二次函数综合题专项讲解(经典).docx

初中二次函数综合题专项讲解引言： 二次函数综合题题目难度较大，也称压轴题。解压轴题有三个步骤： 认 真审题；理解题意、探究解题思路；正确解答。 审题要全面审视题目的所有条件和答题要 求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。二次函数一般会出现在选择题（或填空题） 、解答题的倒数几个题目中。选择题和填空 题时易时难。解答题较难，一般有 2 3小题。第 1 小题通常是求解析式：这一小题简单， 直接找出坐标或者用线段长度而确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第23 小题通常是以动点为切入口，结合三角形、四边形、圆、平移、对称、解方程（组）与不等式 （组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用 转化、数形结合、分类讨论 等 数学思想，认真分析 条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征 的关系，确定 解题的思路和方法； 同时需要 心态平和， 切记急躁 ：当思维受阻时， 要及时调整思路和方法， 并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。一、一中 1314 学年度上期半期考试二次函数习题212如图，直线 y kx c 与抛物线 y ax2 bx c 的图象都经过 y 轴 上的 D 点，抛物线与 x轴交于 A、B 两点，其对称轴为直线 x 1 ，且 OA OD.直线 y kx c与 x轴交于点 C（点 C在点 B的右侧） .则 下列命题中正确命题的个数是（） .abc 0; 3a b 0; 1 k 0;k a b; ac k 0A 1B2C3D416如右图是二次函数 y ax2 bx c 的部分图象，由图象可知 ax2 bx c 0时 x的取值围是 1218已知抛物线 yx2 2x 的图象如左图所示，点 N 为抛物线2的顶点，直线 ON 上有两个动点 P和 Q,且满足 PQ 2 2 ,在直线M 的坐标为 ON 下方的抛物线上存在点 M ,使 PQM 为等腰直角三角形， 则点125如图，在平面直角坐标系中，直线y x 2 与坐标轴分别交于 A 、B 两点，过 A 、 B22两点的抛物线为 y x2 bx c ，点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 AE,BE.1）求抛物线的解析式；2）当 ABE 面积最大时，求点 E的坐标，并求出此时 ABE 的面积；3）当 EAB OAB 时，求点 E的坐标 .二、二次函数基础2（一）概念： 一般地，形如 y ax2 bx c（ a，b，c是常数， a 0 ）的函数，叫做 二次函数。（注意：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b，c 可以为零二次函数的 定义域是全体实数。 ）21. 如果函数 y （k 3）xk 3k 2 kx 1是二次函数 ,则 k的值是 2 a 4a 52.函数 y （a 5）x 2x 1, 当a 时, 它是一次函数 ; 当a 时 , 它是二次函数 .（二） 二次函数的解析式（1）一般式 :（已知图像上三点或三对 x、y 的值，通常选择一般式 .） y=ax3. 已知二次函数当 x=2时 Y 有最大值是，且过点（ 3，0），求解析式 .4. 已知抛物线在 X 轴上截得的线段长为，且顶点坐标为（2， 3）,求解析式 . 5. 二次函数 y x 3x 4 5关于 Y 轴的对称图象的解析式为 增减性 ：当 a>0 时，对称轴左边， y 随 x 增大而减小；对称轴右边， 当 a<0 时，对称轴左边， y 随 x 增大而增大；对称轴右边，+bx+c（a0,a、b、c 为常数 ），顶点坐标为 （-b/2a， （4ac-b2/4a） ；（2）顶点式 :（已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.）y=a（x-h） 2 +k（a0,a、h、k 为常数 ），顶点坐标为（ h,k）,对称轴为 x=h ，有时题目会指 出让你用配方法把一般式化成顶点式；（3）交点式 :（已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、x2，通常选用交点式 ） y=a（x-x 1）（x-x 2） 仅限于与 x 轴有交点 A （ x1 ，0）和 B（x2，0）的抛物线 ； 已知，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，顶点为 D。分别根 据下列条件，求此二次函数解析式。（1）已知 A （-1,0），B（3,0），C（0,3/2）.（ 2）已知顶点 D（ 1,2）、C（0,3/2） .1. 若函数 y a（x 3） 过点（，） ，则当 X时函数值 Y 关于 X 轴的2. 二次函数的图象顶点坐标为（ 2，1），形状开品与抛物线 y= - 2x 2相同，这个函数解析式为对称图象的解析式为，关于顶点旋转180 度的图象的解析式为三）二次函数的图象及其性质：（1） 二次函数图像画法 ： 画草图关键点：开口方向；顶点；对称轴；4 与 y轴交点。5与 x 轴交点；（2）顶点坐标为(-b/2a，4ac-b2/4a)， 对称轴 ： xb2a与 y 轴交点坐标 （0， c）y随 x 增大而增大。 y随 x 增大而减小。配方 y a(x h) 2 k ，确定顶点（ h,k ）；对 x 轴左加右减；对y 轴 上加下减。1.二次函数 y=（x-1）（x+2） 的顶点为 ,对称轴为_ 222.抛物线 y （m 1）x （m 3m 4）x 图像平移步骤 :以Y 轴为对称轴则。 M23.二次函数 y ax a 5的图象顶点在 Y轴负半轴上。 且函数值有最小值， 则a的取值围 是24.（08）已知点 （ x1， y1 ） ， （x2，y2）均在抛物线 y x2 1上，下列说法中正确的是（）A若 y1 y2 ，则 x1 x2B若 x1x2，则 y1 y2C若 0 x1 x2，则 y1 y2D若 x1 x2 0 ，则 y1 y25. 抛物线 y （3x 1）2当 x时，Y随 X的增大而增大16. 抛物线 y= （k 2-2）x 2+m-4kx 的对称轴是直线 x=2 ，且它的最低点在直线 y= 2 x +2上，求 函数解析式。27. 若 A（ 13, y1）,B（ 5 , y 2 ）, C（ 1 , y3 ）为二次函数 y x 4x 5的图象上的三点，则 y1，4 1 4 2 4 3y2， y3 的大小关系是（）A y1y2y3B y2y1y3C y3y1y2Dy1y3y28. 已知二次函数图象与 x 轴交点（ 2,0） （-1,0）与 y 轴交点是（ 0， -1）求解析式及顶点坐标。9. 把二次函数的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，所得到的图象对应的二次函2 数关系式是 y （x 1）2则原二次函数的解析式为（四）直线与抛物线的交点 （抛物线与一元二次方程的关系）（1）抛物线与 y 轴的交点： 轴与抛物线 得交点为 （0, ）.（2）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方 程 的两个实数根 . 抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的 根的判别式判定： 有两个交点 抛物线与 轴相交；这两点间的距离ABb 4aca 有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切； 没有交点 抛物线与 轴相离 .当a 0时，图象落在 x轴的上方，无论 x为任何实数，都有 y 0 ； 当a 0 时，图象落在 x轴的下方，无论 x为任何实数，都有 y 0（ 3）直线与抛物线的交点 ：一次函数 的图像 与二次函数的图像 的交点， 由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与 有两个交点 ; 方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时与 没有交点 .4）两点之间的距离： X轴上两点为 A（x1,0）、B（x2,0） |AB| |x2 x1 |Y 轴上两点为 C (0, y1) 、D (0, y2 ) |CD| | y2y1 |已知 A (x1,y1)、B(x2,y2) AB|= (x2 x1) (y2 y1)1.已知二次函数2ax2x 2 的图象与 X 轴有两个交点，则 a 的取值围是2.若抛物线 y2xa 的顶点在 x 轴的下方，则 a 的取值围是（ a 1 a 1 a 1 a 3. 不论 x 为何值 ,函数 y=ax2+bx+c（a 0）的值恒大于 0的条件是 （ ） A.a>0, >0B.a>0, <0x 轴有两个交点；C.a<0, <0D.a<0, <04. 已知二次函数 y=x 2+mx+m-5 ，求证不论 m 取何值时，抛物线总与 当 m 取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短。（五）二次函数与方程不等式：抛物线与 x 轴有两个交点 A （2，0）的 解 是 ; ax2+bx+c<01. y=ax2+bx+c 中， a<0， 0 ）， 则 ax2+bx+c>0y1=ax2+bx+c 和一次函数 y2=mx+n 的图像， ?2. （）右图是二次函数观察图像写出 y2y1时，x 的取值围（六）二次函数的应用最值问题：例题： 1.（2007 年市）某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50 元的价格调查，平均每天销售 90 箱，价格每 提高 1 元，平均每天少销售 3 箱（1）求平均每天销售量 y （箱）与销售价 x（元 /箱）之间的函数关系式 （3分）（2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元 /箱）之间的函数关系式 （3 分）（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4 分）三、选择题专项练习根据图像判断 a,b,c 的符号（抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点） 1） a 开口方向a> 0 抛物线开口向上； a<0 抛物线开口向下； （|a|越大，则抛物线的开口越小）2） b 对称轴 （与 a 左同右异）a与 b 同号（即 ab> 0） 对称轴在 y 轴左；a与 b异号（即 ab<0） 对称轴在 y 轴右。3）c与y 轴的交点与a b 0 ； 4 ac b 2 4 a； ab c< 0 . 其中正确结论的个数是C. 3A. 1B. 2D. 43.如右图为抛物线bx c 的图象， A、 B、Cx=1 ，下列结论正确的是2 y ax为抛物线与坐标轴的交点，且 OA=OC=1 ，则下列关系中正确的是D 、 ac < 04.已知二次函数2y ax2 bx c a 0 的图象如右图，确的是则下列结论中正A a >0B当 x >1时，y随 x 的增大而增大C c < 0D3是方程 ax 2bx c 0 的一个根5.已知二次函数ax2bx c a 0 )的图象如左图所示，下列结论：b24a c>0 a>0 b>0 c>0 9a+3b + c <0，则其中结论正确的个数是A、2 个B、3 个C、4个D、5 个6. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如右图，其对称轴 列结果 b2>4ac；abc>0；2a+b=0；a+b+c>0 ； <0，则正确的结论是A 、B、C、D、x= 1，下 a b+c8.如右图所示的二次函数7. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a， b，c 为常数， a 0）的图象如左图 所示，有下列结论： abc> 0， b24ac<0， a b+c>0， 4a 2b+c < 0，其中正确结论的个数是A、 1B、2C、3D、4y=ax2+bx+c 的图象中，星同学观察得出了下面四条信息：1）b24ac>0；（2）c> 1；（3） 2a b< 0；为其中错误的有A、2个B、3个C 、4 个9如左图，二次函数图象的顶点为 D，其图象与 x 轴的交点 A、 与 y 轴交于点 C ，下面五个结论： abca b c 0；c 3a ； 只有 aB 的横坐标分别为 -1,3 ，0 ； 2a b 0 ； 1时， ABD 是等腰直2角三角形，其中正确的结论有（A.2 个B.3 个)C.4 个10小明从如右图所示的二次函数中，观察得出了下面五条信息： abc 0 ； c 0 ； a bD. 5 个2y ax bx c 的图象c 0 ； 2a 3b 0 ； c 4b 0 你认为其中正确信息的个数有A2个B3 个C4 个D5 个11.二次函数 y ax2 bx c 的图象如左下图所示，下列结论：b24ac0； ab 0 ； a b c 0 ；4ab0当 y 2时， x等于0 ax 2bxc0 有两个不相等的实数根 ax 2bxc2 有两个不相等的实数根 ax 2bxc10 0 有两个不相等的实数根 ax 2bxc4 有两个不相等的实数根其中正确的是（）12.（天津市）已知二次函数y ax2 bx c 的图象如下图所示，下列结论：abc0 ； b a c ； 4a 2b c 0 ； 2c3b ； a bb) ，( m 1m(am的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2 个B. 3 个C. 4个D. 5 个四、二次函数综合题主要类型（一 ）与三角形 .1.如图，对称轴为直线 x= 1的抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴相交于 A、B两点，其中 点 A 的坐标为（ 3， 0）（ 1）求点 B 的坐标；（2）已知 a=1，C 为抛物线与 y轴的交点若点 P 在抛物线上，且 SPAC=4SBOC求点 P 的坐标； （三角形面积 ）设点 Q是线段 AC 上的动点，作 QD x轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值2. （2013?）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A （3，0），B（1，0），C（0，3）三点， 其顶点为 D ，对称轴是直线 L，L 与 x 轴交于点 H（1）求该抛物线的解析式；（2）若点 P是该抛物线对称轴 L 上的一个动点，求 PBC 周长的最小值； （三角形周长 ）（3）如图（ 2），若 E是线段 AD 上的一个动点（ E与 A、D不重合），过 E点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F，交 x 轴于点 G，设点 E 的横坐标为 m，三角形 ADF 的面积为 S求 S与 m 的函数关系式；若不存在，请说明理由 S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；3. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴交于 A 、 B 两点，过点 A 的直线 l 与抛物线交于点 C，其中 A 点的坐标是（ 1，0），C 点坐标是（ 4，3）（1）求抛物线的解析式；（2）在（ 1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使 BCD 的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （三角形周长）（3）若点 E是（ 1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC 的下方，试求三角形 ACE 的最大面积及 E 点的坐标（三角形面积）4. （2013?地区）如图，已知直线 y=3x 3分别交 x轴、y轴于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A 、B两点，点 C是抛物线与 x轴的另一个交点（与 A 点不重合）（1）求抛物线的解析式；（2）求三角形 ABC 的面积；（三角形面积）（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使 ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明5. 如图，抛物线 y= x2+bx+c 与y轴交于点 C（0，4），与 x轴交于点 A，B，且 B点的坐 标为（ 2， 0） （1）求该抛物线的解析式（2）若点 P是 AB 上的一动点，过点 P作 PE/AC ，交 BC于 E，连接 CP，求三角形 PCE 面积的最大值 （三角形面积）3）若点 D 为 OA 的中点，点 M 是线段 AC 上一点，且三角形 OMD 为等腰三角形，求 M6. 如图，抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点 A（ 3，0），B（1.0），C（0， 3）（1）求抛物线的解析式；（2）若点 P为第三象限抛物线上的一点，设 PAC 的面积为 S，求 S的最大值并求出此时 点 P 的坐标；（三角形面积）（3）设抛物线的顶点为 D，DE与 x 轴于点 E，在 y轴上是否存在点 M ，使得三角形 ADM 是直角三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 （三角形形状）7. （2013?）如图，已知抛物线 y=x 2+bx+c 的图象与 x轴的一个交点为 B（5，0），另一个交 点为 A，且与 y 轴交于点 C（0，5）（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MN/y 轴交直线 BC 于点 N， 求 MN 的最大值；（3）在（ 2）的条件下， MN 取得最大值时，若点 P是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点， 以 BC为边作平行四边形 CBPQ ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1，三角形 ABN 的面积为 S2，且 S1=6S2，求点 P 的坐标）与四边形1.如图，抛物线经过 A（ 1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC 的值最小，求点 P 的坐标；（3）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由2.如图，抛物线 y=x3.（义乌市） 如图，抛物线 y x2 2x 3与x轴交 A、B两点（A点在 B点左侧），直线 l与抛物+bx+c 与 x 轴交于点 A （2，0），交 y 轴于点 B（0， ）直线 y=kx 过点 A与 y 轴交于点 C ，与抛物线的另一个交点是 D （ 1 ）求抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=kx的解析式；（2）设点 P是直线 AD 上方的抛物线上一动点（不与点 A、D 重合），过点 P作 y轴的平行线，交直线 AD 于点 M，作 DE y轴于点 E探究：是否存在这样的点 P，使四边形 PMEC 是平行四边形？若存在请求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作 PNAD于点 N，设PMN的周长为 L，点 P的横坐标为 x，求 L与x的函数 关系式，并求出 L 的最大值线交于 A、C 两点，其中 C点的横坐标为 2（ 1）求 A、 B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（ 2）P是线段 AC 上的一个动点，过 P点作 y 轴的平行线交抛物线于 E点，求线段 PE长度的最 大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四 边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由4.（省实验区 ） 23如图，对称轴为直线 x 7 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0， 4）21）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（ x ， y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S与 x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；当平行四边形 OEAF 的面积为 24时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？ 是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明 理由5.（省德阳市） 25.如图，已知与 x 轴交于点 A（1，0）和 B（5，0）的抛物线 l1的顶点为 C （3，4） ，抛物线l2与 l1关于 x轴对称，顶点为 C1）求抛物线 l2 的函数关系式；（ 2）已知原点 O，定点 D （0，4） ， l2上的点 P与l1上的点 P 始终关于 x轴对称，则当点 P运动到 何处时，以点 D， O，P， P 为顶点的四边形是平行四边形？3）在 l2 上是否存在点 M ，使 ABM 是以 AB 为斜边且一个角为 30o的直角三角形？若存，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由（三） 与圆 .1（2010） 如图 10，已知点 A（3，0），以 A 为圆心作 A 与 Y 轴切于原点，与 x 轴的 另一个交点为 B，过 B作A 的切线 L.（1）以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点（ 0， 9），求此抛物线的解析式； （2）抛物线与 x轴的另一个交点为 D，过 D作A 的切线 DE， E为切点，求此切线长；（3）点 F是切线 DE 上的一个动点，当 BFD 与 EAD 相似时，求出 BF 的长 （4）最值： 当 a>0时，有最大值；当 a<0 时，有最小值