直线与圆锥曲线中的定点问题.doc
直线与圆锥曲线中的定点问题在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题.例：如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8（）求椭圆E的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解：解法一：(1)因为|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，所以4a8，a2.又因为e，即，所以c1，所以b.故椭圆E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(x1,0)，则·0对满足(*)式的m、k恒成立因为，(4x1,4km)，由·0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x11.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.解法二：(1)同解法一(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，所以P.由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上取k0，m，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x2)2(y)24，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k，m2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为22，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)以下证明M(1,0)就是满足条件的点：因为M的坐标为(1,0)，所以，(3,4km)，从而·330，故恒有，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.小结：方法1：特殊到一般法解题步骤 根据特殊情况确定出定值或定点；对确定出来的定值或定点进行证明适用情况根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题.方法2：引进参数法解题步骤 引进参数表示变化量；研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点适用情况定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).变式1：将例题中的椭圆E改成双曲线E：，设动直线l：y=kx+m与双曲线E相切于点P，且与直线相交于点Q试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解：由得(3k2)x22kmx(m2+3)0.因为动直线l与双曲线E相切于点P(x0，y0)，所以k±且0，即4k2m24(3k2)(m23)0，化简得m2k230.(*)所以P.由得Q假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(t,0)，则·0对满足(*)式的m、k恒成立因为，由·0，得整理，得.(*)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得t=2.故存在定点M(2,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.故恒有，即存在定点M(2,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.变式2：将例题中的椭圆E改成抛物线，设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点，与直线相交于点证明以为直径的圆恒过轴上某定点解：因为,所以 设，则，并且的方程为，即由 得 所以设,令对满足的，恒成立由于，由于,得，即 （*）由于（*）对满足的恒成立，所以解得 故以为直径的圆恒过轴上的定点解法二 因为,所以设，则，并且的方程为，即由 得 所以取=2，此时P(2，1)，Q(0，-1)，以PQ为直径的圆为，交y轴于点（0,1）或（0，-1）；取=1，此时，以PQ为直径的圆为，交y轴于或故若满足条件得点M存在，只能是以下证明点就是所要求的点因为，故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M练习1：在直角坐标系中，曲线上的点均在圆：外，且对上任意一点， 到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.(1)求曲线的方程；(2)设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和.证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值.解：（1）解法1 ：设的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为.解法2 ：由题设知，曲线上任意一点到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为.（2）当点在直线上运动时，的坐标为，又，则过且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为即.于是整理得 设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根，故 由得 设四点的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以 同理可得 于是由，三式得.所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.练习2：在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，其中m>0,设动点P满足,求点P的轨迹设，求点T的坐标设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）解：化简得令，解得，即直线过轴上定点。
