直线与抛物线位置关系的判定的研究.doc

目 录摘要I关键词IAbstracteIIKeywordsII1.相关概念12.定义法判定直线与抛物线的位置关系12.1定义法判定直线与抛物线的位置关系12.2 定义法判定直线与抛物线位置关系的应用23.切线法判定直线与抛物线的位置关系33.1 切线法判定直线与抛物线位置关系的探究及证明33.2 切线法判定直线与抛物线位置关系的应用54 距离法判定直线与抛物线的位置关系64.1 距离法判定直线与抛物线位置关系的探究与证明64.2 距离法判定直线与抛物线位置关系的应用85 向量法判定直线与抛物线的位置关系85.1 向量法判定直线与抛物线位置关系的定理及证明85.2 向量法判定直线与抛物线位置关系的应用10参考文献12致谢13直线与抛物线位置关系的判定的研究 摘要:直线与抛物线位置关系可以分为相交、相离、相切,我们可以用切线法判定直线与抛物线的位置关系,还可以通过交点的个数、距离法、向量法来判断直线与抛物线的位置关系. 关键词:切线法;交点法;距离法;向量法Straight line and parabola relation of decision researchAbstract: the position of straight line and parabola relationship can be divided into the intersection, the tangent, and we can use the tangent method to determine the location of the straight line and parabola relationship, can also through the number and distance of the intersection method, vector method to determine the location of the straight line and parabola relationship.Keywords: tangent method; Intersection method; Distance method; Vector method 1.相关概念本文中所有的抛物线方程均用.直线与抛物线的位置关系分为相交、相切、相离.首先我们给出相交,相切,相离的定义.定义11 设抛物线的方程为,在此抛物线上取两个点、,过这两点做直线,则直线与抛物线相交.定义21 设抛物线的方程为,在此抛物线上取两个点、,现让点沿抛物线无限趋向于点,直至与点重合,则过点的直线与抛物线在点处相切.定义3 如果一条直线上的任意一点都不在抛物线上，则这条直线与抛物线相离.2.定义法判定直线与抛物线的位置关系 2.1定义法判定直线与抛物线的位置关系 从公共点的个数可以将直线与抛物线的位置关系分为:无公共点、仅有一个公共点、有两个公共点.定理1 设直线方程为：,抛物线方程为：(),则 <1>当时,直线与抛物线相离. <2>当时,直线与抛物线相交; <3>当,时,直线与抛物线相切. <4>当时,直线与抛物线相交. 证明 联立方程组 , , 得:, <1>,时, 当时,即方程无解,直线与抛物线没有公共解,即直线与抛物线没有公共点,所以直线与抛物线相离; 当时,方程有两个不同的解,直线与抛物线有两个公共解,即直线与抛物线有两个公共点,所以直线与抛物线相交;当时,方程有两个相同的解,直线与抛物线有两个相同的公共解,即直线与抛物线有一个公共点,所以直线与抛物线相切;<2>,时,直线与抛物线相切.<3>时,方程无解,此时,直线与抛物线相离;<4>时,即得一元一次方程,方程仅有一个解,此时,直线与抛物线相交.2.2 定义法判定直线与抛物线位置关系的应用 例1 已知抛物线方程为,直线方程为,判断直线与抛物线的位置关系.过定点的直线的斜率为K,由下列情况分别求K的取值围.<1>直线与抛物线有且只有一个公共点;<2>直线与抛物线恰有两个公共点;<3>直线与抛物线没有公共点;解 ,， 可以化为, ,. , 直线与抛物线相交.3.切线法判定直线与抛物线的位置关系3.1 切线法判定直线与抛物线位置关系的探究及证明定义4 抛物线包含焦点的区域称为抛物线的内部（如图1）,而不包含焦点的区域称为抛物线的外部（如图2).图2图1 定理2 (1) 点在抛物线内部的充分必要条件是:. (2) 点在抛物线外部的充分必要条件是:.定理3 若在抛物线上,则过的切线方程为. 证明 对上式求导得：, 则切线斜率, 所以过点的切线方程可写为 , 故 .定理4 若直线与抛物线相切,则切点为.证明 <1> 当,则,则切线是一条垂直于轴的直线, 与相切, , 此时切点为.<2> 当时,联立方程组 得,此时, ,则点在抛物线上.又 与相切, 切点为. 那么过抛物线外部的一点,作直线与切线平行,显然直线与该抛物线相离吗.同样,过抛物线内部的一点,作直线与切线平行,直线与该抛物线相交. 定理5 直线与抛物线相离的充要条件是点在抛物线的外部,即;直线与抛物线相交的充要条件是点在抛物线的内部,即. 证明 xy图4yx图3 直线与抛物线相切且点为切点,切线为,现过直线外的一点作直线与切线平行,则直线与抛物线相离.（如图3）.直线与抛物线相离时，直线上的任何点都不在抛物线上,即在抛物线外部. 直线与抛物线相交的充要条件是点在抛物线的内部也是类似证明.(如图4) 3.2 切线法判定直线与抛物线位置关系的应用例1 已知抛物线的方程为,直线方程为,判断直线与抛物线的位置关系.解 ,. 直线可化为, 即 . 则直线过点. 将点代入抛物线方程当中得, 则点在抛物线的内部, 所以直线与抛物线相交.4 距离法判定直线与抛物线的位置关系4.1 距离法判定直线与抛物线位置关系的探究与证明我们知道,根据圆心到直线的距离（点到直线:的距离）可以判断直线与圆的位置关系,那么我们是否可以用焦点到直线的距离来判断直线与抛物线的位置关系呢?定理62 已知直线:(）和抛物线,点是抛物线的焦点,点到直线的距离为,直线的倾斜角为. (1) 若，则直线与抛物线相切; (2) 若，则直线与抛物线相离; (3) 若，则直线与抛物线相交;证明 第一步,当直线与抛物线相切,. 若直线与抛物线相切且切点为（此时),过点作平行于轴的直线交准线于点,连接,直线交于点.LSQRPF T xE由抛物线的光学性质得,3 , ,又 , 垂直平分, 点到直线的距离为 ,显然,在中，.第二步,若直线与抛物线相离,作与直线平行的直线,且直线与抛物线相切,此时直线的倾SQRPFE斜角,设点到直线的距离为,易知,其中为直线与直线的距离,由第一步知,.第三步,若直线与抛物线相交,作与直线平行的直线,且与抛物线相切,此时直线的倾斜角,设点F到直线的距离为,易知,其中为直线与直线的距离.SQRPFE1> 若直线平行于轴,则,;2>若直线不平行于轴,则,由第一步知,. 最后,(1)若,由第二、三步可知,直线既不与抛物线相离也不与抛物线相交,因此直线与抛物线相切; (2) 若,由第一、三步可知,直线既不与抛物线相切也不与抛物线相交,因此直线与抛物线相离; (3) 若,由第一、二步可知,直线既不与抛物线相切也不与抛物线相离,因此直线与抛物线相交.4.2 距离法判定直线与抛物线位置关系的应用例1 已知直线方程,抛物线方程为,判断直线与抛物线的位置关系. 解 抛物线的焦点坐标为且,直线的倾斜角,点F到直线的距离=, ,所以直线与抛物线相离.5 向量法判定直线与抛物线的位置关系5.1 向量法判定直线与抛物线位置关系的定理及证明定理74 设抛物线的焦点为F,过焦点F的作直线,使直线直线,直线,与轴分别相交于点,则(1)直线与抛物线相切;(2)直线与抛物线相交;(3)直线与抛物线相离;F 证明 设直线的方程为, 那么直线的方程为:, 则, =，= , 联立 , , 消去,得，. 当直线与抛物线相切; 当或直线与抛物线相交; 当直线与抛物线相离;5.2 向量法判定直线与抛物线位置关系的应用例1 已知抛物线方程为,直线,判断直线与抛物线的位置关系.解 由题知抛物线的焦点坐标F,直线的斜率, 则过焦点且斜率为1的直线方程为, 直线,与轴的交点坐标分别为, , , 所以直线与抛物线相离. 例2 已知抛物线方程为,直线方程为,用各种方法判断直线与抛物线的位置关系.定义法： 联立方程组 得：,所以直线与抛物线相交.切线法：,直线可化为,直线过点,将点带入到抛物线方程当中,即.所以点在抛物线内部,即直线与抛物线相交.距离法：抛物线的焦点的坐标为,点到直线的距离,且直线的倾斜角,所以，直线与抛物线相交.向量法：抛物线的焦点的坐标为,的斜率,其与轴的交点坐标为,则过点且斜率为1的直线为,且其与轴的交点坐标为,所以,即直线与抛物线相交.对于判定直线与抛物线的位置关系,我们首选的是切线法，因为我们只需将直线方程做一个化简，然后得到一个点，最后将点代入到抛物线方程当中,判断点在抛物线内部、外部还是在抛物线上,进而判断直线与抛物线的位置关系;如果直线的倾斜角很容易求出,距离法也可以很容易的判断出直线与抛物线的位置关系,我们只需求出,然后将与,做一个大小比较,然后根据定理6就可以判断出直线与抛物线的位置关系;用向量法判定直线与抛物线的位置关系的过程也并不复杂,只需求出与已知直线的平行线,且这条直线过焦点,然后根据定理7就可以判断出直线与抛物线的位置关系.参考文献1 欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传樟.数学分析上册M. 高等教育出版社编.2 杨枝.直线和圆锥曲线位置关系的一种判别方法J.教研论坛,2011（11）:33-34.3 陶勇.抛物线光学性质得证法J.数学通讯,2006(23):24. 4 王兴华.直线与圆锥曲线位置关系的向量判定与应用J.中学数学,2004（11）：19-20. 致谢 历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完,在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍,都在同学和老师的帮助下度过了.尤其要强烈感谢我的论文指导老师梁双凤老师,她对我进行了无私的指导和帮助,不厌其烦的帮助进行论文的修改和改进.在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！ 感谢这篇论文所涉及到的各位学者.本文引用了数位学者的研究文献,如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发,我将很难完成本篇论文的写作. 由于我的学术水平有限,所写论文难免有不足之处,恳请各位老师和学友批评和指正!