高考《导数及其应用》的题型研究与复习策略之我见.doc

高考导数及其应用的题型研究与复习策略之我见周宁一中数学组 阮学庆一、导数在高考中的地位和作用。导数是高中数学中重要内容，是解决实际问题的必不可少的数学工具，尤其是研究函数的有力工具，是对学生进行理性思维训练的良好素材。近几年的高考正逐年加大对导数问题的考查力度，对导数的考查有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景（如瞬时速度、加速度、切线的斜率等），求导的公式和求导的法则；第二层次是导数的应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起考查，以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向；定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，定积分在实际问题中应用非常广泛，主要体现在计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好地转化为数学模型。导数的思想方法和基本理论除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以繁化简的作用。导数的工具价值集中体现在它不仅优化了综合性问题的解法，还为我们拓宽了分析解决问题的思路，凸现了数学思想方法的价值。因此，导数的应用为高考考查函数提供了广阔天地，处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。二、导数的复习重点和策略从近几年的高考命题重点来看，利用导数研究函数性态的数学试题有上升的趋势。在这类试题中，导数只不过是一种工具，是创设这类试题情景的一种取向，求导的过程并不难，它不是这类试题的最终落脚点，它的最终落脚点是考查函数的性质及等价转化，数形结合、归纳类比和分类讨论等重要的数学思想方法，因此，老教材高考的重点和难点，仍是新课程高考复习的重点内容。考查的方向还是利用导数求函数的极值，求函数在连续区间上的最值，或利用求导法解应用题。研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点问题，利用导数的几何意义作为解题工具，有可能出现在解析几何综合题中，复习时要注意到这一点，此外09年与定积分有关的题目基本没有，希望引起同仁的注意，这也是在考试范围之内。2010年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义以及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。由此可见，在导数的学习和复习中，我们要防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值。不应把重点放在求函数导数的纯技巧，高难度的训练上，避免过量的形式化的运算练习，而应该突出导数的工具价值，提升学生的应用意识。个人建议以下四个复习策略：（1）紧扣教材，准确把握概念、法则，夯实学生解题的规范性；（2）抓主线，攻重点，针对重点内容，结合前几年高考题，重点知识重点突破；（3）重视转化、数形结合和分类讨论思想方法的动用；（4）注意本部分知识与其它章节的联系，对于知识的交汇问题，重点放在逻辑思维、推理能力的培养上，尽量减少繁杂运算，充分利用建模思想。三典型试题类型及解题方法、策略举要（供参考）考点1导函数与原函数图象之间的关系【例1】设f¢(x)是函数f(x)的导函数，yf¢(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是【分析】先观察所给出的导函数yf¢(x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间，二者结合起来即可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数yf¢(x)的图象零点0、2对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法1】由yf¢(x)的图象可以清晰地看出，当x(0,2)时，yf¢(x)0，则f(x)为减函数，只有C项符合，故选C.【解法2】在导函数f¢(x)的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数f(x)在x0时取得极大值.又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x)在x0时取得极小值，只有C适合，故选C.【点评】(1)导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减”，导函数的零点确定原函数的极值点；(2)导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势.考点2函数求导及导数的几何意义的应用【例2】（2008全国）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A 2BCD【解】：由点评导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象。此考点一般多出小题或作为解答题的一小问出现，主要考查求导的基本公式、法则以及导数的几何意义，试题难度为简单题或中档题。本题考查了函数求导、导数的几何意义及两条直线垂直的充要条件。考点3利用导数研究函数的单调性问题【例3】(08全国高考)已知函数f(x)x3ax2x1，aR()讨论函数f(x)的单调区间；()设函数f(x)在区间(，)内是减函数，求a的取值范围【分析】第（）小题先求导函数f¢(x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a的分类标准，进而确定单调区间；第（）小题根据第（）小题的结果，建立关于a的不等式组，由此可确定a的范围.【解】()由f(x)x3ax2x1，求导得f¢(x)3x22ax1，当a23时，4(a23)0，f¢(x)0，f(x)在R上递增，当a23，f¢(x)求得两根为x，则函数f(x)在区间(，)上递增，在区间(，)上递减，在区间(，)上递增.()由()得，且a23，解得a2.【点评】本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型.由于函数解析式中含有字母参数a，因此解答第()小题时注意分类讨论.第()小题的解答是根据第()小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的.第()小题还是利用函数在已知区间上减函数建立不等式来求解.它考查了利用导数研究函数的单调性及逆向问题，同时也考查了学生的转化与化归思想和分类讨论思想。考生在解答本题时出现错误的主要原因，一是不知道如何去讨论或根本就没有讨论而写出一种情况，二是运算失误。【例4】（2009年全国理22）设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解】: （I） 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则当时，在单调递增；当时，在单调递减。故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 分析：本题考查函数的求导数方法，函数的极值，利用导数研究函数的单调性等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力，求解时千万别忘了函数的定义域为。考点4利用导数研究函数的极值和最值。【例5】 （2008山东卷理21）已知函数其中nN*,a为常数.（）当n=2时，求函数f(x)的极值；（）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x2时，有f(x)x-1.（）解：由已知得函数f(x)的定义域为x|x1， 当n=2时， 所以 （1）当a0时，由f(x)=0得 1，1，此时 .当x（1，x1）时，f（x）0,f(x)单调递减；当x（x1+）时，f（x）0, f(x)单调递增.（2）当a0时，f（x）0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a0时，f(x)无极值.（）因为a=1,所以 当n为偶数时，令则=1+0（x2）.所以当x2,+时，g(x)单调递增， 又g(2)=0因此g(2)=0恒成立， 所以f(x)x-1成立.当n为奇数时， 要证x-1,由于0，所以只需证ln(x-1) x-1, 令 则 所以 当x2，+时，单调递增，又h(2)=10， 所以当x2时，恒有h(x) 0,即ln（x-1）x-1命题成立.综上所述，结论成立.分析：本题主要考查函数的导数概念、两个函数的和、差、积、商的导数和导数的应用。利用导数的工具研究函数的性质，不仅体现教材改革的一种理念，也是初等数学和高等数学一个很好的衔接点，该题解法中应用到函数与方程的思想，分类讨论、转化与化归思想，达到了知识内容考查与 思想方法考查相结合的目的。【例6】 （2009年山东）已知函数,其中 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 当满足什么条件时,取得极值?（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.k.s.5.u.c.o.m 分析：:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.【例7】(08浙江高考)已知a是实数，函数f(x)x2(xa).()略；（）求f(x)在区间0，2上的最大值.【分析】首先求函数f¢(x)，再解方程f¢(x)0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x)的单调区间，进而确定f(x)在给定区间上的最大值.【解】()f¢(x)3x22ax令f¢(x)0，解得x10，x2当0，即a0时，f(x)在0，2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a当2，时，即a3时，f(x)在0，2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0当02，即0a3，f(x)在0，上单调递减，在，2上单调递增，从而f(x)max，综上所述，f(x)max.【点评】本题由于函数解析式中含有参数，因此方程f¢(x)0的根含有参数，在确定函数单调区间时要注意对参数a的讨论.本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的.考点5已知函数存在极值，反过来确定函数解析式中选定字母的取值范围【例8】(08陕西高考)已知函数f(x)(c0，且c1，kR）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc()求函数f(x)的另一个极值点；()求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求Mm1时k的取值范围【分析】先求导函数f¢(x)，然后令f¢(c)0及一元二次方程根与系数的关系可解决第（）小题；而解答第（）小题须对k与c进行分类讨论进行解答.【解】()f¢(x)，由题意知f¢(c)0，即得c2k2cck0，即c1（*）c0，k0由f¢(0)0，得kx22xck0，由韦达定理知另一个极值点为x1()由（*）式得c1，当c1时，k0；当0c1时，k2()当k0时，f(x)在(，c)和(1，)内是减函数，在(c，1)内是增函数f(1)0，mf(c)0，由Mm1及k0，解得k.()当k2时，f(x)在(，c)和(1，)内是增函数，在(c，1)内是减函数Mf(1)0，m0，而Mm11恒成立综上可知，所求的取值范围为(，2)，)【点评】第()小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第()小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键。可导函数f（x）在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且该点两侧的导数异号，正确解答本题的关键是掌握分类讨论思想，而进行分类讨论的关键是确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏。此外，已知函数求极值，学生非常熟悉，但像例8这样逆向设置问题考查导数的应用，有一定的深度和难度。考点6利用导数研究不等式恒成立的问题【例9】 （2008湖南理21）已知函数 （I) 求函数的单调区间;（）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求a的最大值.【解】: （）函数的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为.（）不等式等价于不等式由知， 设则由（）知，即所以于是G(x)在上为减函数.故函数G（x）在上的最小值为所以a的最大值为【点评】：不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为G（x）（或G（x）恒成立，从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法。多数考生在解答该题时出现错误的主要原因是：（1）第一问利用导数研究函数的单调性，一次求导不能解决问题，许多考生往后就无从下手了，忽视了二次求导；（2）第二问利用分离参数法解决不等式恒成立问题，研究所构建函数G（x）的单调性时，许多学生忽视了第一问结论的应用，从而导致问题复杂化。考点7导数与数学建模的问题（利用导数研究函数应用题中的优化问题）【例10】(08年湖北)水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为V(t)，()该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i1ti表示第1月份（i1，2，12）,同一年内哪几个月份是枯水期？()求一年内该水库的最大蓄水量（取e2.7计算）.【分析】根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第（）小题；而第（）小题则须先求函数V¢(t)，然后利用导数与函数最值关系求解.【解】()当0t10时，V(t)(t214t40)e5050，化简得t214t400，解得t4或t10，又0t10，故0t4.当10t12时，V(t)4(t10)(3t41)5050，化简得(t10)(3t41)0，解得10t，又10t12,故10t12.综合得0t4,或10t12；故知枯水期为1月，2月，3月，11月，12月共5个月.()由()知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.由V¢(t)e(tt4)e(t2)(t8)令V¢(t)0，解得t8(t2舍去).当t变化时，V¢(t)与V(t)的变化情况如下表：t(4，8)8(8，10)V¢(t)0V(t) 极大值由上表，V(t)在t8时取得最大值V(8)8e250108.32(亿立方米).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.【点评】本题第()主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解.第()主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第()确定函数定义域.这是一道实际生活中的优化问题，建立的目标函数是分段函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法，而运用导数解决是一种妙法，避免了技巧性极强的“均值不等式”等知识，高考中应强化运用导数法解决“最优化”问题。本题主要考查了函数、导数、不等式等基本知识，考查用导数求函数的最值和综合运用数学知识解决实际问题的能力，题目新颖，设问技术，正好分段求得V（t）50时t的范围。此外，多数考生出错的原因，一是得到0t10，或10t12后，弄错了月份，二是求最大值时，没有借助于（1）问的结果，又分别分两段求最值时出错。【例11】 （2009年山东理21） 两县城A和B相距20Km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记C点到城A的距离Km，建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为K，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B）总影响度为0.065（）将表示成的函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）讨论（）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点城A的距离；若不存在，说明理由。A B C 【解】：（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.分析：本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.四、导数复习中容易忽视的几个问题在教学中我发现学生对导数的应用很感兴趣，而对相关的概念不求甚解，经常出现这样或那样的错误，从而影响对导数的理解和运用。因此在二轮复习中要强化以下六个方面的教学：1、导数的几何意义；2、函数y=f(x)的单调性与y0或y0的关系；3、可导与连续的关系；4、求导公式和法则的运用；5、驻点和极值点；6、极值和最值的联系与区别。五、几点体会横向比较2009年各省的高考题，所涉及的题型主要有六类：应用题：山东理，湖南理。求参数的取值范围：山东文，海南宁夏文，天津文，浙江文理，福建文，全国卷文理，北京理，重庆文，四川理，陕西文理。判断函数的单调性或求单调区间：海南宁夏理，江苏，广东文，天津文理，辽宁文，福建文理，安徽文理，全国卷及的文理，北京文理，重庆文，江西理，四川理，陕西文理。证明不等式：海南宁夏理，辽宁文理。具体函数的极值，最值及切线方程间的运算：江苏，辽宁文。创新题：导数和函数，方程，不等式，线性规划及函数的零点的结合题。如全国卷理，天津卷文。结合本文第二块（导数的复习重点和策略）的阐述，我们不难发现：与导数有关的题目多为高档题，多与方程、不等式、函数联系；原函数多为三次函数、指数函数与二次函数结合或对数函数与二次函数结合，求导后多转化为定义在R上的二次函数，或定义域为某一区间的二次函数。我对近五年的高考中有关导数的试题进行反复比对，再次强调老教材高考的重点和难点仍是新课程高考复习的重点。因此，在备战2010年高考时要关注导数背景下的不等式（如2006年全国卷22题，2006全国卷理20题），导数背景下的方程（如2006年福建卷21题），利用导数解决实际优化问题（如2006年福建卷19题、2006年江苏卷文18题），导数与解析几何（如2006年广东卷、2009年广东卷理），导数背景下的数列（如2006年天津卷22题）。总之，近年高考导数试题，对导数内容的考查都是很基本的，保持了相对稳定性。涉及导数的试题虽然素材来源广泛，结合点多，但要看到难点大都不在导数本身，灵活应用化归思想是解决此类问题的一大关键，同时考查数形结合、分类与整合、数学建模等数学思想方法；多素材结合可以加大试题的综合性，加强能力考查的力度，对学生数学素养和思维能力提出了更高的要求，将是高考命题的发展趋势。