新课改所提倡的创新精神.3.1.3利用导数求函数的值域【2】求函数的值域是中学数学中的重点,也是难点,方法因题而异,变化多样,不易掌握但是,如果采用导数来求解,则大大化简难度,且一般问题都可行例：求函数的值域解 ：显然,定义域为,由于,又,可见当时,所以在上是增函数而,所以函数的值域是.首先确定函数的定义域,然后根据定义域判断的正负,进而求出函数的值域3.1.4利用导数求函数的最（极）值【2】求函数的最（极）值是高中数学的重点,也是难点,是高考经常考查的内容之一,它涉及到了函数知识的很多方面,而用导数解决这类问题可以使解题过程简化,步骤清晰,也容易掌握,从而进一步明确了函数的性态 设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是：（I）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（II）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点,我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点,是R上的可导函数,也是R上的单调函数,但是当时, .一般地,函数在闭区间上可导,则在上的最值求法:(1) 求函数在上的极值点;(2) 计算在极值点和端点的函数值;(3) 比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.例1：（2004年湖南）已知函数为自然对数的底数.（I）讨论函数的单调性；（II）求函数在区间0，1上的最大值. 解：（I）（i）当时,令 若上单调递增;若上单调递减.（ii）当时,令若上单调递减;若上单调递增;若上单调递减.（II）（i）当a=0时，在区间0，1上的最大值是（ii）当时,在区间0，1上的最大值是.（iii）当时,在区间0，1上的最大值是3.2利用导数解决切线问题【3】此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况,的几何意义就是曲线在点处切线的斜率, 当点在曲线上,即点为切点时,则切线方程为当点不在曲线上时,则设切点坐标为,由先求切点的坐标，然后进一步求切线方程3.2.1求过某一点的切线方程例1：求曲线在原点处的切线方程解 ：显然点不在曲线上，由于，则设切点坐标为，所以，则过点的切线方程为因为点在切线上，所以，即，所以，故切线方程为，即此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，再已知点代入方程，求出切点坐标后，最后求切线方程例2：已知曲线,求过点P的曲线的切线方程解：因,所以,则当时， 当时，点P在曲线上，故过点P的曲线的切线方程为即,当时，点P不在上，设曲线过点P的切线的切点是,则切线方程为且点P在此切线方程上,所以有 ，即又,有，即，当时, 所以;当时,所以切线方程是 ,即,当时,切线不存在3.2.2求两曲线切线方程例：（2009江西文科）若存在过点 (1,0)的直线与曲线和都相切,则等于 ( ) A或 B或 C 或 D 或解：设过 (1,0)的直线与相切于点，所以切线方程为,即,又 (1,0)在切线上,则或,当时,由与相切可得,当时,由与相切可得,所以选A.3.3利用导数解决不等式问题【4】纵观这几年的高考,凡涉及到不等式证明的问题,其综合性强、思维跨度大,因此历来是高考的失分点利用导数证明不等式,就是利用不等式与函数之间的联系,直接或间接等价变形后,结合不等式的结构特征,构造相应的函数通过导数运算判断出函数的单调性,将不等式的证明转化为函数问题 不等式是高中数学中的重要部分,它遍及数学的每一个分支学科.证明他们的方法很多,很多是具有很强的技巧性,特别对于某些不易证明的不等式,可根据给出不等式的特点构造函数,利用导数知识研究函数的单调性,然后利用函数的单调性来加以证明,往往可以达到事半功倍的效果,定会觉得豁然开朗. 3.3.1利用函数的单调性证明不等式若函数与满足下列条件:（1）在上连续;（2）在内可导,且,（或）;（3）,则在内,有,（或）;令,由,所以证明等价于证明.例1：（2009辽宁理科）已知函.（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若,则对任意有.解: (1)的定义域为.,(i)若即,则,在单调增加.(ii)若,而,故,则当时，;当及时,在单调减少,在单调增加.(iii)若,即,同理可得在单调减少,在单调增加.(II)考虑函数 则由于,故,即在(4, +)单调增加,从而当时有,即,故,当时，.3.3.2利用函数的最大、小值证明不等式当不等式中含有“=”号时,不等式,亦即等价于函数有最大值0,（或有最小值0）.例2：（2010湖北理科）已知函数的图象在点处的切线方程为.()用表示出,;()若在1,上恒成立,求的取值范围；()证明：. 解：() 则有,解得()由()知,令， 则,（i） 当.若,则,是减函数，所以, ,故在上恒不成立.（ii）时,在上是增函数.,当时,所述,所求的取值范围为()设,则有,而,因此在定义域上恒成立,则所以总结：一般地,解决不等式恒成立的问题和有解问题的基本策略常常是构造恰当的辅助函数,利用函数的单调性、最值、图象求解，基本思想方法包括：分类讨论、数形结合、参数分离、变换主元等等.函数、不等式、导数既是研究的对象,又是解决问题的工具.本题从函数的极值概念切入,借助导数求函数的单调区间,进而求出函数在闭区间上的值域,再处理不等式有解问题.在此题中传统知识与现代方法相互作用,交相辉映,对考生灵活运用知识解决问题的能力是一个极好的考查.3.4利用导数解决数列问题数列是高中数学中的重要内容之一,而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一,有许多初等解决方法事实上,数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数,所以可以利用数列和函数的关系,再运用导数来解决数列求和的有关问题3.4.1求数列的前n和【5】 例：求和：(其中，)解:注意到是的导数,即，可先求数列的前和，然后等式两边同时对求导,有拓展延伸，我们会发现，可以找到一个解决这类题的公式，形如 3.4.2求数列中的最大(小)项【5】将数列看作正整数集上的函数, 然后将定义域扩充为正实数, 用导数的方法求解问题是解决上述问题的一种好方法，特别用于求某个数列中的最大（小）项，使得计算更为简单.例：已知数列的通项,求数列的最大项.解：构造辅助函数,则.显然,当当故在区间上是增函数,在区间上是减函数,所以当时,函数取最大值.对于,所以的最大值是75,即数列的最大项为.把数列通构造成一个函数,将数列的最小项问题转化为函数的最小值问题,从而利用导数求解.3.4.3研究数列的增减性【3】例：（2006湖南理科）已知函数,数列满足,证明：（1）（2）;证明：（1）先用数学归纳法证明1)当n=1时,由已知,结论成立.2)假设当n=k时结论成立,即,因为时所以在上是增函数,又在0,1上连续,从而即故当时,结论成立.由1),2)可知，对一切正整数都成立.又因为时，所以,综上所述, （2）设函数由（1）知,当时，,从而所以在上是增函数,又在0,1上连续，且，所以当时, 成立,于是,故.证明题中构造函数,引入函数,用导数证明该函数的单调性,然后再用函数的单调性达到证明不等式的目的.3.5研究方程根的情况【5】用导数的方法确定方程根的个数是一种很有效的方法,它是通过函数的变化情况,求导来鉴别它的增、减性,从而考察曲线与直线图象交点的状况,以确定根的虚、实范围和个数这位高考命题的新方向之一.例1：求证方程仅有一个实根.证明：设因为,所以为增函数,且又是连续函数,又因为可见曲线的图象与（x轴）必有且仅有一个交点,即方程仅有一个实根.例2: 取何值时, 关于的方程在上有解？解：因为 ,所以 ，将看成的函数，因为,，所以函数在上是增函数, 故.本题亦可结合二次函数的图象, 使得问题转化为区间根分布问题, 但是要分在上有两解和一解两种情况.采用转化思想将与分离开, 利用导数求函数值域, 使得运算量大大减少.3.6利用导数求极限【7】导数的定义在许多题目中出现的形式灵活多样,较为简单的类型是直接应用导数的定义是作适当的变形即能解决问题,导数是由极限定义,所以就能利用导数来求极限,特别在新课程改革之后的高考中,这方面的知识已成为命题的一个新趋势,引起我们的注意.例1：(2007年湖北理科改编)已知p和q是两个不相等的正整数,且,则 解：设,且本题常规解法是利用极限的运算法则求极值.但当所求极限的形式与导数定义相似时,可以考虑利用导数的定义来解,另辟蹊径,方便快捷.3.7利用导数解决实际问题利用导数,不仅可以解决函数、切线、不等式、数列等问题,还可以解决一些实际应用问题学习的最终目的,是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力,而解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言, 找出问题的主要关系, 并把问题的主要关系近似化, 形式化, 抽象成数学问题, 再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解近几年,高考越来越注重对实际问题的考查,比如最优化问题、最低成本问题、最大利润问题等,而利用导数解决这些问题非常方便例1：( 2005年全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为，容器的体积为， 则,由得时，时，时，,所以,当,有极大值,又,所以当,有最大值例2：（2009湖南理科）某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为万元. （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解 ：（）设需要新建个桥墩,所以 （）由（）知,令,得,所以=64,当0<<64时,<0,在区间内为减函数;当时,>0.在区间内为增函数,所以在处取得最小值,此时,故需新建9个桥墩才能使最小.4结束语本文讨论了导数在研究函数的性质、求曲线的切线方程、证明不等式、求极限和数列以及解决实际问题等方面的广泛的应用.导数这部分内容不仅是函数的深化和拓展,还与其他许多知识都有着密切的联系,如函数图象交点和方程根的分布等综合研究,用导数法往往比传统法更具有优越性. 特别在新课程标准下的高考中，导数的应用凸显出更加重要的地位. 致谢感谢在大学期间所有传授我知识的老师,是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识,这也是论文得以完成的基础.感谢我的指导老师柴国庆,在论文写作的整个过程中他给了我很大的帮助,才使我顺利的完成了这篇论文.参考文献1天利全国高考命题研究组.2006-2010最新五年高考真题汇编详解M.西藏人民出版社,20102李儒.导数在中学数学解题中的应用M.中国科技博览2010（14）3姜秀云.浅析导数的应用J.考试周刊,2010(4)4赵京之,导数在证明不等式中的应用M,中国新技术新产品,2010（14）5 刘琍.导数应用的补充J,景德镇高专学报,2006，21(2)6 孙灯勋导数在数列问题中的应用J, 中学数学月刊, 2007，(10)7 李传军,导数应用中的“另类”视角J,数学学习与研究,2010,(19)