九年级(上)培优讲义第4讲二次函数综合应用.docx

第4讲： 二次函数综合应用一、 建构新知1.二次函数y=ax2+bx+c=0（a0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标2.二次函数的图象及性质：对于二次函数的图象与性质，关键是把握图象与二次函数各项系数之间的关系，同时观察图象与x轴，y轴交点的位置，注意二次函数值y随自变量x的变化要以对称轴为分界点. 对于二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象：（1）开口向上a>0；开口向下a<0.（2）c>0图象与y轴的正半轴有交点；c=0图象过坐标原点；c<0图象与y轴的负半轴有交点；（3）根据对称轴和a符号确定b的符号以及a、b之间的数量关系；（4）根据x=1时y的值来确定a+b+c的符号；根据x=1时y的值来确定ab+c的符号；x=2时y的值来确定4a+2b+c的符号；根据x=2时y的值来确定4a2b+c的符号.（5）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性比较大小.3.二次函数综合应用，解题的关键是联想相关函数与方程、不等式、坐标交点、图象交点分析，这是解决这类问题的思考点，数形结合思想方法是解题中常用方法.二、经典例题例1.如图，已知抛物线于x轴交于A（1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0,3）.（1）求抛物线的解析式.（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得PDC是等腰三角形，若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标.例2.如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PAPC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由yxOABC例3. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA（1）求点A的坐标和AOB的度数；（2）若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C连接OC和AC，把AOC沿OA翻折得到四边形ACOC试判断其形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，判断点C是否在抛物线y=x2+2x上，说明理由；（4）若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由三、基础演练1如图，已知二次函数的图象的顶点为.二次函数 的图象与轴交于原点及另一点，它的顶点在函数的图象的对称轴上xyO12321A（1）求点与点的坐标；（2）当四边形为菱形时，求函数的关系式2如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，1），ABC的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2） 在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由3已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧. 点B的坐标为（1，0），OC=3OB. （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求P的坐标；若不存在，请说明理由四、直击中考1（2013甘肃）已知二次函数y =ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，在下列五个结论中：2ab0；abc0；a+b+c0；ab+c0；4a+2b+c0，错误的个数有（）A1B2个C3个D4个2.（2013山东）对于抛物线y（x1）23，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x1；顶点坐标为（1，3）；x1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（） A1 B2 C3 D43.（2013杭州）给出下列命题及函数y=x，y=x2和y= 如果，那么0a1；如果，那么a1；如果，那么1a0；如果时，那么a1则（）A正确的命题是 B错误的命题是C正确的命题是 D错误的命题只有4.（2013陕西）已知两点均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（ ）A B C D5（2013山东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y 经过平移得到抛物线y，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A2 B4 C8 D16Oxy1-16（2013兰州）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是 7.（2013四川）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：2a+b0；bac；若1mn1，则m+n；3|a|+|c|2|b|。其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）.8(2013湖北)若抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点，且过点A(m，n)，B(m6，n)，则n_9.（2013四川）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，已知抛物线经过三点A、B、O(O为原点)（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使的周长最小若存在，求出点C的坐标若不存在，请说明理由；（3）如果点P是该抛物线上轴上方的一个动点，那么是否有最大面积若有，求出此时P点的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）10（2013山东）如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别是一次函数的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形. (1)试求b，c的值、并写出该二次函数表达式； (2)动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动 当P运动到何处时，有PQAC?当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形的面积是多少？xyCOBAD五、挑战竞赛1.如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OB=OC=3OA。直线与轴交于点D，求DBCCBE.ABCDEO六、每周一练1. 如图是二次函数图像的一部分，其对称轴是，且过点（3,0），下列说法：若是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ）A. B. C. D.2在平面直角坐标系中，直线ykx(k为常数)与抛物线yx22交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点的坐标为(0，4)，连接PA，PB有以下说法：PO2PA·PB； 当k0时，(PAAO)(PBBO)的值随k的增大而增大；当k时，BP2BO·BA； PAB面积的最小值为4其中正确的是_ _(写出所有正确说法的序号)3如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C(0，5)（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MNy轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为，ABN的面积为，且，求点P的坐标yxBOCA