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七年级寒假讲义相交线与平行线第01课 邻补角与对顶角邻补角： 。具有这种关系的两个角，互为邻补角。注意：邻补角是补角的一种特殊情况，数量上 ，位置上有一条 ，而互补的角与 无关。对顶角： 。具有这种位置关系的角，互为对顶角。注意：(1)对顶角形成的前提条件是两条直线相交,而邻补角不一定是两条直线相交形成的; (2)两条直线相交,每个角的对顶角 个，而每个角的邻补角有 个。 (3)两直线相交，有 对邻补角； 对对顶角对顶角的性质： 垂线：两条直线互相 ，其中的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 。注意：两条直线相交所成的四个角 ,这两条直线互相垂直; 两条直线相交,有一组 ,这两条直线互相垂直; 两条直线相交,对顶角 .这两条直线互相垂直.垂线的性质1: 过一点 一条直线与已知直线垂直。注意：“有”指存在，“只有”指唯一；“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。画出PA在摆动过程中的几个位置，如图，点A1、A2、A3在l上,连接PA1、PA2、PA3，PO l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3的长短，可知垂线段PO最短。 点到直线的距离：连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离。垂线的性质2：直线外一点到直线上所以点的距离, . 注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离。垂线的画法：画已知线段或射线的垂线：（1）垂足在线段或射线上；（2）垂足在线段的延长线或射线的反向延长线上例1.下图中直线AB、CD相交于O，BOC的对顶角是 ，邻补角是 例2.一个角的对顶角有 个，邻补角最多有 个，而补角则可以有 个。例3.判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正. (1)直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离. (2)如图,线段AE是点A到直线BC的距离. (3)如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离. （4）过直线外一点画直线的垂线，垂线的长度叫做这个点到这条直线的距离； （5）从直线外一点到直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离； （6）两条直线相交，若有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直； （7）两条直线的位置关系要么相交，要么平行。 例4.如图，过钝角顶点B作AB、BC、CA的垂线，分别交于AC于D、E、F，并指出所画三条垂线的垂足。例5.如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，MN分别是位于公路AB两侧的村庄。 （1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置； （2）当汽车从A出发向B行驶时，在哪一个位置到村庄M、N的路程之和最短？请在图中标出这个位置。 例6.已知：如图，直线a、b、c两两相交，1=23，2=860，求4的度数例7.如图，直线AB、CD相交于点0,OD平分BOF,EOCD于O,EOF=1180,求COA的度数。例8.如图,O是直线AB上的一点，OD是AOC的平分线，OE是COB的平分线，求证：ODOE.例9.已知,如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分BOD,OF平分COB,AOD:DOE=4:1,求AOF的度数课堂练习：1.判断正误(1)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角( )(2)如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角( )(3)有一条公共边的两个角是邻补角( )(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角( )(5)对顶角的角平分线在同一直线上( )(6)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角( )2.如图所示,1和2是对顶角的图形有( ) 3.如图,直线AB和CD相交于点O,若AOD与BOC的和为236°,则AOC的度数为( ) A.62° B.118° C.72° D.59° 第3题图 第4题图4.如图所示,下列说法不正确的是( )毛 A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段 5.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到 直线m的距离为( ) A.4cm B.2cm C.小于2cm D.不大于2cm6.如图，直线AB、CD相交于O点，AOE=90°， 1和2叫做_角；1和4互为_角；2和3互为_角； 1和3互为_角；2和4互为_角 若120°，那么2_；3BOE_=_°-_°=_；4_-1_°-_°=_. 第6题图 第7题图 第8题图7.如图，直线AB与CD相交于O点，且COE=90°，则 与BOD互补的角有_； 与BOD互余的角有_； 与EOA互余的角有_； 若BOD=42017，则AOD_；EOD_；AOE_.8.如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则AOD的对顶角是 ,AOC的邻补角是 若AOC=50°,则BOD= ,COB= .9.如图，线段 的长度表示点D到直线BC的距离，线段 的长度表示点B到直线CD的距离，线段 的长度表示点A、B之间的距离。 10.如图，直线AB、CD、EF相交于O点，则AOC= ,COE= ,AOC的邻补角是 .11.按要求画图：(1）如图，过A点作CDMN，过A点作PQEF于B (图a) (图b) (图c)(2)如图，已知AOB及点P，分别画出点P到射线OA、OB的垂线段PM及PN (图a) (图b) (图c)12.如图所示，如果OAOC,O是垂足，OB是一条射线，且AOB:AOC=2:3,求BOC的度数。 13.如图，MNAB,垂足为M,MC平分AMD, BMD=440,求CMN的度数。 14.如图，AB、CD相交于点O，OC平分 求的度数；求的度数 七年级数学寒假讲义测试01日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分： 1.判断下列语句是否正确?(正确的画“”，错误的画“×”)(1)两条直线相交，若有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直( )(2)若两条直线相交所构成的四个角相等，则这两条直线互相垂直( )(3)一条直线的垂线只能画一条( )(4)平面内，过线段AB外一点有且只有一条直线与AB垂直( )(5)度量直线l外一点到直线l的距离( )(6)点到直线的距离，是过这点画这条直线的垂线，这点与垂足的距离( )(7)画出点A到直线l的距离( )(8)在三角形ABC中，若B=90°，则ACAB( )2.若AOCO，BODO，且BOC=，则AOD等于( ) A.1800-2a B.1800-a C. D.2-90°3.下列说法，错误的是 .( )A.垂线段最短 B.对顶角相等 C.同位角相等 D.一个锐角的补角大于这个锐角4.直线a上一点A与a外一点B的距离为2，与a外一点C的距离为3，则点B到a的距离d1与点C到直线a的距离d2的关系是 . A.d1< d2 B.d1= d2 C.d1> d2 D.以上都有可能5.如果AOB和BOC互补，则AOB和BOC的角平分线关系是 .( )A.垂直 B.相交但不垂直 C.重合 D.以上三种情况都有可能6.点P是直线l,点 A、B、C 为直线l上三点,PA=5cm,PB=4cm,PC=3cm,则点P到直线l的距离( ) A.等于4cm B.等于3cm C.小于3cm D.不大于3cm7.如图，直线a、b相交，1=120°，则23=（ ）A.60°B.90°C.120° D.180° 8.如图，直线a、b、c两两相交，共构成 对对顶角.9.如图，直线a，b，c交于O，1=30º，2=50º，则3=_10.如图，CBAB，CBA与CBD的度数比是5:1，则DBA_度，CBD的补角是_度11.如图，已知AB、CD相交于点O,OEAB于O,EOC=280,则AOD= 度。 12.如图，ACBC，CDAB，点A到BC边的距离是线段_的长，点B到CD边的距离是线段_的长，图中的直角有_，A的余角有_，和A相等的角有_。13.如图，EOF为一条直线，AOB=COD=900，OE平分COB，EOB=15030，求AOF. 14.如图，已知三条直线AB、CD、EF相交于O，且CDEF,AOE=700，若OG平分BOF，求DOG 15.如图,已知AB、CD、EF相交于点O,EFAB，OG为COF的平分线,OH为DOG的平分线,若AOC：COG=4：7，求GOH的度数16.回答下列问题：(1)三条直线AB、CD、EF两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角? ; (2)四条直线AB、CD、EF、GH两两相交，图形中共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角? ; (3)m条直线a1、a2、a3，am1，am相交于点O，则图中一共有几对对顶角(平角除外)?几对邻补角? 第02课 三线八角“三线八角”：两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。（1）同位角：可以发现1与5都处于直线的 ，在直线a,b的 ，这样位置的一对角就是 。图中的同位角还有 ， ， 。（2）内错角：可以发现3与5都处于直线的 ，在直线a,b的 ，这样位置的一对角就是 。图中的内错角还有 。（3）同旁内角：可以发现4与5都处于直线的 ，在直线a,b的 ，这样位置的一对角就是 。图中的同旁内角还有 。例1.如下图所示，直线DE、BC被直线AB所截，问1与4，2与4，3与4各是什么角？ 例2.如图，判断下列角之间的关系：（1）1与2是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的_角。（2）1与3是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的_角。（3）3与4是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的_角。（4）5与6是两条直线 与 被第三条直线 所截构成的_角。例3.如图,与C是同旁内角的有( )个. A.2 B.3 C.4 D.5例4.如图，直线AB、CD与直线EF、GH分别相交，图中的同旁内角共有( )对 (A)4对 (B)8对 (C)12对 (D)16对课堂练习：1.图中，1和2是同位角的是(     ) 2.如图，判断错误的是 （ ） A.1和7是同旁内角 B.3和4是同位角 C.5和6是对顶角 D.8和1是内错角3.如图，下列说法中错误的是( ) A.是同位角 B.是同旁内角 C.是同位角 D.是内错角 4.如图，下面结论正确的是（ ） A.是同位角 B.是内错角 C.是同旁内角 D.是内错角5.如图，图中同旁内角的对数是（ ） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 6.如图，能与构成同位角的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7.如图，若直线a、b被直线c所截，在所构成的八个角中指出，下列各对角之间是属于哪种特殊位置关系的角?(1)1与2是 ；(2)5与7是 ；(3)1与5是 ；(4)5与3是 ；(5)5与4是 ；(6)8与4是 ；(7)4与6是 ；(8)6与3是 ；(9)3与7是 ；(10)6与2是 ；8.如图：(1)D的同位角是 ;(2)D的内错角是 ;(3)D的同旁内角是_ 9.已知如图，1与2是_被_所截成的_角；2与3是_被_截成的_角；3与A是_被_截成的_角；AB、AC被BE截成的同位角_ _，内错角_，同旁内角_；DE、BC被AB截成的同位角是_，内错角_，同旁内角_10.如图: (1)B和1是两条直线 和_被第三条直线 所截构成的 角. (2)2和4是两条直线_和_被第三条直线_所截构成的 角. (3)ACB与6是两条直线_和_被第三条直线_所截构成的 角. (4)A与B是两条直线_和_被第三条直线_所截构成的 角. (5)3与5是两条直线_和_被第三条直线_所截构成的 角. (6)A与7是两条直线_和_被第三条直线_所截构成的 角. (7)3与B是两条直线_和_被第三条直线_所截构成的 角. (8)2与7是两条直线_和_被第三条直线_所截构成的 角. (9)B与BDE是两条直线_和_被第三条直线_所截构成的 角. 第10题图 第11题图 第12题图11.如图,直线AB和CD被EC所截,则1与2是_角,1与3是_角, 1与C是_角,2与C是_角,4与C是_角.12.如图, 1和2是 角, 3和 是内错角, 4和5是 角.13.如图,1的同位角是 ,1的内错角是 ,1的同旁内角是_. 14.如图,直线截直线所得的同位角有_对,它是_;内错角有_对,它们是_;同旁内角有_对,它们是_;对顶角有_对,它们是_.15.（1）如图1中，三条直线a、b、l1两两相交，则图中共有 对同旁内角； （2）如图2中，若l2l1，则图中共有 对同旁内角； （3）如图3中，若lnl2l1，则图中共有 对同旁内角16.图中,与1成同位角的个数是（ ） A2个 B3个 C4个 D5个 第16题图 第17题图 第18题图17.图中所标出的角中，共有同位角（ ）A.2对 B.3对 C.4对 D.5对18.如图,内错角共有( )对 A.10对 B.8对 C.6对 D.4对19.如图，BCAC，ADCD，AB=m，CD=n，则AC的长的取值范围是( )A.ACmB.ACn C.nACm D.nACm 20.如图，ACBC于点C，CDAB于点D，DEBC于点E，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )条A.3B.4 C.7 D.821.OC把AOB分成两部分：AOC=直角BOC;BOC=平角-AOC.问：（1）OA与OB的位置关系怎样？（2）OC是否为AOB的平分线？并写出判断的理由。七年级数学寒假讲义测试02日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分： 1.如图，1和2是同位角的是 .（ ） 2.如图，下列结论正确的是( ) A.5与2是对顶角 B.1与3是同位角 C.2与3是同旁内角 D.1与2是同旁内角3.如图，1和2是内错角，可看成是由直线( )A.AD、BC被AC所截构成 B.AB、CD被AC所截构成C.AB、CD被AD所截构成 D.AB、CD被BC所截构成 4.如图，图中的内错角的对数是（ ）A.2对 B.3对 C.4对 D.5对5.如图，三条直线两两相交，其中同位角共有（）A.0对 B.6对 C.8对 D.12对6.如图所示，(1)B和ECD可看成是直线AB、CE被直线_所截得的_角；(2)A和ACE可看成是直线_、_被直线_所截得的_角 7.如图所示，(1)AED和ABC可看成是直线_、_被直线_所截得的_角；(2)EDB和DBC可看成是直线_、_被直线_所截得的_角；(3)EDC和C可看成是直线_、_被直线_所截得的_角8.如图，已知四条直线AB、AC、DE、FG （1）1与2是直线_和直线_被直线_所截而成的_角. (2) 3与2是直线_和直线_被直线_所截而成的_角. (3) 5与6是直线_和直线_被直线_所截而成的_角. (4) 4与7是直线_和直线_被直线_所截而成的_角. (5) 8与2是直线_和直线_被直线_所截而成的_角.9.指出图中， 2和 5的关系是_； 3和 5的关系是_； 2和_是直线_、_被_所截，形成的同位角； 1和 4呢? 3和 4呢? 6和 7是对顶角吗? 10.如图，BEF的同位角是 ，内错角是 ，同旁内角是 .11.如图，1和C是直线 和直线 被直线 截成的 .12.如图，1和2是直线 和 被直线 所截成的 . 13.如图，直线DE与O的两边相交，则O的同位角是 ，8的内错角是 ，1的同旁内角是 ，1的对顶角是 14.如图,用数字标注的角中,共有4对内错角,请把他们一一写出来. 15.请你尽可能多的写出下图中的同位角,内错角,同旁内角. 第03课 平行线定义及判定平行线： 。注意：（1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；（2）必须是两条 ；（3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数m进行分类的。平行线的表示方法： 平行用“ ”表示，直线AB与直线CD平行，记作 ，读作 。平行线的画法：（平移法）平行线的基本性质：（1）平行公理：经过 一点， 与已知直线平行。 （2）平行公理的推论：如果两条直线都和 ，那么这两条直线也平行。 数学公式： (3)平行线间的距离 . 平行线的判定方法：（1）两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行。（2）两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行。（3）两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行。（4） ，那么这两条直线平行。（5）在同一平面内，如果两条直线同时 ，那么这两条直线平行例1.已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据(1)如果2=3，那么_.(_，_)(2)如果2=5，那么_.(_，_)(3)如果2+1=1800，那么_.(_，_)(4)如果5=3，那么_.(_，_)(5)如果4+6=1800，那么_.(_，_)(6)如果6=3，那么_.(_，_)例2.如图,已知1=530，2=1270，3=530，试说明直线AB与CD，BC与DE的位置关系。例3.如图,已知A=ACE，B=BDF，且A=B. 求证：ECDF. 例4.如图,已知1:2:3=2:3:4,AFE=600，BDE =1200，写出图中平行的直线，并说明理由例5.如图，已知AHF+FMD=1800，GH平分AHM，MN平分DMH.求证:(1)AB/CD;(2)GHMN.课堂练习：1.已知直线a与直线c的夹角等于直线b与直线c的夹角，则直线a和直线b的位置关系是( ). A.平行 B.相交 C.垂直 D.不能确定2.下列与垂直相交的洗法:平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行; 一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直,那么它与另一条也垂直;平行内, 一条直线不可能与两条相交直线都垂直,其中说法错误个数有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个3.如图，要得到ab，则需要条件（）A.2=4B. 1+3=180° C.1+2=180 D. 2=3 4.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等5.已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由(1)B=3(已知)，_.(_，_)(2)1=D(已知)，_.(_，_)(3)2=A(已知)，_.(_，_)(4)BBCE=180°(已知)，_.(_，_)6.已知：如图，1=2，求证：ABCD(方法一)分析：如图，欲证ABCD，只要证1=_证法1：1=2，(已知)又3=2，( )1=_( )ABCD( ， )(方法二)分析：如图，欲证ABCD，只要证3=4证法2：4=1，3=2，( )又1=2，(已知)从而3=_( )ABCD( ， )7.已知：如图，1=2，3=110°，求4的度数解题思路分析：欲求4，需先证明_/_.解：1=2，( )_/_.( ， )4_=_°.( ， )8.如图，当1=_时，ABCD；当D_=180°时，ABCD；当B=_时，ABCD。9.已知：如图，。求证：。证明：（ ） （ ） （ ） （ ）10.如图,ABBD,CDMN,垂足分别是B、D点,FDC=EBA. (1)判断CD与AB的位置关系;(2)BE与DE平行吗?为什么?11.如图,1+2=180°,DAE=BCF,DA平分BDF. (1)AE与FC会平行吗?说明理由. (2)AD与BC的位置关系如何?为什么? (3)BC平分DBE吗?为什么.七年级数学寒假讲义测试03日期： 月 日 满分：100分 姓名： 得分： 1.将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BCDE，则AFC的度数为（ ）A.45° B.50° C.60° D.75° 2.如图，下列推理错误的是（ ） A.1=