中考数学重要公式全归纳.docx

重要公式代数部分一数与式1. 2. 3. 4.,特别地，5. 6. =2.分母有理化 3.非负数的算术平方根例：的算术平方根是4.（1）分式有意义，分母不为0,例如：要使有意义，则；如果分子分母中有开平方，则分子根号下的式子必须0，分母根号下的式子必须0，例如：要使有意义，则3x+120 解得x2 2x-40（2） 要使分式值为0，必须保证分子为0的同时分母不为0.例如：的值为0，则，解得x=3 二一元二次方程1.一元二次方程求根公式：2.根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程的两根分别为，则3.的作用一元二次方程二次函数0有两个不同的实数根与x轴有两个不同的交点0有两个相等的实数根与x轴只有一个不同的交点0无实数根x轴无交点三函数1.一次函数的图像和性质：名称K、b的符号图像经过象限增减性一次函数y=kx+b(k0，b0)k0b0一、二、三y随x的增大而增大b0一、三、四k0b0一、二、四y随x的增大而减小b0二、三、四正比例函数y=kx(k0)【是特殊的一次函数】k0一、三y随x的增大而增大k0二、四y随x的增大而减小2.（1）反比例函数的图像和性质反比例函数k的符号k>0k<0图像性质x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小.x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大.对称性的图象是轴对称图形，对称轴为或的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； (k0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称，也关于y轴对称（2）反比例函数中反比例系数的几何意义过双曲线(k0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为.过双曲线(k0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三角形（如图）的面积为双曲线(k0) 同一支上任意两点、与原点组成的 三角形（如图）的面积=直角梯形的面积（3）正比例函数如果与反比例函数相交,交点坐标关于原点对称.（即：若正比例函数y=x与反比例函数y=相交于A(，)，B（，）两点，则点A与点B关于原点对称.3.二次函数的图像和性质(1)顶点式的图像和性质a的符号图像特征函数性质开口向上，图像有最低点（顶点），顶点（h,k）；当x=h时，函数有最小值k.是轴对称图形；对称轴是直线x=h；在对称轴的左边，图像从左至右呈下降趋势；当xh时，y随x增大而减小；在对称轴的右边，图像从左至右呈上升趋势；当xh时，y随x增大而增大；开口向下，图像有最高点（顶点），顶点（h,k）；当x=h时，函数有最大值k.是轴对称图形；对称轴是直线x=h；在对称轴的左边，图像从左至右呈上升趋势；当xh时，y随x增大而增大；在对称轴的右边，图像从左至右呈下降趋势；当xh时，y随x增大而减小.可知抛物线【】可由向右平移个单位，再向上平移个单位得到. 平移规律：左加右减，上加下减.（2）一般式的图像和性质a的符号图像特征函数性质开口向上，图像有最低点(顶点)，顶点（,）；当x=时，函数有最小值.是轴对称图形；对称轴是直线x=；在对称轴的左边，图像从左至右呈下降趋势；当x时，y随x增大而减小；在对称轴的右边，图像从左至右呈上升趋势；当x时，y随x增大而增大；开口向下，图像有最高点（顶点），顶点（,）；当x=时，函数有最大值.是轴对称图形；对称轴是直线x=；在对称轴的左边，图像从左至右呈上升趋势；当x时，y随x增大而增大；在对称轴的右边，图像从左至右呈下降趋势.当x时，y随x增大而减小.二次函数的图象与各项系数之间的关系 （1）二次项系数 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大 即|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大.【注：抛物线形状相同，指的是|a|相同】（2）一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴（左同右异 b为0对称轴为y轴） 注意：当对称轴在y轴左侧时，a与b同号（即ab>0）；当对称轴在y轴右侧时，a与b异号（即ab0）. （3）常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置四二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.当0时，图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0函数的平移（平移对一次函数来说不改变一次项系数k，对二次函数来说不改变二次项系数a）1. 图像的平移和图像上点的平移（一样）：左减右加，上加下减.2. 解析式的平移：左加右减，上加下减.一般式的平移：如将二次函数向右平移m(m0)个单位，再向下平移n（n0）个单位，得到顶点式的平移：如将二次函数向右平移m(m0)个单位，再向下平移n（n0）个单位，得到五二次函数图像的三大变换（平移、轴对称、旋转）抛物线解析式常见的三种形式名称解析式使用范围一般式（a0）已知任意三点顶点式（a0）已知顶点（h,k）及另一点交点式（a0）已知与x轴的两个交点（）、（）及另一个点2.二次函数抛物线简单的图形变换（1）顶点式【（a0）】名称a顶点（h，k）平移a(h， k) 左加右减 上加下减对称关于x轴对称-a(h，-k)关于y轴对称a(-h，k)关于原点对称-a(-h，-k)旋转（绕顶点旋转180°）-a(h，k)（2）一般式【（a0）】平移：如将二次函数向右平移m(m0)个单位，再向下平移n（n0）个单位，得到对称名称a、b、c的变化关于x轴对称a-a; b-b; c-c关于y轴对称a不变；b-b；c不变关于原点对称a-a；b不变；c-c注：无论是平移、轴对称还是旋转，最好先把二次函数化成顶点式，然后再根据需要进行求解.五两点间距离公式A()，B()是平面直角坐标系中的两点，那么A、B两点的距离为：|AB|=六两点关于一条直线对称：即这两点的连线被该直线垂直平分.已知点A和A'关于直线对称，则AA'被直线垂直平分.七已知直线和直线，若，则八三点共线，且中间的点是中点，则中间点的横坐标=，中间点的纵坐标= 【图形旋转180°后求点的坐标常用到】若A()，B()，M()共线，且M为线段AB的终点，则有十平均数、中位数、众数平均数（1）算术平均数：一般地，对于n个数那么（2）加权平均数：，其中分别表示出现的次数，.中位数：将n个数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果n是奇数，则中间位置的数是中位数；如果n是偶数，则中间两个数的平均数是中位数.众数：一组数据中出现次数最多的数据，可能不唯一.(也就是众数可能不止一个)十一方差和标准差方差： 【其中，是样本数据，是样本容量，是样本平均数】标准差（S）：是方差的算术平方根无论是方差还是标准差,都可以反映数据的波动性，越大，数据越不稳定；越小，数据越稳定.十二一元一次不等式组解集的表示方法十三列表法或画树状图求随机事件的概率1.利用树状图法求随机事件发生的概率，需备具两个条件：（1）两步或两步以上试验的事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等 2.利用列表法求随机事件发生的概率（1）涉及两步试验的随机事件发生的概率，且各种情况出现的总次数不是很大；（2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等列表法注意事项不放回实验：所列表格对角线上无数据；放回实验：所列表格对角线上有数据.注：列表或画图时，要注意不能遗漏任何一种等可能的结果，也不能重复列举游戏公平是否公平：看游戏双方获胜的机会是否相等.3.用频率估计概率：当试验次数足够大时,频率将稳定在一个常数附近，此时可以用这个稳定的数值估计事件发生的概率.几何部分一三角形1.三角形的面积公式：（a是三角形的底，h是底所对应的高）(其中，三个角为A，B，C，对边分别为a，b，c)（为高所在边的中位线） （海伦公式）【其中，三个角为A，B，C，对边分别为a，b，c，】(其中，R是外接圆半径)注：边长为a的等边三角形的面积2.三角形的四心：（1） 重心：三角形三条中线的交点叫做三角形重心. 性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.(2)外心三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心.过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，外心到三顶点距离相等. 这个三角形叫做这个圆的内接三角形. 三角形有且只有一个外接圆.(3)内心三角形内心为三角形三条内角平分线的交点.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等.这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形有且只有一个内切圆.（4）垂心三角形三边上的三条高或其延长线交于一点，称为三角形垂心.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.三角形只有一个垂心.（5） 直角三角形性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.若BAC=90°，则AB2+AC2=BC2（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余.若BAC=90°，则B+C=90°性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径）.性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.(等积法)性质5:如图，RtABC中，BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）AD2=BD·DC； （2）AB2=BD·BC；（3）AC2=CD·BC性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.（5） 三角形全等证明方法：一般三角形：SSS、SAS、ASA、AAS； Rt三角形：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（6） 三角形相似 相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.两角对应相等;（AA）两边对应成比例,且夹角相等;（SAS）三边对应成比例.(SSS)一个锐角对应相等;两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例;b. 斜边和一直角边对应成比例.(HL)黄金分割：如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 相似三角形的性质相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方.全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1. 【注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.】基本类型（7）比例的基本性质比例的基本性质是.将其进行变形，可以得到如下比例式：；合比性质：如果；等比性质：如果；【如果】（8）平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图：虽然图（1）和图(2)是两种形式，但是结论是相同的.用数学表达式表示为：(简记为：)； (简记为：)； (简记为：)；(简记为：)推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.（9）位似图形 定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.性质a.位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比；b.位似图形对应线段的比等于相似比；c.位似图形的对应角都相等；d.位似图形对应点连线的交点是位似中心；e.位似图形面积的比等于相似比的平方；f.位似图形高、周长的比都等于相似比；g.位似图形对应边互相平行或在同一直线上.给出一个图形和位似中心，在位似中心的两侧各有一个符合要求的图形，最好做两个.例如：如何把三角形ABC放大为原来的2倍?二三角函数1.正弦值（sin）= 余弦值（cos）= 正切值（tan）=【坡度或坡比即坡角的正切值】2. 特殊角的三角函数值表名称0°30°45°60°90°sin01cos10tan01不存在3.图形记忆法：三四边形（1）平行四边形的对角线分成的四个三角形面积相等；（2）对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半；（3）一般平行四边形与特殊平行四边形的关系：平行四边形+一个角是直角=矩形 平行四边形+对角线相等=矩形平行四边形+一组邻边相等=菱形 平行四边形+对角线互相垂直=菱形平行四边形+一组邻边相等+一个角等于90°=正方形 平行四边形+对角线相等且互相垂直=正方形四多边形的性质多边形内角和定理 n边形的内角和=（n-2）×180°（n3）外角和定理 n边形的外角和=360°对角线过n（n3）边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线正多边形内角 每个内角=对称轴 n条五圆（1）圆的内接四边形对角互补. 圆的内接平行四边形是矩形.（2）圆的内接四边形中，面积和周长最大的四边形均是正方形；【注：四边形的四个角是任意度数时】（3）圆的外切四边形对边之和相等；圆的外切平行四边形是菱形.（4）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.（与圆相切的直线，同圆内弦相交所形成的夹角叫做弦切角）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半.等于它所夹的弧的圆周角度数.（5）弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数；尺规作图：若要作60°的角，必须先做等边三角形，再作该等边三角形的外接圆.（6）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理推论推论一：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平.推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧.推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧.推论四：在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等.（7）切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.（8） 圆外一点与圆上任意一点的距离：AO-rPAAO+r(A为O外一点，r为O半径，P为O上任意一点)（9） 与圆有关的计算弧长公式：圆的周长:C=2R 弧长：面积公式：圆的面积： 扇形的面积=