数学与应用数学毕业论文圆锥曲线切线的几个性质及其应用探究.doc

曲靖师范学院本科生毕业论文论文题目：圆锥曲线切线的几个性质及其应用探究作者、学号：学院、年级：数学与信息科学学院 2006级学科、专业：数学 数学与应用数学指 导 教 师： 完 成 日 期：2010年5月26日曲靖师范学院教务处曲靖师范学院 本论文（设计）经答辩小组全体成员审查，确认符合曲靖师范学院本科(学士学位)毕业论文（设计）质量要求。 答辩小组签名主席 姓 名工 作 单 位 职 称曲靖师范学院数学与信息科学学院副教授成员曲靖师范学院数学与信息科学学院教授曲靖师范学院数学与信息科学学院副教授曲靖师范学院数学与信息科学学院讲 师曲靖师范学院数学与信息科学学院助 教 答辩日期：2010年5月26日原创性声明本人声明：所呈交的论文（设计）是本人在指导教师指导下进行的研究工作成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文（设计）中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所作的任何贡献已在论文（设计）中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期： 2010年5月26日 。论文（设计）使用授权说明本论文（设计）作者完全了解曲靖师范学院有关保留、使用毕业(学位)论文（设计）的规定，即学校有权保留论文（设计）及送交论文（设计）复印件，允许论文（设计）被查阅和借阅；学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。签名： 指导教师签名： 日期： 2010年5月26日。圆锥曲线切线的几个性质及其应用探究摘 要在初等数学中，圆锥曲线主要指：椭圆、双曲线、抛物线.它是平面解析几何的核心内容，又是高中数学的重点和难点，因而成为高考中必不可少的考查内容.圆锥曲线的主要内容之一是圆锥曲线切线的相关问题.学生在求解和证明圆锥曲线切线的相关问题时往往感到力不从心，甚至不知如何下手，还有部分学生因为计算量大的繁琐，产生厌学数学情绪.为了解除这种困境，培养学生对数学学习的兴趣，在全日制高中数学教材和大纲要求的基础上，本毕业论文结合一些与圆锥曲线切线相关的高考题来分析和推导得出有关圆锥曲线切线的几个性质并加以应用,希望使学生对圆锥曲线切线有一个深刻的认识，从而开阔学生解题思路，提高学生运用这些性质去解答相关问题和综合运用知识的能力.关键词：圆锥曲线；切线；切线方程；切线性质；应用Inquiry into Some Tangential Properties of Conic Sectionand Its ApplicationAbstract: In elementary mathematic, conic section mainly refers to: ellipse, hyperbola, parabola. It is not only the core of plane analytic geometry, but a important and difficult knowledge in high school maths, and thus become an essential content in college entrance test. Conic tangent is One of the main contents of conic section. Students feel powerless when they slove issues related to conic tangent, and they have nothing to do but compromise. A large number of students are tired of learning because of large and complicated calculation. It is important to cultivate students interest to maths study. The thesis is based on high school maths and outline requirement , and combined some conic tangent to analyze issues related to college entrance and derivation .Aiming at making students have a deep understanding of conic tangent ,and thus broaden their problem-solving approaches and improve their ability to slove related problem and the comprehensive application of knowledge as well.Keywords: conic section; tangent; tangent equation; tangent nature; application目 录1 引言12 文献综述12.1 国内外研究现状12.2 国内外研究现状评价12.3 提出问题23 相关概念与理论介绍23.1 圆锥曲线切线的定义23.2 圆锥曲线切线的方程23.3 圆锥曲线切点弦33.4 圆锥曲线焦点弦44 圆锥曲线切线的性质及其应用探讨45 结论195.1 主要发现195.2 启示195.3 局限性205.4 努力方向20参考文献211 引言圆锥曲线是高中平面解析几何的核心内容，也是整个高中数学中的重要内容，因而成为高考中必不可少的考查内容. 圆锥曲线都是由平面截圆锥而形成，因此它们有共同的优美性质1.在教学中探求其共性，深化对圆锥曲线的认识，提高学生的学习兴趣、培养学生探究能力有着重要的意义.圆锥曲线的重要内容之一是圆锥曲线切线的相关问题.课本中虽然没有对该类问题进行深入探讨,但在考试中却常常出现与圆锥曲线切线相关的题目，而且学生在求解和证明圆锥曲线切线相关的题目时往往感到力不从心，甚至不知从何下手，还有部分学生因为计算机量大的繁琐，产生厌学数学情绪.为了解除这种困境，培养学生学习数学的兴趣和逻辑推理能力，让学生掌握一定的解题方法、思路和相关的数学思想，本毕业论文结合高中数学课程的要求2，对圆锥曲线切线进行研究和探讨，得出有关圆锥曲线切线的几个性质并加以应用，以此来开阔学生解题思路，使学生对该类题目求解有一定的知识基础，提高学生运用这些性质去解决相关问题的综合能力.2 文献综述2.1国内外研究现状从目前参考到的文献资料中所了解的信息看，对圆锥曲线切线的性质，近几年研究者们从各自的角度出发，进行了一定的探讨，得到一系列结果.比如：在圆锥曲线的一个性质的证明与推广一文3中张留杰得出了准线上任意一点与焦点弦的两端点、焦点弦所在直线的斜率之间的关系的性质；在圆锥曲线切点弦的一个性质一文4中周伟林得出了圆锥曲线切点弦的共通性质；在圆锥曲线的一个几何特征一文5中黄继创得出了圆锥曲线的切线、对称轴以及顶点在圆锥曲线上的三角形的内在性质；在圆的重要性质在圆锥曲线上的推广一文6中吴翔雁得出了切线长的性质；在圆锥曲线的一个性质一文7中张家瑞得出了切线、割线间的关系的性质；在圆锥曲线的一个性质及应用一文8中潘德党得出了圆锥曲线的焦点、准线与切线三者间的位置关系的性质及应用；在高中几何学习指导一文9中李铭祺得出了切线长相等的性质等等.2.2国内外研究现状评价综上所述，目前国内外对圆锥曲线切线的性质研究是比较多的，但是就所查阅到的多数研究者的结果来看，他们对圆锥曲线切线的性质的研究大都只给出抽象性质和证明,很少给出性质的相关应用.因此，实际处理具体问题时学生难于掌握，初学者要理解和灵活运用这些性质去解决实际问题就非常困难.2.3提出问题针对国内外研究现状，为了让初学者容易理解和掌握圆锥曲线切线的性质,并能提高应用相关性质去解决实际问题的能力，本毕业论文探讨了从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线以及割线、引一条切线和过该点的法线的相关性质，并加以应用,希望让初学者能更深刻的认识圆锥曲线切线的性质,找到解决问题的切入点. 3 相关概念与理论介绍3.1圆锥曲线切线的定义设直线与圆锥曲线相交于、两点（对于双曲线、在同一支上），将直线绕点旋转，使点逐渐靠近点，当转到直线的位置时，点与重合，这时直线叫做圆锥曲线在点的切线，叫做切点.经过点与切线垂直的直线叫做圆锥曲线在点的法线10.以抛物线为例，作图1如下：0Q图1 3.2圆锥曲线的切线方程（1）过圆锥曲线上一点的切线方程容易得到，过圆锥曲线上一点的切线方程如下：经过椭圆 上一点的切线方程为:；经过双曲线、上一点的切线方程分别为:、；经过抛物线、的切线方程分别为:、 .所以经过圆锥曲线上一点的切线方程，就是把圆锥曲线方程中的和分别为换为和,和分别换为和，即“替换法则”.（2）定斜率的切线方程容易证明，对于定斜率圆锥曲线的切线方程如下：斜率为k，并且和椭圆相切的切线方程为:(不问的大小)；斜率为k，并且和双曲线、相切的切线方程分别为:()、()；斜率为k，并且和抛物线、相切的切线方程分别为:（k）、.3.3圆锥曲线切点弦从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线（如果存在），那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦11.圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线，求经过两切点的切点弦方程同样可用和分别换为和,换成,换成的“替换法则”去求它，即12：经过椭圆 上一点的切点弦方程为:；经过双曲线、上一点的切点弦方程分别为:,； 经过抛物线、上一点的切点弦方程分别为:,.3.4圆锥曲线焦点弦如果经过焦点的直线和圆锥曲线相交于两点，那么经过这两交点的圆锥曲线的弦叫做焦点弦134 圆锥曲线切线的性质及其应用探讨圆锥曲线有许多共同的优美性质14.下面我们探讨圆锥曲线的几个简单性质，并给出应用例子，希望这些性质及其应用能有助于初学者对圆锥曲线切线有所了解，从而有效解决相关问题.性质1：在圆锥曲线的准线（相应准线）上任取一点，经过点引圆锥曲线的两条切线、，其中、为切点，则切点弦经过焦点（相应焦点）且垂直于.证明：首先看椭圆的情形.如图2，设椭圆的方程为（）,在左准线上任取一点，经过点所引两条切线、，其中、为切点，则切点弦的方程为： .又左焦点满足切点弦的方程，所以点在这条直线上，即切点弦过焦点又因为 ,所以有即垂直同理可证在右准线上的点引椭圆的两条切线，的切点弦经过右焦点且垂直. 图2图3图2 同理可证对双曲线和，性质1也成立.下面看抛物线的情形.如图3，设抛物线的方程为，在其准线上任取一点，则经过点引两切线，其中、为切点，则切点弦的方程为：.又因为抛物线的焦点为，满足切点弦的方程，所以切点弦经过焦点.又 , ， 所以有 即垂直. 同理可证对于抛物线和，性质1也成立.推论：在圆锥曲线上经过焦点弦两端点的切线的交点落在（相应）准线上.证明：先看椭圆的情形.设经过椭圆（0）的焦点弦的两端点、的两条切线相交于，则直线的方程为.又因为焦点的坐标满足切点弦方程，即 ，故点落在圆锥曲线的准线上.同理可证对于双曲线、抛物线推论也成立.下面举例说明性质1及推论的应用.例114：（2006年全国高考题（）理第21题）已知抛物线的焦点为，、是抛物线上的两个动点，且(0)，过、两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）证明为定值；（2）设的面积为，写出的表达式并求的最小值.解法一:详见2006年全国高考题（）理第21题数学试题卷(理科类)答案.解法二：（1）、三点共线.即直线经过抛物线的焦点.由性质1知 .即.为定值0.（2）直线经过抛物线的焦点 两切线的交点在准线上 为定值且要求的最小值，需求的最小值当且仅当在轴上时，即时，取得最小值的最小值为4.说明：（1）由性质1的结论知，本题中的事实上在准线上且，这样此题便可迎刃而解.（2）由推论知在准线上，当且仅当在轴上，即时,取得最小值.这样来解答相对较简单，节约解题时间.例215:（2006年重庆高考试题文科22题）如图4,对每一个正整数,是抛物线上的点,过焦点的直线交抛物线于另一点.(1)试证: (1);(2)取,并记为抛物线上分别以与为切点的两切线的交点.试证: .下面主要看第二问的解答.0解法一:详见2006年全国统一考试(重庆卷)数学试题卷(文科类)答案.图4解法二:(1)略.(2) ,则的坐标为，所以过的直线的斜率.设，则直线的方程为:.由性质1推论知, 与的交点在相应准线上.把代入直线方程解得.故有,又.说明：此解法优点在于,利用圆锥曲线切线性质求出两切线交点坐标,可大大减少运算量，减少运算时间.由推论知当直线过焦点并与圆锥曲线交于、两点，则经过、的两切线的交点落在相应的准线上；那么对于任一点任作直线与圆锥曲线交于、两点,经过、的两切线的交点是否也落在某一固定的直线上呢？为此通过证明得出性质2.性质2：过圆锥曲线外任一点作直线，交圆锥曲线于、两点,若圆锥曲线在点、处切线的交点为，则点在一定直线上.证明：首先来看椭圆的情形.设椭圆的方程为 (),过椭圆外一点任作直线交椭圆于M、N两点,椭圆在点M、N处切线的交点为.设、 ,则两切线的方程分别为: :，:.可解得交点的坐标为： ， .设过点的直线的方程为,则, .于是，.所以,.消去,得.所以点在定直线上.说明:（1）当点在椭圆内部时,任作直线与椭圆都有两个交点,此时轨迹为直线.(2）当点在椭圆外部时,要使过点的直线与椭圆有两个交点,则斜率受到限制.同理可证双曲线对性质2也成立.设双曲线方程为 (0，),过双曲线外一点任作直线交双曲线于M、N两点,双曲线在点M、N处切线的交点为,则点在定直线上.说明：当点在无穷远处时,过点任作直线即为一族平行直线.此时问题变为:斜率为k一组平行直线交圆锥曲线于M、N两点,过M、N两点的切线的交点在一定直线上.下面看抛物线的情形.已知抛物线，过抛物线外一点任作直线与交抛物线于M、N两点,曲线在点M、N处的切线交点为.设、 ,则两切线的方程分别为: :,:.可解得交点的坐标为 ： ，.设过的直线的方程为:.把,代入直线的方程解得: ，.再消去k，得.所以点在定直线上,故性质2得证.特别地，当点坐标取圆锥曲线的焦点坐标时，该性质变为性质1的推论，即性质2为性质1的推论推广16.例3：已知抛物线:,过点的直线交抛物线于、两点,曲线在点、处的切线交点为,求点所在的直线.解法一:设, ,则,过点、的切线方程分别为，. ，,由这两方程解得，.设过点的直线斜率为，则方程为 (1)把（1）式代入抛物线方程，消去，得 .由韦达定理得 ,所以.即点的轨迹在定直线(xR)上.解法二：由性质2和知把，代入方程 得，即点的轨迹在定直线(xR)上.说明：在解题时如果学生懂得性质2，那么就可以直接利用公式来解决，节约做题时间.例417:(2005年江西高考题理科试卷)设抛物线:的焦点为,动点在直线：上的动点，过点作抛物线的两条切线、且与抛物线分别相交于、两点.（1）求的重心的轨迹方程;（2）证明：=.解：详见2005年江西高考题理科试卷答案.由（2）的结论和答案激发了一种思想：对于圆锥曲线外一点作圆锥曲线的两条切线，切点分别为、.为圆锥曲线的其一焦点.当点在相应的准线上时，由性质1知,即=.当点不在准线上时，是否也有=？为此通过证明得出性质3.性质3：过圆锥曲线外一点作圆锥曲线的两条切线，其中、为切点，为圆锥曲线的焦点，则.00图5图6图5证明：先看椭圆的情形.如图5,设椭圆的方程为（）,，则直线的方程为,即 .所以 ，则有.设为左焦点，则，所以，,故 （是椭圆的离心率）.由向量的内积公式，所以又由椭圆的焦半径公式可知：，所以同理可得: ，所以.说明：当为右焦点时，同理可得.同理可证对双曲线性质3也成立.下面看抛物线的情形.如图6， 设抛物线的方程为：，则直线的方程为: . 所以 ， 又 ，则，,故由向量的内积公式 ，所以又由抛物线的焦半径可知：，所以同理可得：，所以 .说明：如果在教学中教师能引导学生这样分析和探讨得出性质3，那么像例4第二问这样的题目学生在解答时可做到心中有数,且能信心十足地解答好该题18.性质4：经过圆锥曲线外一点（双曲线两焦点所在的线段中点除外）作圆锥曲线的两条切线、，切点分别为、.过作倾斜角为的直线交圆锥曲线于、两点，与切点弦交于点，则直线上的三线段、成等差数列.证明：首先看椭圆的情形.如图7,设椭圆的方程为（），椭圆外一点，两切点为、两点，则直线的方程为：（1）.设直线的参数方程为 （t为参数）（2）,由（1）、（2）式得 且.再将（2）代入椭圆方程，得关于的方程：.因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以>0，方程有两根，设两根为、，则，,所以由此可发现 故、成等差数列.图8图7同理可证对双曲线性质4也成立.下面看抛物线的情形.如图8，设抛物线的方程为，抛物线外一点，两切点分别为、两点，则直线的方程为：（1）.设直线的参数方程为 （为参数）（2）,由（1）、（2）式得: 且把（2）带入抛物线方程，得关于的方程：.所以因为直线与圆锥曲线有两个交点,所以0，方程有两根，设其两根为、，则，,所以所以、成等差数列.特别地，当时，过P点的直线PM平行于对称轴与抛物线只有一个交点，这时由高等几何的知识，可视作无穷远点，因而有. 即有 = , 故是的中点.例519 ：双曲线方程，,为切点弦，过点的直线为，并与双曲线交于、两点，与切点弦交于点.证明三线段、成等差数列. 0S图9证明:ST的方程为与的交点为. , .又与的交点为，. , 、成等差数列.性质5：从圆锥曲线上一点引切线和法线分别交轴所在直线于、，交轴所在直线于、，则图9.图11图10证明：先看椭圆等的情形.如图10，设椭圆的方程为（）,经过其上一点的切线与法线方程分为:,它们与长轴所在直线的交点是：，.它们与短轴所在直线的交点是：，.于是有 故其次看双曲线的情形.如图11，设双曲线的方程为，过其上一点的切线与法线方程分为:，.故、的坐标分别为:，于是有 即再次看抛物线的情形.如图12，设抛物线的方程为,过其上一点的切线与法线方程分别为:，故、的坐标分别为:，于是有 所以 ，即性质5得证. 图12 例6: 椭圆的方程为，过其上一点得切线与轴、轴相交于、，过点的法线与轴、轴相交于、,求的值.分析：由性质5可知，要求可转化为求.解：直线为椭圆的切线，且切点 直线的方程为 ，由两点间的距离公式得： ，=.总之，在教学过程中引导学生通过探究性学习获得圆锥曲线的一些切线的性质并加以应用，不仅可以让学生进一步加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力，而且可以培养学生的创造性思维，提高学生的学习数学的兴趣20.5 结论5.1主要发现圆锥曲线切线的性质及其应用为相关问题的求解和证明提供十分有效的解题思路，有助于学生对圆锥曲线切线知识有更深刻认识.探讨圆锥曲线切线的性质，不仅需要对基础知识熟练掌握，而且要灵活运用相关知识，善于将知识点衔接起来，归纳总结三种圆锥曲线的内在个性特点.只有通过不断地分析典型题目，找出内在规律及它们的一些性质进行总结，才能找出圆锥曲线具有的统一性质.总之，在高考中圆锥曲线切线的相关问题既有一定难度，又有一定的技巧性和整体性，但只要我们善于思考和总结就容易找到解决问题的突破口，也会发现圆锥曲线切线的性质对求解该类问题有着很大的帮助.5.2启示圆锥曲线切线的性质是解决与圆锥曲线切线相关问题的关键点，理解掌握圆锥曲线切线的性质和证明思路，对解决圆锥曲线的相关问题有极大的帮助.但要理解掌握和灵活运用性质去解决问题时，必须对基础知识熟练掌握，且能够将知识点融会贯通.5.3局限性本毕业论文提供的仅是有限的几个性质及证明方法，还有许多性质未能得出，限我个人能力有限，不能提供更多的性质以便解决许多相关的问题，同时也没能完全给出相应的应用，这是本毕业论文的不足.5.4努力方向除了文中所述的几个性质外，根据三种圆锥曲线的内在个性特点可能还有其他的一些性质，这些性质将有待我们作进一步探讨研究，以弥补本论文的不足.参考文献1 郑观宝.圆锥曲线的一个共通性质J.中学数学研究，2006，（8）：44.2 人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书(第二册 上)M.北京：人民教育出版社，2004:91-122.3 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