八年级上全等三角形培优训练(较难).docx

全等三角形巩固训练一、单选题1. 如图，四边形ABCD中，F是CD上一点,E是BF上一点，连接AE、AC. DE.若AB=AC.AD=AE. ZBAC=ZDAE=70。,AE平分ZBAC9 则下列结论中: BE=EF; （S）ZSFD=IlO0;AC垂直平分DE,正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 如图所示，已知点F、E分別在AB、AC上，且AE=AF,当满足下列条件仍无法确 定的 ABE仝AACF是（）A AB=ACB. CF=BEC. BF=CED ZB=ZC3. 如图，把SABC剪成三部分，边AB, BC, AC放在同一直线上，点O都落在直线MN匕 直线MN/AB.在ABC中，若ZAOB=I25o9则ZACB的度数为（A. 70°B. 65°C. 60°D 8504. 如图，边长为2a的等边三角形ABC中，M是髙CH所在直线上的一个动点，连接MB,将线段Bxl绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接HN.则在点M运动过程中，线 段HN长度的最小值是（）B. aD' 2a5. 如图,在 ABC 中，AB=AC, ZBAC=I20o, D, E 是 BC ±的两点，且ZDAE=30°,将AAEC绕点A顺时针旋转120。后，得到AAFB,连接DF下列结论中正确的个数有 ZFBD=60°： （2）ABE>DCA:AE平分ZCAD：AAFD是等腰直角三角形.6. 如图，AB=ACt BD丄AC于D, CE丄AB于E, BD. CE交于0,连结AO,则图中共有全等三角形的对数为（）A. 2 对 B. 3 对 C. 4 用tD 5 M7. 如图，四边形ABCD中，ZA. ZB. ZC. ZD的角平分线恰相交于一点P,记厶APD、DPC的而积分别为Sx S2 S3、S4>则有（）A. Sl + S3 = S? + S4 B. SI + S2 = S3 + S4 C SI + S4 = S? + S3 D Sl = S38. 如图，AABC 中，ZABC=45o, CD丄AB 于 D, BE 平分ZABC,且 BE丄AC 于 E,与CD相交于点F, DH丄BC于H,交BE于G.下列结论：BD=CD； ®AD+CF=BD： CE=F;AE=BG其中正确的是A. B. ®® C.®D.9. 如图，AD是AABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（）A. AD+BC=AB+CDtC. AD+BC<AB+CD,B. AB+AC=DB+DC.D. AB+AC<DB+DCC. BF>EF D. FDBCBE丄AC. Z1=Z2, AD=AB9则下列结论不正确的是11在平而直角坐标系中，第一个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（2,0）,点D的坐标为（0, 4）,延长CB交X轴于点A,作第二个正方形AIBlClCz延长GBl交X轴于点A?,作第三个正方形A2B2C2C1.按这样的规律进行下去，第2018个c 20× G) 4036 D- 20× G)44,34第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明 二.填空题12. 如图，AB = I2cm, ZCAB = DBA = 62o. AC = BD = 9cm.点P在线段AB上以3cnVs的速度由点A向点3运动，同时，点0在线段BD上由点B向点D运动设点Q的运动速度为X cnVs.当以B、P、Q顶点的三角形与MCP全等时，X的值为13. 如图，Rt ABC , AB=AC9 点 D 为 BC 中点.ZMDN=90。，乙MDN 绕点 D 旋 转，DM、Z）N分别与边AB、AC交于E、F两点.下列结论： DEF是等腰直角三角形： AE=CF； ' BDE 竺 MDF； BE+CF=EF; S 典边AEDF= AD9414. 如图，在AABC 中，ZABC=45% CD丄AB 于点 D, BE 平分ZABC,且 BE丄AC于点E,与CD相交于点F, H是边BC的中点，连接DH与BE相交于点G,若GE=3,贝IJ BF=15. 如图，等边AABC边长为10, P在AB上，0在BC延长线，CQ=PA.过点P作PE丄AC点E,过点P作PF/BQ,交AC边于点F,连接P0交AC于点D 则DE的 长为三.解答题16. 如图，在ZVIBC中，AB = AC, AH丄BC垂足为H , D为直线BC上一动点（不 与点5C重合）,在AQ的右侧作AADE ,使得AE = ADy ZDAE = ZBAC涟接CE（1）求证：ZABC = ZACB ；（2）当D在线段BC上时 求证：BADLCAEX 若AC丄DE,则BD = DC ；（3）当CEAB时，若厶ABD中最小角为20。，试探究ZADB的度数（直接写岀结果）17. 如图，将两个全等的直角三角形AABZX 'ACE拼在一起（图1）AABD不动,4图2图3图斗（1）若将AACE绕点A逆时针旋转，连接DQM是DE的中点，连接MB、MC （图2）,证明:MB=MC.（2）若将图1中的CE向上平移，ZCAE不变，连接DE, M是DE的中点，连接MB、MC（图3）,判断并直接写出MB、MC的数量关系.(3)在(2)中，若ZCAE的大小改变(图4),其他条件不变，则(2)中的MB、Mc 的数量关系还成立吗？说明理由.18. 已知在AABC中，ZBAC=60°,点P为边BC的中点，分别以AB和AC为斜边向 外作 Rt ABD 和 RtZkACE,且ZDAB=ZEAC=g 连结 PD, PE9 DE.DF(1) 如图 1,若 =45o,则=:DP(2) 如图2,若a为任意角度，求证：ZPDE=a：(3) 如图 3,若 a=150t AB=& AC=6,则APDE 的而积为19. 如图，P为等边AABC外一点，AH垂直平分PC于点H, ZBAP的平分线交PC 于点D.(1) 求证：DP=DB:(2) 求证：DA+DB=DC;(3) 若等边AABC边长为,连接BH,当ABDH为等边三角形时，请宜接写出CP 的长度20 阅读下而材料：小炎遇到这样一个问题:如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD±,ZEAF=45o, 连结EF.则EF=BE+DF,试说明理由.1 1 12小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中.她 先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB, AD是共点并且相等的，于 是找到解决问题的方法.她的方法是将 ABE绕着点A逆时针旋转90。得到 ADG, 再利用全等的知识解决了这个问题(如图2).参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：(1) 如图 3,四边形 ABCD 中，AB=AD, ZBAD=90°点 E, F 分别在边 BC, CD ±,ZEAF=45°.若ZB, ZD都不是直角，则当ZB与ZD满足关系时，仍有EF=BE+DF:(2) 如图 4, < ABC 中，ZBAC=90o, AB=AC,点 D、E 均在边 BC 上，且ZDAE=45°, 若 BD=I, EC=2,求 DE 的长.参考答案1. C【解析】【分析】依据SAS可证明ABE ACD,由全等三角形的性质可得到ZAEB = ZADC,贝IJZAEF + ZADC = 180 »然后依拯四边形的内角和为360可求得/BFD的度数，然后 再证明ZAEC = ZDAC,最后，依据等腰三角形的性质可得到AC与DE的关系.【详解】解：9JAB=AC9 ZBAC=ZDAE, AE=AD9：.ABECD,故正确.TABE 竺 MCD,：.ZAEB=ZADCT ZAEB+ZEF=180o, ZAEF+ZADC= 180。， ZBFD= 180o-ZEAD= 180o-70°= 110°,故正确.TAE 平分ZBAGZEAC=350.又 T ZDAE=70°,：.AC 平分 ZEAD.又 VAE=ADt：.AC丄EF, AC 平分 EF.AC是EF的垂直平分线，故正确.由已知条件无法证明BE=EP，故错误.故选：C.【点睹】本题主要考查的是全等三角形的性质和判左、等腰三角形的性质、四边形的内角和，熟练掌 握相关知识是解题的关键.2. C【解析】【分析】由条件隐含条件是公共角ZAAE=AF,然后再逐个添加条件，如果不符合判立法则，即为答 案。【详解】解：结合已知条件：可发现A选项满足SAS:B选项和已知条件AE=AF.可说明AB=AC, 满足SAS即B可以:C选项添加条件后变为SSA,但SSA不能证明三角形全等，故C错误： D选项满足ASA;故答案为C【点睛】本题考査添加一个条件让三角形全等，SSA不能证明三角形全等是解答本题的关键。3. A【解析】【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC. AB的距离相等，得岀O为三条角平 分线的交点，根据三角形内角和左理和角平分线的左义即可得岀结论.【详解】如图1，过点O作OD丄BC于£>, OE丄ACTE. OF丄AB于F.,.'MNB, ：.OD=OE=OF （平行线间的距离处处相等）.如图2：过点0作OD丄BC于D,作OE丄AC于E,作OF丄AB于F., B图2由题意可知：0D=0D't 0E=0E, 0F=0F, /.OD=OE1=OF,：.图2中的点0是三角形三 个内角的平分线的交点.V ZAOB=I25o, ZOAB+ZOBA=SOQ-25Q=55°9 ：. ZCAB+ZCBA=2×55q= 10°, ZACB=I80o-110o=70o故选A.【点睛】本题考査了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线左义，解答本题的关键是判 断岀 OD=OE=OF.4. D【解析】【分析】取CB的中点G,连接MG,根据等边三角形的性质可得BD=BG,再求岀ZHBN=ZMBG, 根据旋转的性质可得MB=NB,然后利用“边角边“证明MBGNBH,再根据全等三角 形对应边相等可得HN=MG,然后根据垂线段最短可得MG丄CH时最短，再根据ZBCH=30° 求解即可.【详解】如图，取BC的中点G,连接MG,.ZMBH+ZHBN=60o,又 T ZMBH+ ZMBC= Z ABC=60o, ZHBN=ZGBm,VCH是等边 ABC的对称轴，1 HB=-AB,2 HB=BG,又/ MB旋转到BN, BM=BN, MBG和厶NBH中，BG = BH< ZMBG = ZNBH ,MB = NB.MBGNBH (SAS), MG=NH,根据垂线段最短，MG丄CH时，IVIG最短，即HN最短，此时 ZBCH= - ×60o=30% CG= -AB=- ×2a=a,2 2 2: MG= CG= ×a= a92 2 2HN=-a,2故选D.【点睛】本题考査了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判左与性质，垂线段最短的性质， 作辅助线构造岀全等三角形是解题的关键，也是本题的难点.5. B【解析】【分析】根据旋转的性质得出ZABF=ZC,求出ZABC=ZC = 30%即可判断：根据三角形外角 性质求岀ZADC=ZBAE,根据相似三角形的判左即可判断；求岀ZEAC大于30。，而 ZDAE=30°,即可判断：求出AAFD是直角三角形，但是不能推出是等腰三角形，即可 判断【详解】解:T在 ABC 中，AB=AC, ZBAC=I20ot ZABC= ZC=30of将厶AEC绕点A顺时针旋转120。后，得到 AFB,AECAFB, ZABF= ZC=30o,ZFBD = 30o + 30o = 60o, '正确；VZABC=ZDAE=30°, ZABC+ ZBAD= ZDAE+ ZBADt即 ZADC=ZBAE,VZABC= ZC, ZkABEsADCA, '正确：V ZC=ZABC=ZDAE=30ot ZBAC=I20°, ZBAD+ ZEAC= 120o-ZDAE=90%ZABC+ZBAD<90%ZADC<90o, Z DAC >60%ZEAC>30o,即ZDAEMZEAC, 错误：将厶AEC绕点A顺时针旋转120。后，得到 AFB,AF= AE, ZEAC=ZBAF,VZBAC=I20% ZDAE=30。，ZBAD÷ZEAC=90otZDAB÷ZBAF=90ot即AAFD是直角三角形，在ADAE 中，ZADE=ZABC+ZBAD> ZAED=ZC+ ZEAC, ZABC=ZC> 但是根据已知不能推岀ZBAD=ZEAC, ZADE和ZAED不相等，AD和AE不相等，即AAFD是直角三角形，但是不一立是等腰三角形，错误；故选:B.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判左，三角形的外角性质，全等三角形的性质 和判左的应用，主要考査学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，但是有一立的 难度.6. C【解析】【分析】先根据条件，利用AAS可知 ADB仝AAEC,然后再利用HL、ASA即可判断 AOEAOD, BOECODf AOCAOB.【详解】VAB=ACt BD丄AC 于 D, CE丄 AB 于 E,ZADB=ZAEC=90o,VZA为公共角，ADBAEC, (AAS)AE=AD, ZB=ZCBE=CD,VAE=AD, OA=OA, ZADB=ZAEC=90°,AOEAOD (HL),Z0AC=Z0AB,VZB=ZC, AB=AC, ZOAC=ZOABtA0CA0B. (ASA)VZB=ZC, BE=CD, ZODC=ZOEB=90°,BOECOD (ASA).综上：共有4对全等三角形，故选C.【点睛】本题考査三角形全等的判左方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS. ASA、HL.注意：AAA. SSA不能判泄两个三角形全等，判定两个三角形全 等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.做题时要从已知 条件开始结合全等的判左方法逐一验证，由易到难，不重不漏.7. A【解析】【分析】作辅助线.利用角平分线性质泄理,明确8个三角形中而积两两相等即可解题.【详解】四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P.即点P到四边形各边距离相等，(角平分线性质疋 理)，如下图,可将四边形分成8个三角形,而积分别是a、a、b、b、c、c、d、d.则 S =a+d, S2=a+b. S3=b+c, S4=c+d,. S +S3=a+b+c+d= S2+S4故选A【点睛】本题考査了角平分线性质立理,作髙线和理解角平分线性质左理是解题关键.8. C【解析】分析：根拯ZABC=45。，CD丄AB 可得岀 BD=CD,利用 AAS >J Rt DFBRt DACt从而得出DF=AD, BF=AC贝IJ CD=CF+AD,即AD+CF=BD:再利用AAS判定Rt BEARt BEC.得岀 CE=AE=AC,又因为 BF=AC 所以 CEJAC丄BF,连接 CG.因 2 2 2为ABCD是等腰直角三角形，即BD=CD.又因为DH丄BC,那么DH垂直平分BC.即BG=CG在Rt CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG即AE<BG.详解：VCD丄AB.ZABC=45S BCD是等腰直角三角形. BD=CD.故正确；在 Rt DFB 和 Rt DAC 中,Y ZDBF=90o-ZBFD,ZDCA=90o-ZEFC,且ZBFD=ZEFCt .ZDBF=ZDCA.又 V ZBDF=ZCDA=90o, BD=CD,.DFBDAC BF=AC: DF=AD.VCD=CF+DF, AD+CF=BD:故正确； 在 Rt BEA 和 Rt BEC 中.VBE 平分 ZABCt ZABE=ZCBe.又 T BE=BE, Z BEA= ZBEC=90°,Rt BEARt BECACE=AE=-AC.2又由(1),知 BF=AC, CE=扌AC兮BF；故正确;连接CG.VBCD是等腰直角三角形，ABD=CD 又DH丄BC,DH 垂直平分 BC. BG=CG.在 Rt CEG 中，VCG是斜边，CE是直角边，CE<CG.VCE=AE,AE<BG.故错误.故选C.点睛：本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判左与性质、全等三角形的判左与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很髙的熟悉度9. D【解析】【分析】在BA的延长线上取点E使AE=AU连接EDJiEa ACD幻ZkAED.推出DE=DC,根据三角形中 任意两边之和大于第三边即可得到AB+AC<DB+DC.【详解】解：任BA的延长线上取点E,使AE=AC,i接ED,VAD是厶ABC的外角平分线， ZEAD=ZCAD在厶ACD和厶AED中，AD =ADLEAD =乙 CADAC = AEACDAED(SAS) DE=DC.1 EBD 中BE<BD+DE.AB+AC<DB÷DC故选:D.【点睹】本题主要考查三角形全等的证明,全等三角形的性质,三角形的三边关系,作辅助线构造以AB. AC、DB、DC的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点.10. B【解析】【分析】根据余角的性质得到ZC=ZABE, ZEBC=ZBAC.根据SAS推出"BF也MDF,根据全 等三角形的性质得到BF=DF,故A正确：由全等三角形的性质得到ZABE=ZADF,等量代 换得到ZADF=ZC,根拯平行线的判泄得到DF/BC,故D正确；根据直角三角形的性质 得到DF>EF,等量代换得到BF>EF;故C正确：根据平行线的性质得到 ZEFD=ZEBC=ZBAC=2Z1,故 B 错误.【详解】'：AB丄BC, BE丄AC, ：. ZC+ZBAC=ZABE+ZBAC=90o, ：. ZC=ZABE.同理：ZEBC=ZBAC.AD = AB在"BF 与AADF 中，T 乙I =乙2 , .9.BFADF. ：.BF=DF9 故 A 正确，AF = AFVABFDF, ZABE=ZADF9 ：. ZADF=ZC, ：.DF/BC,故 D 正确；V ZFEZ）=90o, DF>EFBF>EF;故 C 正确：9JDF/BC. ：. AEFD=AEBC. 9： ZEBC=ZBAC=ZBAC=2Z, ：. ZEFD=2Z.故 B 错误. 故选B.【点睛】本题考查了全等三角形的判立和性质，平行线的判泄和性质，证得AABF旦ZXADF是解题的 关键.11D【解析】【分析】根据勾股定理求得AB=AD=BC=25,再根拯两对对应角相等的三角形相似，证明 ABAl-DOA,根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B,所以正方形AlBlClC 的边长等于正方形ABCD边长的?以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长 的?然后即可求出第2018个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求岀第2018 个正方形的面积.【详解】T点A的坐标为（2, 0）,点D的坐标为（0, 4）,OA=2, OD=4I ZAoD=90SAB=AD=BC=22 + 42 = 25, ZODA+ZOAD=90o,.四边形ABCD是正方形，ZBAD=ZABC=90o,ZABA1=90o, ZOAD+ZBAA=90o, ZODa=ZBAA1,ABA>DOA,.OD: AO=AB: AiB=2, /.BC=2AB,AC=C,以此类推 a2ci= a1c, a3c2=a2c1, .»即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的扌倍，.第2018个正方形的边长为G ) 2017BC,.正方形 A20isB20isC20isC20i7,即第 2018 个正方形的而积为(|) 20,7BC2=20× (|) 4034. 故选D.【点睛】本题是正方形的性质题，主要考查正方形的性质，勾股左理，相似三角形的性质和判左，解 本题的关键是求出几个正方形的边长，找出规律.12. 3 或 4.5【解析】【分析】设点Q的运动速度是XCnVs,有两种情况：ZkACP仝ABQP,AACP仝ZkBPQ,根据全 等三角形对应边相等列出方程，求出方程的解即可.【详解】解：设点Q的运动速度是xcm/s, P点的运动时间为t秒，VZCAB=ZDBA=60°, .A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况: 当 ACPBQP (SAS),AP = BP Hl' IAC = BQ= 12 3/tx = 9/ = 2解得：X = 4.5 当 ACPBPQ (SAS),AP = BQ 3t = tx 即 <,即<AC = BP9 = 12 3/ 故答案为：3或4.5.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,中等难度.熟悉全等三角形的性质,表示出线段的长度, 并分类讨论是解题关键.【解析】【分析】先由ASA证明 AED辿CFD、得出AE=CF, DE=FD;再由全等三角形的性质得到BE+CF =B,由勾股龙理求得EF与AB的值，通过比较它们的大小来判立的正误：先得出Sptli4 EDF=SiL AI)C= y AD2,从而判立的 IT-误.【详解】解：TRbABC中，AB=ACf点D为BC中点,ZC=ZBAD=45o, AD=BD=CDfTZMDN= 90。， ZADE+ZADF= ZADF+Z CDF=90S ZADE=ZCDF在AAED与 CFD中，ZEAD = ZCAD = CD,AADE = ZCDF： ZEDQHCFD (ASA),.AE=CF. ED=FD.故正确：又 JA CD,：.ADF.故正确；： AEDQbCFD、：.AE=CF9 ED=FD,BE十CF=BE+AE=AB= 2 BD.-EF=迈 ED. BD>ED,.9.BE+CF>EF故错误:9：CFD. BDEAADF.* S典边彤MfM=SA .似=AD2.故错误综上所述,正确结论是故答案是：【点睹】 考查了全等三角形的判左与性质，等腰直角三角形的性质，勾般左理，图形的面积等知识, 综合性较强，有一怎难度14. 6【解析】【分析】求岀BG=GC,求出ZEGC=ZECG,推出CE=GE,进而利用等腰三角形的性质和全等三角形的判左和性质解答即可.解：连接CG,：BD=DC, H 为 BC 中点,：.DH为BC垂直平分线， ：.BG=CG.：.ZABE=ZCBE= ZGCB9Y ZABC=45o, ZABE= ZCBE, ：.ZEGC=ZCBE+ZGCB=45°,VZGEC=90°, ZECG=45Q=ZEGC9：.GE=CE=3.-BE平分ZABC9且BELAC于点E, ：.AE=EC=3 9.*.AC=6tTCD 丄 AB9ZCDB=90%T ZABC=45°,：.ZDCB=45Q=ZDBC,BD=DC,在厶BDF和厶CEF中，： ZBDC= ZBEC=9F,乙DFB=ZEFC,厶BDF =乙CDABD = DC ZDBF= ZECF, 在厶 BDF 和厶 CDA 中Z-DBF =乙 ECF： HBDF竺HCDA (A5),：.BF=AC=6 故答案为：6；【点睛】本题考査全等三角形的性质和判左，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，关键 是利用等腰三角形的性质和全等三角形的判左和性质解答.15. 5【解析】【分析】先证明ZkPFD和ZkQCD全等，推岀FD=CD,再通过证明AAPF是等边三角形和PE丄AC, 推岀AE=EFt即可推岀AE+DC=EF+FD,可得DE=- ACt即可推出DE的长度.2【详解】9JPFBQ9：ZQ=ZFPD、V AABC是等边三角形， ZAPF=ZB=60% ZAFP=ZACB=60°,/. APF是等边三角形，：.AP=PF9VAP=CQ9：.PF=CQ9在厶PFD和厶QCD中，ZFPD = ZQ< ZPDF = ZQDC ,PF = CQ：.APFDAQCD (AAS)9：.FD=CD9TPE丄AC于E, AAPF是等边三角形，:AE=EF,AE+DC=EF+FD,：.DE=-ACf2VAC=IO,.DE=丄 AC=5.2故答案为：5.【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判左与性质，熟练掌 握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.16. (1)证明见解析：(2)证明见解析：证明见解析：(3) 20。或40。或100。.【解析】【分析】(1) 证明Rt AHBRt AHC (HL),即可解决问题.(2) 根据SAS即可证明:D运动到BC中点(H点)时，AC丄DE；利用等腰三角形的三线合一即可证明；(3) 分三种情形分别求解即可解决问题：【详解】(1) VAB=AC, AH丄BC,ZAHB=ZAHC=90%在 RUX AHB 和 RtAACH 中，AB=ACAH=AH *Rt AHBRt AHC (HL), ZABC=ZACb .图1VZDAE= ZB AC, ZBAd=ZCAE,在厶BAD和厶CAE中，AB=AC< ZBAD=ZCAE ,AD=AEBAD 竺 ZkCAE.D运动到BC中点(H点)时，AC丄DE； 理由：如图2中，VAB=AC, AH丄BC,图2 ZBAh=ZCAH,VZBAH= ZCAE, ZCAh=ZCAE,VAH=AE >AC 丄 DE.(3) ZADB的度数为20。或40。或100°.理由：如图3中，当点D在CB的延长线上时,ZBAE=ZAEC, ZBCE=ZABC,VDABEAC,ZADB=ZAEC, ZABD=ZACE,ZBAC=ZBAE+EAC=ZAEC+ZEAC=180o-ZACE=180o-ZABD=ZABC=ZACBtABC是等边三角形，VABD 中的最小角是ZBAD=20°,则ZADB=ZABC-ZBAD=40°. 当点D在线段BC上时，最小角只能是ZDAB=20°,此时ZADB=I80o-20o-60o=l00°. 当点D在BC延长线上时，最小角只能是ZADB=20°,综上所述，满足条件的ZABD的值为20。或40。或l0.【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判左 和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问 题.17. （1）见解析；（2） MB=MC.理由见解析：（3） MB=MC还成立，见解析.【解析】【分析】（1）连接AM,根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE, AB=AC,全等三角形对应角 相等可得ZBAD=ZCAE,再根据等腰三角形三线合一的性质得到ZMAD=ZMAE,然后利 用“边角边”证明 ABM和厶ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证：（2）延长DB、AE相交于E,延长EC交AD于F,根据等腰三角形三线合一的性质得到 BD=BE然后求岀MBAE再根拯两直线平行，内错角相等求岀ZMBC=ZCAEt同理 求岀MCAD,根据两直线平行，同位角相等求岀ZBCM=ZBAD,然后求出ZMBC=ZBCM, 再根据等角对等边即可得证：(3) 延长BNl交CE于F,根据两直线平行，内错角相等可得ZMDB=ZMEF, ZMBD=ZMFE> 然后利用“角角边“证明 MDB和厶MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF, 然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可.【详解】(1) 如图(2),连接AM.由已知得厶ABD仝ZACE,(2)：.AD=AE. AB=AC9 ZBAD=ZCAE.： MD=ME,：.MAD=AMAE. ZMADBAD=ZMAECAE9即 ZBAM=ZCAM 在AABM 和ZkACM 中，AB=AC.ZBAM=ZCAm9AM=AM.ABfACM (SAS),：.MB=M C.(2) MB=MC.理由如下：如图(3),延长GV/交DB于F,延长BM到G.使得MG=BM,连接QG9JCEBD9： ZMEC=ZMDf, ZMCE=ZMFDTM是ED的中点，：.MD=ME.在厶MCE和 MFD中，ZMCE=ZMFD,ZMEC=ZMDF,MD=ME.：.AMCEAMFD (AAS)：.MF=M C.在厶MFB和厶MCG中，MF=MC.ZFMB=ZCMG,BM=MG,：.AMFBAMCG (SAS):FB=GC, ZMFB=ZMCg,.CGBD,即G、C、E在同一条直线上. ZGCB=90°.在厶FBC和厶GCB中，FB=GC,ZFBC=Z GCB,BC=CB,：.AFBCAGCB (SAS)：.FC=GB.：.MB=丄 GB=丄 FC=MC2 2(3) MB=MC还成立.如图(4),延长BM交CE于F,延长CM到G,使得MG=CM9连接BG9JCEBD9： ZMDB=ZMEF, ZMBD=ZMFE又TM是DE的中点，：.MD=ME.在厶MDB和AMEF中，ZMDB=ZMEF,ZMBD=ZMFE,MD=ME,：.AMDBAMEF (AAS),：.MB=M F.9JCEBD9 ZFCM=ZBGM在 FCM和 BGM中，CM=M G,ZCMF=ZGMB,MF=MB,：.AFCMABGM (SAS )：.CF=BG9 ZFCM=ZBGM：,CFIlBGt R卩D、B、G在同一条直线上.在 (7皿和厶BGC中，CF=BG9ZFCB=ZGBC,CB=BC,： HCFB竺HBGC (SAS) BF=CG.：.MC= LCG=LBF=MB.2 2【点睛】本题考查了全等三角形的判圧与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线左理，综合性较强，但 难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键.18. (1) 2z (2)证明见解析；(3)兰.4【解析】试题分析：(1)分別取AB、AC中点F、G,连接DF、PF、PG、EG,证明AFPG 为平行四边形，再证明'DFP和APGE全等，再证明ZDPE=90。,最后得到 DEP是等腰 直角三角形.(2) 类似(1)证明四边形AFPG为平行四边形,证明 DFP和 PGE全等,再证明ZZ)PE=I80° -ZDFB, ZDFA=I80o-ZDFBt所以ZDPE=ZDFA,所以等腰三角形DPE和等腰三角形ADF 中，ZPDE=ZDAf=*(3 )同理(1)求出DP=EP长度，由(2)可得，ZPDE=a=5°=ZPED,过点E作DP的垂线，交DP的延长线于H,则ZEPH=30。,所以可求得EH= -PE=所以可以得到APDE2 2的而积.试题分析：解：(I)分别取AB、AC中点八G,连接M PF、PG、EG,则根据三角形中位线立理可得，AF=PG, AG=PF,即四边形AFPG为平行四边形， ZPFB=ZBAC=ZPGC=60。, VRt ABD 和 RI ACE 中，ZDAB=ZEAC=45o,. AABD 和 ACE 都是等腰直角三角形， DF丄 AbEG 丄 AG 且 DF=AF=PG PF=AG=EG, ZDFP= ZPGE=I50。,DF = PG在 DFP 和 APGE 中，乙DFP = ZPGE ,PE = EG:厶DFPmHPGE (SAS),：.DP=PE. ZGPE=ZFDP,： HDPF 中，ZFDP+ ZDPF+ ZPFB=90。,而ZPFB=ZFPG,：.ZGPE+ ZDPF+ZFPG=9()c,即 ZDPE=90Q9DF LMDEP是等腰直角三角形，= 2.DP(2)证明：分别取AB、AC中点尸、G,连接DF、PF、PG、EG,则根据三角形中位线泄 理可得，AF=PG, AG=PFf即四边形AFPG为平行四边形， ZPFB=上BAC=ZPGC=60。, VRt ABD 和 Rb ACE 中，DF=AF、GE=AG, ADF=PG,PF=EG9 ZDFB=2ZDAF=2a.