研究生矩阵理论.ppt

第二章,向量与 矩 阵的范数,1 向量的范数,定义 2,定理 3,定理 2,定义 3,定义 4,定理 4,2 矩阵的范数,定义 1,例 1,定义 2,例 2,例 3,定理 3,推论 1,一、算子范数,定义 1,3.算子范数,例 1,例 2,定理 1,推论 1,算子范数的特性：,定理 2,P63页，相容的矩阵范数一定存在与之相容的向量范数。,定理 3,例 4,二、算子范数 的计算:,例 5,例 6,定义 2,定理 4,三、谱范数的性质,定理 5,6 范数的应用,例 1,解：,定义 1,定理 1：,定理2,定理 3,定理 4,证明：,第三章,矩阵的分解,1 矩阵的三角分解,一、n 阶方阵的三角分解,2.两个上三角矩阵、的乘积 也是上三角 矩阵,且对角元是 与 对角元之积;,1.上三角矩阵R 的逆 也是上三角矩阵,且对角 元是R 对角元的倒数;,3.酉矩阵U 的逆 也是酉矩阵;,4.两个酉矩阵之积 也是酉矩阵.,定义 3：,定理 3：,二、任意矩阵的三角分解,定理 4：,定理 5：,2 矩阵的谱分解,一、单纯矩阵的谱分解,定理3,定理4,二、正规矩阵及其分解,引理 1,.,引理 2,引理 3,定理 5,定理6,4 矩阵的最大秩分解,定理 1,矩阵的最大秩分解步骤：,5 矩阵的奇异值分解,定理 1,定义 1,定义 2,定理 2,定理 3,4.1 特征值界的估计,定理 1(Schur不等式),定理 2(Hirsch),定理 3(Bendixson),定理 4,定理 5(Browne):,2 圆盘定理,定义 1,定理 1(圆盘定理1),定理 2(圆盘定理2),推论 2,推论 3,推论 4,定理 2,4 Hermite矩阵特征值的变分特征,矩阵分析,第 五 章,1 矩阵序列与矩阵级数,定理 1：,定理 2：,2 矩阵函数,一、矩阵函数的定义,常用的矩阵函数：,二、矩阵函数值的计算,1、利用相似对角化:,同理,2、Jordan 标准形法:,三、矩阵函数的一些性质,性质1：,性质2：,第六章,广义逆矩阵,1 矩阵的单边逆,初等变换求左(右)逆矩阵:,2 广义逆矩阵,3 自反广义逆矩阵,记,5 M-P广义逆矩阵A+,设 是A的最大秩分解则,6 A+的计算方法,举例说明下列结论不成立：,其中k是正整数.,7 广义逆矩阵的应用,一、矩阵方程的通解,.,二.相容方程的最小范数解,定义1 设方程组Ax=b有解时，将所有的解中范数最小的解称为最小范数解。,定理,则Db是相容方程组Ax=b的最小范数解，并且方程组的最小范数解唯一.,组Ax=b的最小范数解，,定理：设GA1,4,则Gb是不相容 方程组Ax=b的最小二乘解。,引理 x是不相容方程组Ax=b的最小二乘解的充要条件为 Ax=AGb.,定理 不相容方程组Ax=b的最小二乘解的通解,