换元思想在微积分中.docx
换元思想在微积分中的应用高杨数学与信息学院 数学与应用数学专业07级9班指导老师：郭潇摘要：高等数学是高等院校许多专业开设的一门重要的基础课程，而微积分是高等数学的基础，学习好这部分知识对后继课程的学习格外重要。那么怎样来学好它呢？除了对概念的深刻理解，再者就要多做相关的习题。在微积分的学习中，学习者要经常面对大量的计算。如果找不到合适的方法，会让学习者无所适从，掌握了解题方法对深刻理解微积分起到事半功倍的作用。其实数学解题的方法很多，需要我们慢慢的学习和积累。本文结合教学实际，列举出一些具体问题，单独对“换元”这一方法，对微积分相关问题加以讨论，或许能开拓学习者的解题思路，来解决实例问题。关键词：换元；高等数学；微积分；极限；微分；积分Thought substitution of calculusGao YangMathematics and Information ScienceMathematics and Applied MathematicsGrade 07 Instructor:Guo XiaoAbstract：Many professional institutions of higher learning higher mathematics is thecreation of an important basic courses, and calculus is the foundation of highermathematics, study and knowledge of this part of the subsequent courses isparticularly important. So how to learn it? Excepting deep understanding of concepts,we should do more necessary prectice. In the calculus of learning, learners shouldalways face a lot of calculations. If you can not find a suitable way, you will not knowhow to master the problem-solving methods on a deep understanding of calculus playa multiplier role. In fact, a lot of mathematical problem-solving approach, we need tolearn and accumulate slowly. This combination of teaching practice, a number ofspecific issues listed separately on the "substitution" This method, discussed issuesrelated to calculus, may be able to develop the learner's problem-solving ideas tosolve the instance of the problem.Key words: Substitution; Higher Mathematics; Calculus;Limit;Differential;Integral微积分主要包括了极限、微分和积分，所以研究换元思想在微积分中应用，我们应该分别从这几个方面来研究。一、换元思想在极限中应用极限是高等数学的基本概念，求解极限的方法灵活多样。其中，洛必达法则和等价无穷小代换因具有广泛的适用范围而倍受重视。而换元的基本思想是指通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，发生有利的转化，从而达到解题的目的。下面举例谈谈换元法在求极限过程中的妙用。例 1 求下列函数的极限(1) limx®-1x2 + 2 x + 2 - 1sin (x + 1)æ 1 +,(2) lim çx®¥ è 1 -xxö x+1÷ø.(1)解设 t= x +1则 limx®-1x2 + 2 x + 2 - 1sin (x + 1)= limt ®0t 2 + 1 - 1sin t= limt ®0t 2 + 1 - 1sin t´t 2 + 1 + 1t 2 + 1 + 1t 2 + 1 + 1= limt ®0t t´sin t= limt ®0tsin t´ limt ®0tt 2 + 1 + 1=1 ´ 0则 l i mç÷= lim ç ÷ç + 1÷= lim èç - + 1÷(2)解设 t=xæ 1 +x®¥ è 1 -xx=0ö x+1 æ 1 + t öt +1ø x®¥ è 1 - t øæ 1 öt +1t øx®¥ æ 1 öt +1è t ø1=-1= 2例 2 求 limx®0arcsin xx.解 令 t = arc sin x， 则 x = sin t， 于是原式 = limx®0t 1 1= lim = = 1.sin t t®0 sin t sin tlimt®0t t例 3 求 limx®0e x - 1x= lim = 1解 令 t = ex1， 则x = ln(1+t) 于是原式 =limt®0t 1ln(1 + t ) t®0 ln(1 + t )t二、换元方法在微分中的应用在求解微分的过程中，如果能根据问题的特点，灵活巧妙地结合换元法解题，就可以给解题带来方便，达到事半功倍的效果。下面谈谈换元思想在微分中的应用。例 4 求函数 y =arcsin x2 的微分.= 的积分公式知先设 u = arcsin x2解：由dy dy dudx du dx则 y = u dy = u ´ ´ dxdudx以上类推，再令 t = x2du =dt而= 2xdx11 - t 2 ´dtdx´ dx1 - t 2 ´ 2 x =1 - x4 2 xu所以 dy =´1arcsin x2 11 + x 2 .三、换元思想在积分中应用换元思想在积分中的应用是微积分学习中的重点内容，它能使解题思路更加清晰，使计算更加简单。而积分主要包括不定积分和定积分。下面谈谈换元思想在积分中的应用。1.不定积分的第一换元法¾¾凑微分先看一个例子：例 5 求 òxdx解.因(1 + x2 )= 2 x，与被积函数的分子只差常数倍数 2，如果将分子补成 2 x ,即可将原式变形：( )原式 = ò2 1 + x 2 1 + x 21 2 xdx1 d 1 + x 2=ò2( 令 u = 1 + x2 )=ò = ln u + C = ln | 1 + x 2 | +C . ( 代回 u = 1 + x2 )1 du112u22注.此例解法的关键是凑了微分 d(1 + x2 )一般地有第一换元公式 ( 凑微分 )：凑微分换元 u = j (x)积分代回 u = j (x)f j (x) j(x)d x =fj (x)dj (x) =f(u)du=F(u)+C= Fj (x)+C其中函数 u = j (x)是可导的, 且 F(u)是 f(u)的一个原函数从上述公式可看出凑微分法的步骤：凑微分¾¾® 换元 ¾¾® 积分 ¾¾®再换元j(x)dx= dj (x) u=j(x) 得 F(u)+C 得 Fj (x)+C注. 凑微分法的过程实质上是复合函数求导的连锁法则的逆过程.因在 Ff(u)的前提下,上述公式右端经求导即得:(u)=解. 原式 =ò (ax + b) m d (ax + b) ( 凑微分 d( ax + b ) )= ò u m du ( 换元 u = ax + b )= × u m+1 + C ( 积分 )Fj (x)+C= Fj (x) j(x) = f j (x)j(x) .这就验证了公式的正确性例 6 求( ax + b ) mdx ,( m1 , a0 ) .1a1a11a m + 1=1a(m + 1)(ax + b) m+1 + C . ( 代回 u = ax + b )例 7 求 ò x 2e - x3dx .()解.原式 = - 13ò e - x3 d - x 3( 凑微分 d( x3)=3 x2 dx )= - ò e u du = -e u + C = -e - x3 + C ( 换元 u =111333x3 ) .注. 在熟练掌握凑微分法之后，中间换元 u=j (x) 可省略不写, 显得计算过程更简练, 但要做到心中有数例 8 求tan x dx.解.原式 =ò sin x dx = -ò d cos xcos x cos x=ln |cos x| + C .同理可得cot x dx = ln |sin x| + C .例 9 求 òdx( a 0 ) .x 2 + a 2d ç ÷òdxòè a ø = 1 arctan x + Cæ x ö 2 a aæ x ö 2解.原式 =1a 2æ x ö1=a1 + ç ÷ 1 + ç ÷è a ø è a ø.a 2 - x 2 ( a > 0 ) .例 10 求 òdxa ò1 - ç ÷d ç ÷1 - ç ÷解.原式 = 1dxæ x ö 2è a ø= òæ x öè a øæ x ö 2è a øx= arcsin + C .aò æç1-1ö÷dx =1 éêò dx - ò dx ùú例 11 求解. 原式=ò 1 dx , ( a ¹ 0) .x 2 - a 212a è x - a x + a ø 2a ë x - a x + a û= 1 é d ( x - a)d ( x + a) ù 1 ln x - a - ln x + a + C = òê- òx - a x + a úû2a 2a x + a1x - a=ln+ C .2a ë例 12 sec x dx .= ò解.原式 = òcos xdx d sin xcos 2 x 1 - sin 2 x( 换元 u = sin x )ò ç÷du= òdu 1 æ 1 1 ö= +1 - u 2 2 è 1 - u 1 + u ø=êò+ ò = - ò+ ò= 1 - ln1 - u + ln1 + u + C =ln 1 + u + C ( 代回 u = sin x )1 édudu ù1 éd (1 - u)d (1 + u) ùûëû2 ë 1 - u1 + u ú2 ê1 - u1 + u ú1221 - u11 + sin x1(1 + sin x) 2=ln+ C =ln+ C21 - sin x21 - sin 2 x11 + sin x 21sin x=ln+ C = ln+ C = ln |sec x + tan x | + C .2cos xcos xcos x2.不定积分第二换元法.第一换元法公式的核心是f j (x) j(x)d x =f(u)du .从公式的左边演算到右边,就是凑微分换元: u=j(x) . 如果我们从公式的右边演算到左边,就成为换元的另一种形式,称为第二换元法.即若 u=j(x)是单调可导函数,那么有公式换元 u = j (x)积分代回 x = j-1 (u)f(u)du= f j (x) j(x)d x = F (x)+C=F(j-1(u)+C第二换元法常用于被积函数含有根式的情况.例 13 求 òdx1 + x ,解. 令x = t Û x = t 2 ( 此处 j (t) = t2 ) 于是ò 2tdt = 2ò t + 1 - 1 dt = 2ò æç1 -dt = 2ò dt - 2ò原式 =1 ö d (1 + t )÷1 + t 1 + t è 1 + t ø 1 + t( )= 2t - 2 ln1 + t + C = 2 x - 2 ln 1 +x + C( 代回 t =j-1 (x)= x ) .注. 你能看到，换元 x = t 的目的在于将被积函数中的无理式转换成有理式, 然后积分第二换元法除处理形似上例这种根式x 以外，还常处理含有根式x 2 - a 2 ， x 2 + a 2 ， a 2 - x 2 ( a > 0 )的被积函数的积分被积函数含根式换元方法运用的三角公式x 2 - a 2x = a sec tsec2 t 1= tan2 tx 2 + a 2 tan2 t +1 = sec2 tx = a tan ta 2 - x 2x = a sin t1 sin2 t = cos2 t例 14 求 òdxx 2 - a 2( a > 0 ) .解. 令 x = a sec t， 则 dx = a sec t tan t dt , 于是a tan t =sec t dt = ln |sec t + tan t | + C 1 .原式 = òa sec t tan tdt到此需将 t 代回原积分变量 x，用到反函数 t = arc sec ，但这种做法较繁下xa面介绍一种直观的便于实施的图解法：图 2.1作直角三角形，其一锐角为 t 及三边 a，x， x 2 - a 2 满足：sec t =原式 = ln | sec t + tan t| + C 1xa.由此，= lnxa+x 2 - a 2a+ C = ln1x + x 2 - a 2a + C1= ln x +x 2 - a 2 + (C - ln a ) C = C1 - ln a1ln x + x 2 - a 2 + C .注C 1 是任意常数,ln a 是常数, 由此 C = C 1ln a 仍是任意常数例 15 求 òdxx 2 + a 2( a > 0 ) .a sec t =sec t dt = ln | sec t + tan t | + C 1 .解. 令 x = a tan t，则 dx = a sec2 t dt ，于是原式 = ò a sec 2 tdt图 2.2图解换元得原式 = ln | sec t + tan t| + C 1a += lnx 2 + a 2xa + C1 = ln x + x 2 + a 2 + C1 - ln aC = C - ln a1ln x + x 2 + a 2 + C .x 2 ± a 2 = ln x +x 2 ± a 2 + C ( a > 0 ).公式:òdx例 16 求 òa 2 - x 2 dx( a > 0 ) .解. 令 x = a sin t，则 dx = a cos t dt ，于是原式 =ò a cos t × a cos tdt = a 2ò 1 + cos 2t dt2 dt + ò cos 2tdt = a é 1 ù a 2 + sin t cos t + C=a 222û2 êët + 2 sin 2t ú + C = 2.图 2.3图解换元得：êëúû原式 =a 22é x x a 2 - x 2êarcsin + ×a a aù a 2 x xú + C = arcsin +2 a 2a 2 - x 2 + C .3.定积分换元法定理.设函数 f (x)在区间a, b上连续，且函数 x =(t)满足：(1) 在区间 , 上有连续导数 /(t)；(2) 当 t 在 , 上从 变到 时，(t)单调地从 a 变到 b；(3) ( ) = a，( ) = b 则òbf ( x)dx = ò b f j (t )j ¢(t )dtaa应用上述定理计算定积分时，最重要的一点是注意积分上下限的对应关系即下限 a 对应着下限 , 上限 b 对应着上限 ，不管它们的大小关系如何定积分与不定积分的换元差别在于：不定积分的结果是函数，积分变量( 自变量 )应回代到原变量；而定积分的结果是数值，就不必回代成原变量后再代入原来的上下限，只要按新变量的对应上下限代入计算即可我们看下面的例子，以说明两个换元过程的差别例 17 不定积分1 +x òdxt =x 2tdt 回代t =x( )ò定积分1 + t= 2t - 2 ln1 + t + C 2 x - 2 ln 1 + x + C ò21dx t = x1 + x2+ò1 2 1 tdt = 2t - 2 ln1 + t 1 2( )不必回代t =x22 - 2 ln1( + 2 )- 2 - 2 ln 2 = 22 - 2 + 2 ln 2 - 2 ln 1 + 2 .例 18 求 òaxe x2dx解一. 原式 = ( )ò a e x2 d x 2221( )( ) ( )012 011=e x2a =0解二.原式 =ò a e x2 d x 22 0(凑微分 d(x2), 积分变量未改, 上下限也不改)e a - e 0 = e a - 1 .2(凑微分 d(x2), 积分变量未改, 上下限也不改)=ò a e u du (换元, 积分变量改了, 上下限也要改)11 ( )2 212 0=e u a =e a - 1 .0从上例的两种解法，你要看清上下限的改变是与积分变量的改变同步且对应的四、换元思想在微分方程中的应用换元思想在微分方程中也有着充分体现，解题时必须根据问题的特点，灵活应用，这样能给解题带来方便。下面主要讨论在微分方程得求解为题，可以体会到换元思想的妙用。x¢¢例19 求微分方程 y 2 + (x 2 - xy ) = 0 满足初始条件 y解：方程 y 2 + (x 2 - xy ) = 0 可以化成æ y ö2ç÷y 2=èøy¢ = (xy - x2 )y- 1x令 t = y 则 y = xt ， y¢ = t + xt¢ 带入方程得xtxt¢ =t - 1x-1= -1 的特解分离变量得 ç1 - ÷ dt =æ1 öèt ø1xdx两边积分 t - ln x = ln x + ln ct = ln cxt即 y = ln cyx通解是 cy = eyx带入初始条件 y (1) = -1 知 c = -1ey最后特解为 y = -e x+1由上可见，换元法在高等数学的教学中有着广泛的应用。因此，在数学学习时，特别是解数学问题时，要有意识地训练运用换元法的技能，有效提高解题的应变能力与思维能力，从而增强学生学习数学的兴趣。通过上述的例题，我们发现换元这一方法贯穿微积分教学的整个过程，只要在极限、微分、积分中巧妙地运用换元的方法，可以轻易地解决一些计算问题。只要我们善于和应用换元的方法，将在高等数学的后继学习中获益匪浅。参考文献:1黎诣远，李林曙.经济数学基础M.高等教育出版社,2005.2柳重堪.高等数学M.中央广播电视大学出版社,2005.3 休斯哈雷特.微积分M.高等教育出版社,1997.4高汝熹.高等数学微积分M.武汉大学出版社,2000.5邓鹏.高等数学方法论M.四川教育出版社,2003.6 Patrick M.Fitzpatrick.Adbanced Calculus A Course in Mathematical Analysis M.机械工业出版社,2003.致谢在我毕业论文开题、调查、研究和撰写过程中，郭潇老师给予了我耐心、细致和全面的帮助表示最真诚的感谢。
