中考数学模型：飞镖模型与8字型模型.docx

8 字模型与飞镖模型8 字型与飞镖型是中考几何模型中常见的两种结构，熟悉这两种结构对于我 们快速解题有着极其重要的帮助。模型 1：角的 8 字模型如图所示， AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC结论： A DBC模型分析证法一：AOB是BOC 的外角，AOB是AOD 的外角， A D AOB B C AOB A D B C 证法二： A D AOD 180°， A D180° AOD BC BOC180°， B C 180° BOC又 AOD BOC， A D B C （1）因为这个图形像数字 8，所以我们往往把这个模型称为 8 字模型（2）8 字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到BE模型实例 观察下列图形， （1）如图，图E解法一：利用角的 8 字模型如图，连接 CD BOC 是 BOE的外角， B E BOC BEE1 BOC是 COD 的外角， 2（角的 8 字模型）， 1 2 BOC A B ACE ADB A ACE ADB 1 2 A ACD ADC180°解法二：如图，利用三角形外角和定理 1是 FCE 的外角， 1C E 2是GBD 的外角， 2 B D A B C D E A 1 2180°2）如图， A B C D E F图C（2）解法一：如图，利用角的 8 字模型 AOP 是AOB的外角， A B AOP AOP是 OPQ 的外角， 1 3 AOP A B 1 3（角的 8 字模型），同理可证： CD 12 ， E F2 3由得： A B CDEF2（ 1 23） 360°解法二：利用角的 8 字模型如图，连接 DE AOE是 AOB 的外角， A B AOE AOE是 OED 的外角， 1 2 AOE AB 1 2（角的 8 字模型） A B C ADC FEB F 1 2 C ADC FEB F 360°（四边形内角和为 360°） 练习：EABC图E图2=C+CAD，1（ 1）如图，求： CAD BC DE解：如图， 1=B+D， CAD+B+C+D+E=1+2+E=180° 故答案为： 180° 解法二：2）如图，求： CADBACEDE解：由三角形的外角性质，知 BAC=E+ACE，EAD=B+D， 又 BAC+CAD+EAD=18°0 ， CAD B ACE D E 180°解法2如图，求： ABCDEFGH解： G+D=3，F+C=4，E+H=2，G+D+F+C+E+H=3+4+2，B+2+1=180°，3+5+A=180°， A+B+2+4+3=360°，A+B+C+D+E+F+G+H=360°解法二模型 2：角的飞镖模型如图所示，有结论： D A B C模型分析 解法一：如图，作射线 AD3 是 ABD的外角，3B1，4 是ACD 的外角，4C2BDC34， BDC B 1 2 C， BDCBAC BC 解法二：如图，连接 BC 2 4 D 180°， D180°（ 24） 1 2 3 4 A180°， A 1 3180°（ 24） D A 1 3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型 （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用模型实例如图，在四边形 ABCD 中，AM、CM 分别平分 DAB 和 DCB， AM 与 CM 交 于 M，探究 AMC 与 B、D 间的数量关系A解答：利用角的飞镖模型A如图所示，连接 DM 并延长 3是 AMD 的外角， 31ADM， 4是 CMD 的外角， 42CDM，AMC34 AMC 1 ADM CDM 2， AMC 1 2 ADC（角 的飞镖模型）AM、CM 分别平分 DAB 和 DCB， 1BADBCD2AMCBAD2BCD2ADC ，360 B ADC AMC2ADC（四边形内角和 360°）， AMC360ADC，2AMCBADC360°练习：1如图，求 A+B+C+ D+E+F=.【答案】 230°提示： C+E+D=EOC=11o5. （飞镖模型）， A+B+F=BOF=11o5. A+B+C+D+E+F=115o+115o=230o2如图，求 A+B+C+ D=.DD【答案】 220° 提示：如图所示，连接 BD.AED=A+3+1，BFC=2+4+C，A+ABF+C+CDE=A+3+1+2+4+C=AED+BFC=220o模型 3 边的“ 8”字模型如图所示， AC、BD相交于点 O，连接 AD、BC结论 AC+BD>AD+BCD模型分析 OA+OD>AD， OB+OC>BC， 由 +得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O。 求证： (1) AB+BC+CD+AD>AC+；BD(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.证明： (1) AB+BC>AC， CD+AD>AC ， AB+AD>BD， BC+CD> BD由+得： 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即 AB+BC+CD+AD >AC+BD.(2) AD<OA+OD ，BC<OB+OC， 由 +得： AD+BC< OA+OD+OB+OC AD+BC<AC+B(D.边的 8 字模型)， 同理可证： AB+CD <AC+BD. AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.模型 4 边的飞镖模型如图所示有结论： AB+AC> BD+CD.模型分析如图，延长 BD交 AC于点 E。AB+AC=AB+AE+，ECAB+AE>B，E AB+A C>BE+EC. ， BE+EC=BD+DE+，EC DE+EC> CD， BE+EC>BD+CD. ，由可得： AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点 O为三角形内部一点 求证： (1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+A；C (2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.证明： (1) OA+OB>AB， OB+OC>BC， OC+OA>AC 由 +得： 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC(2) 如图，延长 BO交 AC 于点 E， AB+AC=AB+AE+，EC AB+AE>BE， AB+AC>BE+EC. BE+EC=BO+OE+，E C OE+EC>CO， BE+EC>BO+，CO 由可得： AB+AC>BO+CO.(边的飞镖模型) 同理可得： AB+BC>OA+OC. ，BC+AC>OA+OB. 由 + +得： 2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO). 即 AB+BC+AC>AO+BO+CO.1如图，在 ABC中， D、 E在 BC边上，且 BD=C。E 求证： AB+AC>AD+AE.【答案】证法一：如图，将 AC平移至 BF，AD延长线与 BF 相交于点 G，连接 DF。 由平移可得 AC=BF， ACBF ， ACE=BFD ，BD=CE AEC FDB ， DF=AE如图，延长 AD交 BF 于点 G， AB+BF=AB+BG+GF. AB+BG>A，G AB+BF>AG+GF ， AG+GF=AD+DG+，GFDG+GF>D，F AG+GF>AD+DF ，由可得： AB+BF>AD+D（F.飞镖模型） AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AEA.B +AC>AD+AE.C证法二：如图，将 AC平移至 DF，连接 BF ，则 AC=DF， ACDF， ACE= FDB.BD=C，E AECFBD. BF=AE. OA+OD>AD， OB+OF>BF 由 +得： OA+OD+OB+OF>BF+ADA. B+DF>BF+AD（. 8字模型） AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+ADA.B +AC>AD+AE.2观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由(1) 如图， ABC中， P为边 BC一点，请比较 BP+PC与 AB+AC的大小，并说明 理由(2) 如图，将 (1) 中的点 P移至 ABC内，请比较 BPC的周长与 ABC的周长 的大小，并说明理由（3） 图将（2） 中的点 P变为两个点 P1 、 P2 ，请比较四边形 BP1P2C 的周长与 ABC 的周长的大小，并说明理由 .【答案】（ 1）如图， BP+PC<AB+AC. 理由：三角形两边之和大于第三边。（或两点之间线段最短） （2） BPC的周长小于 ABC的周长。证明：如图，延长 BP交 AC于 M。在 ABM中， BP+PM<AB+AM 在 PMC中， PC<PM+MC ，由 +得： BP+PC<AB+AC. BPC的周长小于 ABC的周长。（3）四边形 BP1P2C 的周长小于 ABC的周长。证法一：如图，分别延长 BP1 、 CP2 交于 M，由（ 2）知， BM+CM<AB+AC. 又 P1P2<P1M P2M ， BP1 + P1P2 + P2C <BM+CM<AB+AC.四边形 BP1P2C 的周长小于 ABC的周长 .证法二：如图，做直线 P1P2分别交 AB、AC于 M、N。在BMP1中， BP1 <BM+MP1在 AMN中， MP1 + P1P2 + P2 N <AM+AN ，在 P2NC 中， P2C <P2N +NC由 +得： BP1 + P1P2 + P2C <AB+AC. 四边形 BP1P2C 的周长小于 ABC的 周长.