新课程数学必修5教案《数列的概念与简单表示法》（二）.doc

第二章 数列§2.1数列的概念与简单表示法（第二课时）【创设情景 引入新知】 既然数列是一类特殊的函数，那么数列是否像一般函数那样可以用图象、列表等方法来表示呢？【探索问题 形成概念】复习回顾1.数列的相关定义及分类. 2.写出以下数列的通项公式： 2，4，6，8，10，12， 这是一个由全体正偶数按从小到大的顺序构成数列，因此，其通项公式为：.O 1 2 3 4 5 6 7图象是一些点246810 与函数一样，数列2，4，6，8，10，12，也可以用图象、列表等方法来表示,如下表和下图. 可以看出数列的图像是一系列孤立的点. 想一想 数列的表示方法有哪些？ 列表法（自变量的取值有规律性）图象法（数列的图象是一系列孤立的点）通项公式法（解析法） 数列的表示方法 【例题】如下图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.【思路】分清着色三角形个数与序号的关系，找出其中的数量关系，并联想可能的函数表示.【解答】这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1，3，9，27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是. 将此数列用图象法表示如图2.16.【反思】这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,然后在通过归纳给出这个数列的通项公式. 思考 除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？ 观察以下数列，并写出其通项公式：（1）1，3，5，7，9，11，（2）3，9，27，81，【分析】 从第2项起每一项等于它的前一项加2，即. 从第2项起每一项等于它的前一项乘3，即.像这样给出数列的方法叫做递推法.递推公式定义：已知数列的第一项(或前几项),且任一项与它前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式. 如何理解数列的递推公式呢？ 递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推关系逐一写出数列中的项. 1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系; 2.由通项公式可以求出数列中的每一项； 3.递推公式也是给出数列的一种方法.探究所有的数列都有递推公式吗？一个数列的递推公式的表示形式唯一吗？请举例说明. 与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有数列都有递推公式.如精确到的近似值构成的数列，无法写出其递推公式.有些数列即使有它的公式，也不一定唯一.如数列为正偶数组成的数列，其它的公式有：，而也是它的递推公式.【例题】已知数列的首项,且,写出这个数列的前项.【思路】根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可【解答】由题意可知【反思】解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何根据数列的递推公式求出其通项公式运用递推公式给出的数列，可以揭示出数列的一些性质，但不容易了解数列的全貌，同时计算数列的项也不方便，因此我们经常利用它求出通项公式，再以此研究数列的性质.一般情况下我们可根据数列的递推公式写出这个数列的前几项，继而结合前几项的特征猜想出它的一个通项公式，有时也可以通过递推公式直接递推出数列的通项公式.【例题】已知， ，试写出数列的通项公式.【思路】思路一：先求出数列的前几项，然后归纳猜想出其通项公式；思路二：将递推公式变形为，依此对n取值，得到n-1个等式两端分别相乘即可得到通项公式.【解答】解法一： ，观察可得 解法二：由 即 【反思】解法一利用了数列的前三项，归纳猜想出了数列的通项公式，这种推理方式为不完全归纳法；解法二直接利用递推公式推导出了数列的通项公式，是一种严格的推理方式.【小结归纳 自主建构】 这节课我们学习了:（1）数列的表示法；（2）递推公式的概念；（3）递推公式与数列的通项公式的区别是：a.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.b.对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,2, 3, 4,即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可依次求出其他项.数列列数列概念数列的表示数列分类列举法图象法通项公式递推公式 【反馈学习，查缺补漏】 通过本节课的学习我们掌握了数列的四种表示方法-列表法、图像法、通项公式法、递推公式法，并明确了数列与函数的关系. 下一节课，我们要学习一种特殊的数列-等差数列，请大家预习课时详解第十一课时，并思考下列问题：什么样的数列是等差数列？如何推导出等差数列的通项公式？ 本课后收集有关数列递推公式的资料并阅读。【阅读延伸，开阔视野】有趣的斐波那契数列斐波那契数列在数学理论上有许多有趣的性质，不可思议的是在自然界中也存在着这个性质，似乎完全没有秩序的植物的纸条彼此相隔的距离或叶子的生长凡是，都被斐波那契数列支持着。1、斐波那契数列与花朵的花瓣数花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣树木是由F1=13和F2=144合成的。2、斐波那契数列与仙人掌的结构在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片厚度和一系列控制仙人掌情况的各种因素，并将所得数据输入电脑，结果发现仙人掌的Fibonacci数列结构特征能让仙人掌最大限度地减少能量消耗，适应其在干旱沙漠的生长环境。3、斐波那契数列与向日葵种子排列方式向日葵种子的排列方式，就是一种典型的数学模式。仔细观察向日葵花盘，你就会发现两组螺旋线，一组顺时针方向盘旋，另一组则逆时针方向盘旋，并且彼此相嵌。虽然不同的向日葵品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，这每组数字就是Fibonacci数列中相邻的两个数。前一个数字是顺时针盘旋的线数，后一个数字是逆时针盘旋的线数。4、斐波那契数列与台阶问题只有一个台阶时，只有一种走法，F1=1两个台阶，走法有2种，一阶一阶或者一步上两个台阶，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（，2，2），共5种方法，故F4=5以此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，.斐波那契与自然、生活、科学上的联系其实还有很多，但是仅仅从这几个例子上我们就可以看出斐波那契数列的应用的广泛性，由此我们可以看到数学的美其实是无处不在的它是一门科学，同时也是一种语言，一种艺术，它如同盛开的茉莉，洁白淡雅，总而言之，数学与自然、生活相伴相随，共同发展。5、斐波那契数列与蜜蜂的家谱蜜蜂的“家谱”：蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后所产的卵，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化为雄蜂。人们在追溯雄蜂的家谱时，发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是Fibonacci数列的第n项fn。6、斐波那契数列的其他应用菠萝果实上的菱形鳞片，一行行排列起来， 8行向左倾斜，13行向右倾斜；挪威云杉的球果在一个方向上有3行鳞片，在另一个方向上有5行鳞片；常见的落叶松是一种针叶树，其松果上的鳞片在两个方向上各排成5行和8行；美国松的松果鳞片则在两个方向上各排成3行和5行。课时作业【教材作业】习题2.1 A组4. 【解答】【基础】【容易】【数列的递推公式】【思路】由递推公式分别取n=1,2,3,4,5即可得到数列的前五项.【反思】利用递推关系求数列的项，必须由初始项（可能是一项，也可能是两项等）递推下一项，依次类推.5.【解答】【基础】【容易】【数列的通项公式】【思路】（1）观察点数规律，可知从第二项起每一项都等于它前一项加5；(2)观察点数规律，可知从第二项起每一项都等于它前一项加3；(3)观察点数规律，可知,所以第四项为所以第五项为，所以第n项为.【解答】（1）16,21；.（2）10,13；.（3）24,35；.【反思】解决此类问题可以从两个方面入手，一是观察图形的特点发现图形特征和规律，二是从观察数列特征入手进行解决.6. 【解答】【基础】【容易】【数列的递推公式】【思路】观察三角形数的图形规律：1，3=1+2,6=3+3,10=6+4，因此后面的项依次为10+5=15,15+6=21,21+7=28，从而得到递推公式.【解答】【反思】本题重点是观察前后两项的关系（差）.B组1.【解答】【提升】【较难】【数列的通项公式】【思路】观察图形规律为第一个正方形块中着色正方形个数为1，第二个正方形块中着色正方形个数为第一个正方形块中着色正方形个数的8倍加1，第三个正方形块中着色正方形个数为第二个正方形块中着色正方形个数的8倍加1，依次类推，可以得到第n个正方形块中着色正方形个数的递推公式，进而推导出数列的通项公式.【解答】【反思】除了要观察相邻两个图形的涂色正方形的个数外，还要注意从整体上去认识图形规律.2. 【解答】【提升】【中档】【数列的实际应用问题】【思路】逐项求解，归纳猜想出第n年的存款余额。【解答】【反思】本题将数列与银行存款的实际问题结合起来，凸显数列与实际生活的密切联系.3.【解答】【提升】【中档】【数列的递推公式】【思路】令n=3，结合第一项和第二项可得第三项，令n=4，结合第二项和第三项可得第四项，依次类推可得其余各项.【解答】(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故数列an的前5项依次为a11，a22，a33，a45，a58. (2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故b1，b2，b3，b4.【反思】数列是通过递推关系给出的，由相邻的两项推出下一项，数列是由数列生成的，注意数列任意相邻的两项的乘积等于1的特点.【补充作业】1.【选择】【基础】【容易】【递推公式的应用】已知数列an中，a11，an2an11(n2)，则a5()A7 B15 C20 D31【思路】利用递推公式，由求出，由求出，再由求出，由求出.【解答】a11，an2an11，a23，a37，a415.a52×a412×15131.故选择答案为D.【反思】在利用递推公式求数列的某一项时，如果该项的序号较大，可以根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，进而得到该项.2.【选择】【巩固】【中档】【求数列的递推公式】数列1,3,6,10,15，的递推公式可以是()A. B.C. D.【思路】可以从选择支入手逐一进行验证.【解答】由选项A得数列1,2,4,7，；由选项B得数列1,3,6,10,15，；由选项C无法得到a2，数列不确定；由选项D出现a0无意义故选择答案为B.【反思】本题也可以直接得到数列的递推公式，观察给出的几项：3-1=2,6-3=3,10-6=4,15-10=5，即可得到答案为B.3.【选择】【提升】【中档】【通项公式的求法】下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图有化学键()A6n个 B4n2个 C5n1个 D5n1个【思路】图形在的化学键的个数依次为5+1,10+1,15+1，由此归纳出通项公式.【解答】每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n个结构简图有5n1个化学键【反思】作为选择题还可以利用验证排除法，n=1时化学键有6个，故排除答案C；n=2时化学键有11个，故排除答案A和B，故答案为D.4.【选择】【提升】【较难】【递推公式的应用】已知数列un满足u1a(a为正数)，un1，n1,2,3，.问n取下列哪个值时，una.A14B15 C16 D17【思路】依次得到数列的前几项，然后仔细观察，寻找规律.【解答】由已知可得u1a，u2，u3，u4a，依此类推可得u3k1u1a(kN)，而u16u3×51u1a.【反思】本题通过数列的前几项归纳出其周期性，利用周期性求解.5.【填空】【提升】【较难】【通项公式的求法】(教材习题改编)下列关于星星的图案个数构成一个数列，该数列的第7项是_【思路】图案中星星的个数依次为1,3,6,10，寻找规律进行求解.【解答】星星个数的规律为：1，1+2,3+3，6+4,10+5,15+6,21+7=28，所以第七项为28.【反思】本题主要利用了相邻两项的差的规律进行递推.6. 【解答】【巩固】【中档】【递推公式的应用】根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 0, (2n1) (nN)；(2) 1, (nN)；(3) 3, 32 (nN).【思路】先分别取n=2,3,4,5,得到数列的前五项，再归纳出其通项公式.【解答】(1) 0, 1, 4, 9, 16, (n1);(2) 1, , , ;(3) 31+2, 71+2, 191+2, 551+2, 1631+2, 12·3;【反思】在根据数列的前几项归纳通项公式时常常对各项的数字进行分割变形，以发现各项之间的数字与序号之间的关系，得到通项公式.7.【解答】【巩固】【中档】【递推公式的应用】在数列an中，已知a12，a23，an23an12an(n1)，写出此数列的前6项【思路】对递推公式中的n分别取n=3,4,5,6即可得到数列的前6项.【解答】a12，a23，a33a22a13×32×25，a43a32a23×52×39，a53a42a33×92×517，a63a52a43×172×933.【反思】本题所给出的递推公式中涉及到数列中连续的三项，所以必须由连续的两项才可以推出下一项.8.【解答】【巩固】【中档】【递推公式的应用】已知数列中a11，a2，(nN*，n3)，求an.【思路】先求出数列的前几项，再归纳出通项公式.【解答】由a11，a2且，知当n3时，312，当n4时，4，由此可得故，所以.【反思】本题首先抓住了中前几项的特征，得到，进而得到，值得借鉴.【预习作业】 下一节课，我们要学习一种特殊的数列-等差数列，请大家预习课时详解第十一课时，并思考下列问题：什么样的数列是等差数列？如何推导出等差数列的通项公式？【答案】一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.利用归纳法推导出等差数列的通项公式.