新课标全国卷历高考立体几何真题(含答案).doc
新课标全国卷历年高考立体几何真题（含答案）班别： _ 姓名：_题号1234567891011总分得分1.（2011年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB=60°，AB=2AD，PD底面ABCD.()证明：PABD； ()若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值. 2.（2012年全国卷）如图，直三棱柱中，是棱的中点，.（）证明：；（）求二面角的大小. 3.（2013年全国卷）如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=AB.（）证明：BC1/平面A1CD， （）求二面角D-A1C-E的正弦值 4.（2013年全国卷）如图，三棱柱中，.（）证明；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值. 5.（2014年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.()证明:PB平面AEC；()设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积. 6.（2014年全国卷）如图三棱柱中，侧面为菱形，.（） 证明：；（）若，AB=BC，求二面角的余弦值. 7.（2015年全国卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.()在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；()求直线AF与平面所成角的正弦值. 8.（2015年全国卷）如图，四边形ABCD为菱形，ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF，AEEC.()证明:平面AEC平面AFC；()求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 9.（2016年全国卷）如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面； （）求二面角的正弦值 10. （2016年全国卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，且二面角DAFE与二面角CBEF都是（I）证明：平面ABEF平面EFDC；（II）求二面角EBCA的余弦值 11.（2016年全国3卷）如图，四棱锥中，底面面，为线段上一点，为的中点（I）证明平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值. 自我总结：新课标全国卷历年高考例题几何真题（广西多用2卷）1.解：（）因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD 所以BD 平面PAD. 故 PABD（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴射线DB为y轴的正半轴，射线DP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-，则,.设平面PAB的法向量为=（x,y,z），则,即 因此可取= 设平面PBC的法向量为，则可取=（0，-1，）， 故二面角A-PB-C的余弦值为 .2.证明（）（1）在中，得：，同理：，得：又平面.（）（2）平面 取的中点，过点作于点，连接， ，C1OA1D 面 得：点与点重合 ， 即是二面角的平面角 设，则， 即二面角的大小为.3.（1）连接，交于点F，连结，则F为的中点，因为D为AB的中点，所以DF/，又因为，所以.(2)由AA，可设：AB2a,则所以，又因为ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系如图.则C（0,0,0）、，设平面的法向量为则且可解得令得平面的一个法向量为，同理可得平面的一个法向量为，则，所以所以二面角的正弦值为4.【解析】（）取的中点，连结，.因为，所以.由于，故为等边三角形，所以.因为，所以面.又平面，故.（）由（）知，又平面平面，交线为，所以平面，故，两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则有，,.则， ， .设平面的法向量为，则有，即，可取.故，所以直线与平面所成角的正弦值为.5.【解析】(1) 连接BD交AC于点为G,连接EG.在三角形PBD中,中位线EGPB,且EG在平面AEC上，所以PB平面AEC.(2)设CD=m,分别以AD,AB,AP为x,y,z轴建立坐标系,则A(0,0,0),D(,0,0),E,C(,m,0).所以=(,0,0), =,=.设平面ADE的法向量为=(x1,y1,z1),则=0, =0,解得一个=(0,1,0).同理设平面ACE的法向量为=(x2,y2,z2),则=0, =0,解得一个=(m,- ,-m).因为cos=|cos<>|=,解得m=.设F为AD的中点,则PAEF,且PA=,EF面ACD,即为三棱锥E-ACD的高.所以VE-ACD=·SACD·EF=××××=.所以,三棱锥E-ACD的体积为.6解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，侧面BB1C1C为菱形，BC1B1C，且O为BC1和B1C的中点，又ABB1C，B1C平面ABO，AO平面ABO，B1CAO，又B1O=CO，AC=AB1，（2）ACAB1，且O为B1C的中点，AO=CO，又AB=BC，BOABOC，OAOB，OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，CBB1=60°，CBB1为正三角形，又AB=BC，A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，0），C（0，0）=（0，），=（1，0，），=（1，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，），cos，=，二面角AA1B1C1的余弦值为7.【解析】(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EM=AA1=8.因为四边形EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=6,所以AH=10.以D为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),=(10,0,0),=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量,则,.所以可取，又，故.所以与平面所成的角的正弦值.8.【解析】(1)连结BD,设BDAC=G,连结EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由ABC=120°,可得AG=GC=.由BE平面ABCD,AB=BC可知AE=EC.又AEEC,所以EG=,且EGAC.在RtEBG中,可得BE=,故DF=.在RtFDG中,可得FG=.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=,DF=,可得EF=.从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.,又ACFG=G,可得EG平面AFC.又因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.(2)如图,以G为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴正方向,|为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得,，所以,. 故.所以直线与直线所成角的余弦值为9.【解析】为正方形 面面 平面平面由知 平面 平面平面 平面面面 , 四边形为等腰梯形以为原点，如图建立坐标系，设 ，设面法向量为.，即， 设面法向量为 .即，设二面角的大小为. 二面角的余弦值为10.【解析】证明：，四边形为菱形，；又，又，面建立如图坐标系，设面法向量，由得，取，同理可得面的法向量， 11.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.
