高中数学：活用平面向量的数量积解题.doc

高中数学：活用平面向量的数量积解题 平面向量的数量积解题运算有其独特性： = （）(定义式) 或 （坐标式）；应用非常广泛，利用它可以很容易地处理有关长度、角度和垂直等许多问题本文借助年高考题说明用平面向量的数量积解题的常规技巧，供大家参考一、 向量数量积的基本运算例1：（北京）已知向量与的夹角为，且=，那么（ ）值为 解：由（2）=2=例：（湖北）设=（1，2），=（3，4），=（3，2），则（2）等于（ ）A、（15，12） B、 C、3 D、11解：由2=（5，6）则（2）=（5）×36×2=3 故选C评注：例1考查向量数量积运算的定义式，例2考查向量数量积运算的坐标式二、求解向量的长度问题例3：（08江苏）已知向量与的夹角为，且=1，=3，则= 解：由 =则=7例=（0，1，1），=（4，1，0），= 解:由题知由 得 评注：求向量的长度的依据是： 设=三、求解两向量的夹角问题例5：（08陕西）非常向量和满足=，则与的夹角为 解：（法一）由 得 又= 得 而 设与的夹角为，则 即与的夹角为(法二)由向量加法的几何意义，作下图，任取一点O，作，以、为邻边作平行四边形，使，则平行四边形为菱形 ，又，= 即为等边三角形 与的夹角为B与的夹角为OAC评注：求两非零向量与夹角的依据：（）设， 则在本例中，解法二是由向量的几何意义，利用平面几何知识，数形结合，形象直观四、判断两向量垂直问题：例平面向量=（1，3），=（4，2），且与垂直，则等于（ ）解：由与垂直得（）即 ， 代入上式得 评注：判断两向量垂直的依据：若与为非零向量，则非零向量， 则 五、与三角形有关问题例的三个内角A、B、C的对边，向量，若，则角A大小为 解： 即 例8：（08湖南）在中，则等于（ ）解：在中，由余弦定理得：则故选D评注：平面向量数量积与三角形综合问题，注意结合三角函数的基本公式，正余弦定理的应用在求数量积时，注意两个向量的夹角是否是三角形的内角