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新疆财经大学本科毕业论文题目:证明不等式的若干方法 学 号: 学生姓名: 院 部: 数学与应用数学学院 专 业: 应用数学 年 级: 2007-2 指导教师 姓名及其职称: 完成日期: 2012 年 5月 18 日 摘要 各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此，不等式很自然地成为分析数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种方法。不等式的证明是高等数学中的难点,也是各类数学考试的重点，不等式的证明不仅形式多种多样,而且证明方法多变,常见的方法有:利用函数的单调性证明,利用微分中值定理证明,利用函数的极值或最值证明，利用函数的凸凹性证明，利用Taylor公式证明不等式，常数变易法证明等。常用的方法是利用导数判断函数的单调性,进而证明不等式成立。在高等数学的教材中还给出了利用微分中值定理证明不等式的方法,但是由于构造辅助函数有难度,同时需要一定的技巧,因此它相对于上述方法而言使用不多。利用Taylor公式证明不等式(尤其是某些含抽象函数的不等式)比较困难,无从入手,思维受阻。探究其原因:一是Taylor公式相关内容本身难理解;二是用此法证明不等式对Taylor公式中展开点的选取很有讲究,需要因势而变。关键词：不等式；函数；性质；中值定理目录1.利用微分中值定理证明不等式11.1利用Lagrange中值定理证明不等式11.1.1数学依据与证明方法11.1.2适用范围与作辅助函数的方法11.2利用cuachy中值定理证明不等式31.2.2适用范围42.利用函数的单调性证明不等式72.1证明方法与证明依据72.2适用范围与做辅助函数的方法73.利用最值判别法证明不等式104利用函数的凸凹性证明不等式114.1证明依据114.2适用范围115.利用Taylor公式证明不等式135.1证明思路与证明方法135.2适用范围136. 用定积分理论来证明不等式166.1.证明依据与证明方法166.2适用范围167.常数变易法18总结20致谢21参考文献221.利用微分中值定理证明不等式1.1利用Lagrange中值定理证明不等式 1.1.1数学依据与证明方法 定理1:( 拉格朗日中值定理 )若函数满足下列条件 ： （i） 在闭区间上连续 ；（）在开区间内可导 ，则在内至少存在一点，使得 。 拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量与可导函数的一阶导数符号之间的关系。从定理的证明过程可看出所证明结果中出现同一函数不同两点函数值之差（）时一般用Lagrange中值定理。 证明方法有：设辅助函数并确定拉格朗日中值定理的区间；对在上施用拉格朗日中值定理； 利用的关系，设方想法把Lagrange公式改成所要证明的不等式。1.1.2适用范围与作辅助函数的方法 1.适用范围：当所证的不等式中含有函数值与一阶导数，或函数增量与一阶导数时，可用拉格朗日中值定理来证明。 2.作辅助函数的方法: 函数在区间上用Lagrange中值定理，得，造出一个含有的等式：，两边乘以的故即所证。3.造不等式的两种方法 （1）简单的代数方法：从出发，利用简单代数关系造出一个的不等式； （2）二阶导数法：出发，利用的符号来确定的单调性，从而得到或（）； 例1证明不等式； 分析：所证不等式中函数中含（同一函数不同两个点函数值差）要想到用Lagrange中值定理，且在上满足Larange中值定理的条件。 证明：因为在上满足Larange中值定理的条件。所以至少存在一点，使，从而得到又因为即这个例子是用拉格朗日中值定理证明不等式的典型例题，有些不等式用此定理证明时方法要灵活些，柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理，当一个函数取作自变量自身时，它就是拉格朗日中值定理，所以能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定能用柯西中值定理来证，反之则不然。 例2求证成立。 分析：所证不等式中含函数（同一函数不同两点函数值）所以要用Lagrange中值定理。 证明：令，则，根据Lagrange中指定理可知对上式的两边去绝对值可得即 由，因此 ； 对等式两边同时取绝对值,然后利用已知条件中的不等关系证明含绝对值的不等式成立,（以及类似的不等式对于该类不等式的证明,可修改为形式的双边不等式)。1.2利用cuachy中值定理证明不等式1.2.1.证明依据与证明方法 柯西（cuachy）中值定理：若函数与都在闭区间上连续，与都在开区间内可导；与在内不同时为0；且， 则在内至少存在一点，使得 ；柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系。证明方法有：构造两个辅助函数和，并确定它们施用柯西中值定理的区间；对与在上施用柯西中值定理；1.2.2适用范围 当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数，或两个函数的函数增量及其一阶导数时，可用柯西中值定理证明。 例3如果函数满足两个条件:(1)在闭区间上有二阶导数; (2) .试证明:在开区间内至少存在一点,使得 证明： 在此我们利用用反证法来证明本题,令我们不妨假设，对于构造的辅助函数及(其中是中任意固定的一点),与两次利用柯西中值定理,可得:，其中介于与之间(即或),为上任意点,特别地,在上式中取,并利用已知条件,则有:;其中满足,于是 ，同理再取,并利用已知条件则得:;其中满足；于是: 因此；这是不可能的.所以在区间内至少存在一点,使得 ； . 例4设，证明. 分析：原不等式可等价于，可看出不等式左边可看成是函数与与在区间上的改变量的商，故可用柯西中值定理证明。证明：原不等式等价于，可构造函数,因，均在上连续，在上可导，且,由于，则所以，在上满足柯西中值条件，于是存在，使得，又因,有，得到因此；即 2.利用函数的单调性证明不等式2.1证明方法与证明依据 通常要证明：，,往往改作证明 如果就先证明它 ,由此断定如果 的符号不易确定，可以试探是否 ,理由和前面一样。此类方法根据可导函数的一阶导数的符号与函数单调性关系的定理来解决问题。定理 1设函数在 连续，在内可导 ，如果在内 （或），那么函数 在 上单调增加（或单调减少）。 此定理反映了可导函数一阶导数的符号与函数单调性之间的关系 ，因此可以利用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性 ,利用导数来判断函数的增减性往往比用定义判断函数的增减性方便。证明方法有： 构造辅助函数，取定闭区间； 研究在 上的单调性，从而证明不等式。2.2适用范围与做辅助函数的方法利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处的值为0，然后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性。 构造辅助函数的方法灵活多变，不同的知识段有着不同的技巧和方法，用函数单调性证明不等式常用的方法有： (1)用不等式两边“求差”构造辅助函数。 (2)用不等式两边适当“求商”构造辅助函数。 (3)根据不等式两边结构，构造“形似”辅助函数。 (4)如果不等式中涉及到幂指函数形式，则可通过取对数将其化为易于证明的形式，再根据具体情况由以上所列方法构造辅助函数。 利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导，对所构造的辅助函数应在某闭区间内 连续，开区间内可导，然后通过在开区间内的符号判断在闭区间上的单调性，根据单调性来解决不等式问题。例1设证明不等式； 证明：（1）令，,因为；的符号不易确定，有当时符号不易确定。令，则，且与同号。因为，则为单减，当时，于是：，从而为单减函数，则有，于是为单减函数则，即； 所以，证明是递增函数（这可由一阶导数 来判断，为了达到这一点，有时也常用更高阶的导数来说明）。由于 ,，则在上有，一般地，设 为定义在上的函数，若为上递增（减）函数，则在上有 同样对于上递增（减）函数 ，则有。这种方法不妨称为单调性方法。当一阶导数的符号不易确定时利用二阶导数来判定一阶导数的符号，从而判定函数的单调性，此时函数的一阶导数看成函数来处理，方法与前面的一样。3.利用最值判别法证明不等式 欲证，（或）作辅助函数，只要证明（或），而对于的最大值和最小值显然有，欲使，只要；欲使只要证。 例1证明不等式，；证明：令，则 ;，在上单减，且。，故存在唯一零点，又，则是最大值点，于是最小值点只能出现在区间的端点处，而，则最小值点且，即原不等式立。 因此，证明 为 在上的最小（最大值）点，这可由 的一阶或二阶导数来判断，则在上有 ，（）这种证明不等式的方法不妨称为极值方法，由上可见，单调性方法也可以说极值点在区间端点时的极值方法。 4利用函数的凸凹性证明不等式 函数的凹凸性定理反映了二阶可导函数的二阶导数符号与凹凸函数之间的关系。将不等式写成定义的形式构造辅助函数，并讨论 在所给区间上的凹凸性从而得证。4.1证明依据定理;设函数定义在上，若对，总有则称在上的凸（凹）函数。4.2适用范围当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式。 例1设在 a, b上，证明：。 证明：由知在 a, b上下凸函数，故，有其中于是 所以，应用函数的凸性定义（这可由 的二阶导数来判定）。当 为凸（凹）函有 ： 这里及 的取值可根据所证明的问题而定，这种证明不等式的方法不妨称为凸性方法。进一步说运用詹禁不等式证明不等式也属于这一类型证明方法。 这里詹禁（Jensen）不等式：若为上凸函数，则有 例2已知且，求证：；证明：有，则；（1） 当时，因为是的凸函数，于是由凸函数的定义有： ；当且仅当是上式等式成立。(2) 当时由平均不等式，有 当且仅当时，上式等号成立。综合（1），（2）可知所证不等式成立。5.利用Taylor公式证明不等式5.1证明思路与证明方法如果函数的二阶和二阶以上导数存在且有界利用Taylor公式证明这些不等式证题思路； 写出比最高阶导数低一阶的Taylor展开式 。 恰当选择等式两边 与 。 根据最高阶数的大小或界对展开式进行放缩。Taylor公式揭示了多项式与函数之间的关系。证明方法有：根据已知条件围绕证明目标 选取恰当的点将函数在该点展成Taylor展式。根据已知条件 向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理直到可以（结合已知条件证出不等式为止注意具体的题目应用此方法时要灵活运用 有些题目在进行前要先对已知条件或证明目标进行适当的转化）以更有利于证明的进行，使不过于繁琐。5.2适用范围对于所给条件涉及到具有二阶或更高阶导数的不等式，特别是已知最高阶导数的取值范围时，可考虑借助于函数的Taylor公式来估计有关的量，从而证明不等式 应用Taylor公式的关键是确定关于哪一点求函数的展开式，进而通过对余项的估计来推出所需证明的不等式。含有抽象函数的不等式常用Taylor公式证明。 例1设函数在上二阶可导,且,。求证:对任意的,有。 证明: 对任意的,将在点展开。 (其中介于与之间)。注意到,所以有。对上述不等式的两边对积分,得: 因为 所以； 值得说明的是Taylor公式有时要结合其它知识一起使用如当所要证明的不等式中含有积分号时一般利用定积分的性质结合使用Taylor公式等进行证明 当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合式时不妨作一个辅助函数并用Taylor公式代替 往往使证明方便简捷 Taylor公式巧妙 合理灵活地应用 可解决一些其它方法较难解决的问题。例2设在上有二阶连续导数，且，在上最小值为.证明：必存在，使得。 证明：因为，且在上最小值为，所以的最小值必在内取得，不妨设为，.又因为在点处取得最小值，且在处可导，所以.用Taylor公式，在处展开得：整理得：，其中：介于和之间.令，则，即。再令，则，故 .当时，；当时，取，则必有，。注：含有抽象函数且涉及到高阶导数的不等式必用Taylor公式证明 ，含有具体函数的不等式可用别的方法可证。6. 用定积分理论来证明不等式6.1.证明依据与证明方法定积分性质之一：设与为定义在上的两格可积函数，若,则。微积分学基本定理：若函数在上连续，则由变动上限积分，定义的函数在上可导，而且。也就是说，函数是被积函数在上的一个原函数。证明方法有：利用定积分的性质证明不等式法：对可积函数，先证出，然后由定积分的性质可证；构造变上限辅助函数证明不等式法：对于含有定积分的不等式，可把常数变为变数构造辅助函数，利用变上限积分及函数的单调性解决此类不等式。6.2适用范围当不等式含有定积分（或被积函数时），可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明. 例1：试证 分析：此题主要可用定积分的性质处理，因为定积分的保不等号性；若函数和在区间上可积，且对，有，则由此只需证 证明：由定积分的保不等号性，只需证当时，因，所以，即，且，上是增函数，所以。即，因而时，结论成立。7.常数变易法此方法常用数值型不等式，这种方法中把常数变成自变量之后利用上述的几种方法证明不等式。此种方法还可以用两个数值（与）的大小。这种不等式主要有两种：两边的函数一样，数值不一样：这种不等式的作辅助函数的方法是：把两边一样的函数拿来然后常数设成自变量比如：证明时我们要设的辅助函数是：不等式两边的函数不一样:这样的情形下作辅助函数的方法是两边作差，然后把常数设成自变量。 例1设，证明不等式，；证明：先证右端，只要证：，令；则。于是单减，故，即。欲正左端，只要证：；令则于是单调递增，即，。总结在这篇文章中主要讲在高等数学中的常见不等式的证明几种方法，在每种方法中具体地给出了证明的数学依据，证明方法，适用范围，与作辅助函数的的方法与步骤，除此之外每一种方法为了灵活使用跟实例结合来证明理论。证明思想中为了大家明确地决定证明方向主要讲了证明的大体方向与证明思想。证明数学依据中给出了证明过程中主要用的定理与理论。证明方法中为了大家证明过程中不迷路给出了证明步骤与细节。大家拿到一道证明题时最怕的是不知道怎么入手，不知道用那个方法，所以便于明确挑选证明方法给出了适用范围。为了解决作辅助函数的烦恼细细得讲作辅助函数的方法与步骤。这篇论文中所讲的方法只能用到高等数学中的不等式的证明，不适合证明中学不等式。这篇论文给大家只指出了证明不等式大体方向与细节，大家证明不等式时证明决策（直接法，反证法，归纳法等）还是大家自己来决定。致谢 这次本科学位论文完成之际，首先要感谢我的导师买买提热依木老师。买买提热依木老师从一开始的论文方向的选定，到最后的整篇文论的完成，都非常耐心的对我进行指导。给我提供了大量数据资料和建议，告诉我应该注意的细节问题，细心的给我指出错误。他对数学分析研究和对该课题深刻的见解，使我受益匪浅。买买提热依木老师诲人不倦的工作作风，一丝不苟的工作态度，严肃认真的治学风格给我留下深刻的影响，值得我永远学习。在此，谨向导师买买提热依木老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！参考文献1华东师范大学数学系.数学分析M.北京:高等教育出版社,2001.2裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,1994.3刘玉莲.数学分析讲义M.北京:高等教育出版社,1999.4林丽绿.利用微分中值定理证明不等式J.泉州师专学报,1997,第一卷.5赵文祥.微分中值定理与不等式J.天津电大学报,2007,增刊.6孙学敏.微分中值定理的应用J.数学教学研究,2008,第28卷第10期.