选修22第3章 导数的应用总讲义资料.doc

3.1导数与函数的单调性【学习要求】1结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系2能利用导数判断函数的单调性3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)【学法指导】结合函数图像(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.一基础知识回顾1.函数单调性：一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系： 导数函数的单调性f(x)>0单调递增f(x)<0单调递减f(x)0常函数二问题探究探究点一：函数的单调性与导函数正负的关系例1：已知导函数f(x)的下列信息：当1<x<4时，f(x)>0；当x>4，或x<1时，f(x)<0；当x4，或x1时，f(x)0.试画出函数f(x)图像的大致形状解：当1<x<4时，f(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f(x)<0，可知f(x)在此区间内单调递减；当x4，或x1时，f(x)0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点” 综上，函数f(x)图像的大致形状如图所示跟踪训练1：函数yf(x)的图像如图所示，试画出导函数f(x)图像的大致形状解：f(x)图像的大致形状如下图：注：图像形状不唯一例2：求下列函数的单调区间：(1)f(x)2x33x236x16；(2)f(x)3x22ln x.解：(1)f(x)6x26x366(x2)(x3)由f(x)>0得，x<2或x>3；由f(x)<0得，2<x<3. 所以函数f(x)的递增区间为(，2)和(3，)；递减区间为(2,3)(2)函数的定义域为(0，)，f(x)6x2·.令f(x)>0，即2·>0，解得<x<0或x>.又x>0，x>.令f(x)<0，即2·<0，解得x<或0<x<.又x>0，0<x<.f(x)的单调递增区间为(，)，单调递减区间为(0，)跟踪训练2：求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x； (2)f(x)； (3)f(x)sin x(1cos x)(0x<2)解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2x.因为x>0，所以x1>0，由f(x)>0得x>，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)<0得x<，又x(0，)，所以函数f(x)的单调递减区间为.(2)函数f(x)的定义域为(，2)(2，)f(x).因为x(，2)(2，)，所以ex>0，(x2)2>0. 由f(x)>0得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)<0得x<3，又定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)f(x)cos x(1cos x)sin x(sin x) 2cos2xcos x1(2cos x1)(cos x1)因为0x<2，所以cos x10，由f(x)>0得0<x<或<x<2；由f(x)<0得<x<，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.探究点二：函数的变化快慢与导数的关系例3：如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像解：(1)B(2)A(3)D(4)C跟踪训练3：已知f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是(D)解析：从f(x)的图像可以看出，在区间内，导数递增；在区间内，导数递减即函数f(x)的图像在内越来越陡，在内越来越平缓.三练一练1函数f(x)xln x在(0,6)上是(A)A单调增函数 B单调减函数C在上是减函数，在上是增函数D在上是增函数，在上是减函数解析：f(x)1>0，函数在(0,6)上单调递增2f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图像如图所示，则函数yf(x)的图像可能是(D)解析：由导函数的图像可知，当x<0时，f(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0<x<2时，f(x)<0，即f(x)为减函数；当x>2时，f(x)>0，即函数f(x)为增函数观察选项易知D正确3函数f(x)ln xax(a>0)的单调增区间为(A)A B C(0，) D(0，a)解析：f(x)的定义域为x|x>0，由f(x)a>0，得0<x<.4(1)函数yx24xa的增区间为(2，)，减区间为(，2) (2)函数f(x)x3x的增区间为和，减区间为解析：(1)y2x4，令y>0，得x>2；令y<0，得x<2，所以yx24xa的增区间为(2，)，减区间为(，2)(2)y3x21，令y>0，得x>或x<；令y<0，得<x<，所以f(x)x3x的增区间为和，减区间为(，)四课时小结1导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度2利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)>0和f(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.五作业设计1 命题甲：对任意x(a，b)，有f(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的则甲是乙的 (A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2 函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是(D)A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，)3 函数f(x)x3ax2bxc，其中a，b，c为实数，当a23b<0时，f(x)是(A)A增函数B减函数C常数D既不是增函数也不是减函数4 下列函数中，在(0，)内为增函数的是(B)Aysin x Byxe2 Cyx3x Dyln xx5 如果函数f(x)的图像如图，那么导函数yf(x)的图像可能是(A)6 设f(x)，g(x)在a，b上可导，且f(x)>g(x)，则当a<x<b时，有(C)Af(x)>g(x) Bf(x)<g(x) Cf(x)g(a)>g(x)f(a) Df(x)g(b)>g(x)f(b)7 函数yf(x)在其定义域内可导，其图像如图所示，记yf(x)的导函数为yf(x)，则不等式f(x)0的解集为2,3)8 函数yx2sin x在(0,2)内的单调递增区间为9函数yax3x在R上是减函数，则a的取值范围为_10.已知函数yf(x)的导函数f(x)的图像如图所示，试画出函数yf(x)的大致图像解：由yf(x)的图像可以得到以下信息：x<2或x>2时，f(x)<0，2<x<2时，f(x)>0，f(2)0，f(2)0.故原函数yf(x)的图像大致如下：11求下列函数的单调区间：(1)yxln x； (2)y.解：(1)函数的定义域为(0，)，y1，由y>0，得x>1；由y<0，得0<x<1.函数yxln x的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1)(2)函数的定义域为x|x0，y，当x0时，y<0恒成立函数y的单调减区间为(，0)，(0，)，没有单调增区间12已知函数f(x)x3bx2cxd的图像经过点P(0,2)，且在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)求函数yf(x)的单调区间解：(1)由yf(x)的图像经过点P(0,2)，知d2，f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70，知6f(1)70，即f(1)1，f(1)6.，即，解得bc3.故所求的解析式是f(x)x33x23x2.(2)f(x)3x26x3.令f(x)>0，得x<1或x>1；令f(x)<0，得1<x<1.故f(x)x33x23x2在(，1)和(1，)内是增函数，在(1，1内是减函数13已知函数f(x)mx3nx2 (m、nR，m0)，函数yf(x)的图像在点(2，f(2)处的切线与x轴平行(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间解：(1)由已知条件得f(x)3mx22nx，又f(2)0，3mn0，故n3m.(2)n3m，f(x)mx33mx2，f(x)3mx26mx.令f(x)>0，即3mx26mx>0，当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m<0时，解得0<x<2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(，0)和(2，)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)3.2函数的极值【学习要求】1了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2掌握函数极值的判定及求法.3掌握函数在某一点取得极值的条件【学法指导】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质函数极值可以在函数图像上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.一基础知识回顾1极大值点与极大值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值2极小值点与极小值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值3如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.二问题探究探究点一：函数的极值与导数的关系问题1：如图观察，函数yf(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？yf(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？答：以d、e两点为例，函数yf(x)在点xd处的函数值f(d)比它在点xd附近其他点的函数值都小，f(d)0；在xd的附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)0.类似地，函数yf(x)在点xe的函数值f(e)比它在xe附近其他点的函数值都大，f(e)0；在xe附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0.问题2：函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答：函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个问题3：若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？答：可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)的符号不同例1：求函数f(x)x33x29x5的极值与极值点解：f(x)3x26x9. 解方程3x26x90，得x11，x23. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)增10减22增由表可知：当x1时，f(x)有极大值f(1)10，x1是极大值点；当x3时，f(x)有极小值f(3)22，x3是极小值点跟踪训练1：求函数f(x)3ln x的极值与极值点解：函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得x1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)减3增因此当x1时，f(x)有极小值f(1)3.x1是极小值点探究点二：利用函数极值确定参数的值例2：已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求常数a，b的值解：因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，所以即解之得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(3，1)时，f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.跟踪训练2：设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解：(1)f(x)aln xbx2x，f(x)2bx1. 由极值点的必要条件可知：f(1)f(2)0，a2b10且4b10，解方程组得，a，b.(2)由(1)可知f(x)ln xx2x. f(x)x1x1.当x(0,1)时，f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0；当x(2，)时，f(x)0；所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点探究点三：函数极值的综合应用例3设函数f(x)x36x5，xR.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围解：(1)f(x)3x26，令f(x)0，解得x1，x2.因为当x>或x时，f(x)0；当x时，f(x)0. 所以f(x)的单调递增区间为单调递减区间为(，) (，)和(，)；当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知yf(x)的图像的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图像有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根跟踪训练3：若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围解：f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上为增函数f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k. 要使函数f(x)只有一个零点，只需4k<0或4k>0(如图所示)即k<4或k>4. k的取值范围是(，4)(4，)三练一练1“函数yf(x)在一点的导数值为0”是“函数yf(x)在这点取得极值”的(B)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2下列函数存在极值的是(B)Ay Byxex Cyx3x22x3 Dyx3解析：A中f(x)，令f(x)0无解，A中函数无极值B中f(x)1ex，令f(x)0可得x0. 当x<0时，f(x)>0，当x>0时，f(x)<0. yf(x)在x0处取极大值，f(0)1. C中f(x)3x22x2，42420<0. yf(x)无极值D也无极值故选B.3已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为(D)A1<a<2 B3<a<6 Ca<1或a>2 Da<3或a>6解析：f(x)3x22ax(a6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么(2a)24×3×(a6)>0，解得a>6或a<3.4设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围为(，1)解析：yexa，由y0得xln(a)由题意知ln(a)>0，a<1.5直线ya与函数yx33x的图像有三个相异的交点，则a的取值范围是2<a<2解析：f(x)3x23，令f(x)0可以得到x1或x1，f(1)2，f(1)2，2<a<2.四课时小结1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题.4.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值五作业设计 1. 函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf(x)的图像如图，则函数yf(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(A)A1个 B2个 C3个 D4个2 下列关于函数的极值的说法正确的是 (D)A导数值为0的点一定是函数的极值点 B函数的极小值一定小于它的极大值C函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数3 函数yx33x29x(2<x<2)有 (C)A极大值5，极小值27 B极大值5，极小值11C极大值5，无极小值 D极小值27，无极大值4 已知函数f(x)，xR，且在x1处，f(x)存在极小值，则(C)A当x(，1)时，f(x)>0；当x(1，)时，f(x)<0B当x(，1)时，f(x)>0；当x(1，)时，f(x)>0C当x(，1)时，f(x)<0；当x(1，)时，f(x)>0D当x(，1)时，f(x)<0；当x(1，)时，f(x)<08 若a>0，b>0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于(D)A2 B3 C6 D99 若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是(B)A1<a<2 B1<a<4 C2<a<4 Da>4或a<15 若函数f(x)在x1处取极值，则a3.6 设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为97. 如果函数yf(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断正确的是(填序号)10求下列函数的极值：(1)f(x)x32x2x1；(2)f(x).x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)04e2解：(1)函数的定义域为R，f(x)3x24x13(x1).令f(x)>0，可得x>1或x<；令f(x)<0，可得<x<1.函数f(x)x32x2x1的单调递增区间为和(1，)，单调递减区间为.(2)函数的定义域为R，f(x)2xexx2·2xexx2exx(2x)ex，令f(x)0，得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当x0时，函数有极小值，且为f(0)0；当x2时，函数有极大值，且为f(2)4e2.11已知f(x)x3mx22m2x4(m为常数，且m>0)有极大值，求m的值x(，m)mmf(x)00f(x)极大值 极小值解：f(x)3x2mx2m2(xm)(3x2m)，令f(x)0，则xm或xm.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：f(x)极大值f(m)m3m32m34 m1.12设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值解：(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的极大值是f()a，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)>0，x取足够小的负数时，有f(x)<0，所以曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值f()a，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，即a<0或a1>0，a<或a>1，当a(，)(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点13已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)当a时，求函数f(x)的单调区间与极值解：(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，由a知，2aa2.以下分两种情况讨论：若a>，则2a<a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x) 极大值极小值x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)在(，2a)，(a2，)内是增函数，在(2a，a2)内是减函数函数f(x)在x2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2a.函数f(x)在xa2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若a<，则2a>a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如上表：所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.3.3最大值、最小值问题(一)【学习要求】1理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系2会用导数求某定义域上函数的最值【学法指导】弄清极值与最值的区别是学好本节的关键函数的最值是一个整体性的概念函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较.一 基础知识回顾1函数f(x)在闭区间a，b上的最值如图，函数f(x)在闭区间a，b上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值，(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二问题探究探究点一：求函数的最值问题：函数的极值和最值有什么区别和联系？答：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值例1：求下列函数的最值：(1)f(x)2x312x，x1,3；(2)f(x)xsin x，x0,2解：(1)f(x)2x312x，f(x)6x2126(x)(x)，令f(x)0，解得x或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)增极大值减极小值增所以函数f(x)的单调递增区间为(，)，(，) 因为f(1)10，f(3)18，f()8，f()8；所以当x时，f(x)取得最小值8；当x3时，f(x)取得最大值18. (2)f(x)cos x，令f(x)0，又x0,2，解得x或x. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x02f(x)00f(x)0增极大值减极小值增当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).跟踪训练1：求下列函数的最值：(1)f(x)x32x24x5，x3,1；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5解：(1)f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4. 令f(x)0，得x12，x2.f(2)13，f，f(3)8，f(1)4，函数f(x)在3,1上的最大值为13，最小值为.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3) ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)<0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.探究点二：含参数的函数的最值问题例2已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程(2)求f(x)在区间0,2上的最大值解：(1)f(x)3x22ax. 因为f(1)32a3，所以a0.又当a0时，f(1)1，f(1)3，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为3xy20. (2)令f(x)0，解得x10，x2.当0，即a0时，f(x)在0,2上单调递增，从而f(x)maxf(2)84a. 当2，即a3时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0. 当0<<2，即0<a<3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max，综上所述，f(x)max.跟踪训练2：已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7ab增b减16ab解：f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)(1)当a>0时，列表如下：由表可知，当x0时，f(x)取极大值，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)3，即b3. 又f(1)7a3，f(2)16a3<f(1)，f(2)16a329，a2. (2)当a<0时，同理可得，当x0时，f(x)取极小值，也就是函数在1,2上的最小值，f(0)29，即b29. 又f(1)7a29，f(2)16a29>f(1)，f(2)16a293，a2. 综上可得，a2，b3或a2，b29.探究点三：函数最值的应用例3：已知函数f(x)(x1)ln xx1.若xf(x)x2ax1恒成立，求a的取值范围解：f(x)ln x1ln x，xf(x)xln x1，而xf(x)x2ax1(x0)等价于ln xxa. 令g(x)ln xx，则g(x)1. 当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，x1是g(x)的最大值点，g(x)g(1)1. 综上可知，a的取值范围是.跟踪训练3：设函数f(x)2x39x212x8c，若对任意的x0,3，都有f(x)<c2成立，求c的取值范围解：f(x)6x218x126(x1)(x2)当x(0,1)时，f(x)>0；当x(1,2)时，f(x)<0；当x(2,3)时，f(x)>0. 当x1时，f(x)取极大值f(1)58c. 又f(3)98c>f(1)，x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c. 对任意的x0,3，有f(x)<c2恒成立，98c<c2，即c<1或c>9. c的取值范围为(，1)(9，)三练一练1函数yf(x)在a，b上(D)A极大值一定比极小值大 B极大值一定是最大值C最大值一定是极大值 D最大值一定大于极小值解析：由函数的最值与极值的概念可知，yf(x)在a，b上的最大值一定大于极小值2函数f(x)x33x(|x|<1)(D)A有最大值，但无最小值 B有最大值，也有最小值C无最大值，但有最小值 D既无最大值，也无最小值解析：f(x)3x233(x1)(x1)，当x(1,1)时，f(x)<0，所以f(x)在(1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D.3函数yxsin x，x的最大值是(C)A1 B1 C D1解析：因为y1cos x，当x时，y>0，则函数y在区间上为增函数，所以y的最大值为ymaxsin ，故选C.4函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为71 解析：f(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0得x3或x1. 又f(4)k76，f(3)k27，f(1)k5，f(4)k20. 由f(x)maxk510，得k5，f(x)mink7671.四课时小结1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可一般地，可采用分离参数法f(x)恒成立f(x)max；f(x)恒成立f(x)min.3.函数最值：(1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得求出导数为零的点比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值(2)若函数在闭区间a，b上连续单调，则最大、最小值在端点处取得五作业设计1 函数f(x)x24x7，在x3,5上的最大值和最小值分别是(B)Af(2)，f(3) Bf(3)，f(5) Cf(2)，f(5) Df(5)，f(3)2 f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是(C)A2 B0 C2 D43 函数y的最大值为(A)Ae1 Be Ce2 D.4 已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于(C)A B. C D.或5 函数y在定义域内(C)A有最大值2，无最小值 B无最大值，有最小值2C有最大值2，最小值2 D无最值6 设直线xt与函数f(x)x2，g(x)ln x的图像分别