向量在立体几何中的应用 (毕业论文).doc

向量在立体几何中的应用中文摘要立体几何中的基本思想是用代数的方法来研究几何。为了把代数运算引导几何中来，最根本的做法就是把空间的几何结构有系统的代数化，数量化。向量代数是立体几何中的应用性最好的量，用向量来证明立体几何中的点，线，面之间的位置关系及其解决度量问题显得明快，简捷和容易的方法。关键词：向量；方向向量；法向量；点；直线；平面；平行；垂直；夹角。Quadratic curves of the nature of the midpoint stringAbstractThe basic idea is solid geometry with algebra approach to studying geometry. In order to put the algebra operations guide geometry, the fundamental way of doing that is to the geometry of the space structure of the system of algebra, quantification. Vector algebra is three-dimensional geometry in application of the best quantity, with vector to prove three-dimensional geometry in points, lines, and relation between the positions of surface and its solving measure problem is lively, simple and easy method. Keywords: vector; Direction vector; Vector method; Point; Straight line; Plane; Parallel; Vertical; Angle. 目 录1 引言- 2 -2 共点线与共线点- 2 -2.1共点线问题- 2 -2.2共线点问题- 4 -2.3共面问题- 5 -3 垂直问题- 6 -3.1线线垂直- 6 -3.2面面垂直- 8 -4 平行问题- 9 -4.1 线线平行- 9 -4.2 线面平行- 10 -4.3面面平行- 11 -5 度量问题- 11 -5.1线线角的求法- 11 -5.2线面角的求法- 12 -5.3面面角的求法- 13 -参考文献- 15 -致谢- 16 -1 引言几何中的大多数是用代数的方法来研究，为了把代数运算引导几何中来，最根本的做法就是设法把空间几何结构有系统的代数化，数量化。 立体几何的基本思想也是代数的方法来研究几何。向量是立体几何中应用性最活的量。2 共点线与共线点证明共点线与共线点问题是立体几何中的较多证明题之一，用向量来解决共点线与共线点问题显得明快，简捷和容易入手。下面我们介绍向量法来解决共点线与共线点问题的基本思路。2.1共点线问题例1平行六面体的四条对角线及思对对棱的中点的连线共八条，试证他们必共点。证明：如图1，设平行立面体的一组对棱的中点分别为且连线的中的为,其它三组连线的中点分别为.再设 ，则 即： 同理可得： 即 这说明， 四点重合。最后设 的连线的中点分别为.则 同理可得 即 。这说明 点重合，于是命题得证。 从这个例题可以知道，证明共点线问题时一般采用以下知识： 第一：平行四边形法则以及该法则的结论。即：（图2） 设，则 所以 第二：平行六面体法则。（图3）， 这是用平行六面体三个棱上的向量来表示它的对角线向量。但要注意，这四个向量具有同一始点。欲证三直线 共点，可用以下方法：在三线上任取三点，去证这三点关于某定点有相同的定位向量。令其中两线相交，如 交于点,去证点与上的任一的相连而得到的向量与直线上某相连共线，或再令交于点,去证关于某定点有相同的定向量。2.2共线点问题例2 【梅涅劳（Menelaus）定理】 设 分别是 边上（或各边的延长线上）的三点。（图4），试证这三点同在一直线上的充要条件是; (本题中的线段均有向线段)。证明 设 , ， 则： ， 令 ，于是 再令 ,则有 三点同一直线上的充要条件是向量和向量共线，也就是存在非零数，使 即： 因此有 ， 消去得 ，但 ,所以 ，姑 因此 ;同理可得 ， 又 所以 ，姑 所以由即得 证毕。用向量法来解决共线点问题时一般采用如下方法： 欲证三点共线，可证其中任意两点相连得到的两个向量共线即可。2.3共面问题例3设和是立方体的两个相对顶点，试证立方体不含和的六条棱的中点在同一个平面上。证明 设（图5）， ， ， 是立方体中不含和的六条棱的中点。则 ， ， ， ， 设 的中点为，则令 的中点为 , 则 这说明是线段的中点。同理可证既为线段和的中点。又 这说明共面，即 共面。所以 六点共面。上面例题可知，证明若干点共面问题时，只证明这些点所在的直线共线就可以。3 垂直问题立体几何中的垂直问题指的是线线垂直，线面垂直，面面垂直等问题。用向量法解决垂直问题在立体几何中比较常用的方法。3.1线线垂直 若两直线的方向向量分别为， 则 这两条直线垂直的充要条件是：例4 ：在单位正方体 中，在一个面的对角线 上取点，使;在另一个面的对角线上取点，使.求证:是和的公垂线。证明：建立空间直角坐标系 （图6）（因为此正方体是单位正方体）则（是的方向向量）从而 ，因为，由充要条件可知是和的公垂线。2.2线面垂直平面的方位向量，直线的方向向量，则直线垂直于的充要条件是： 。例5 试证如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么它就和平面内任何直线都垂直，即它垂直此平面。证明： 设直线与平面的两个相交直线都垂直（图7）。设是平面内的任意直线。下面证明内的任意直线垂直，在直线上分别任意取非零向量，依已知条件有所以。 又是共面且不共线，所以可以用来线性表示，即 。因而 这表明两向量垂直，也就是它们所在的直线垂直。由的任意性，直线垂直于平面。3.2面面垂直两平面的法向量分为 且, 则两平面垂直的充要条件是：.例6 平行六面体的底下为菱形。若 。证明：一双对棱所决定的平面垂直于底面（图8）。证明：因为是菱形，所以且 又 姑 从而即 因此 说明垂直平面，而底面过，所以平面与底面垂直。4 平行问题立体几何中的平行问题指的是线线平行，线面平行与面面平行问题。我们一般用两向量的平行关系来证明平行问题。 两向量平行的充要条件是它们的向量积为零向量， 或 。4.1 线线平行 若直线通过点，方向向量为；直线通过点，方向向量为 ，设， ， ， 则两直线平行的充要条件是：或例7 已知：， 且不共面。若，求 的值。解： ，且，即 。又因为 ，解得 4.2 线面平行设直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面平行的充要条件是：设 ，则例8 （如图9）在长方体中，分别是的中点，分别是的中点。， 求证：平面 .证明：建立以为原点，为的空间直角坐标系，则 ，,，分别是的中点。，即：,平面的法向量 ，且 姑 。4.3面面平行 两平面 ，它们的法向量分别为。设 ,则两平面平行的充要条件是： 在平行六面体 中（图10），球证：平面与平面平行。 证明： 设 ， 则 ， 姑 又 , 所以 这说明两平面垂直同一条直线，所以平面和平面平行。5 度量问题立体几何中的度量问题是典型性问题，我们把向量引导立体几何后，用血量之间的夹角来解决线线，线面，面面之间的角。5.1线线角的求法两直线的方向向量之间的角就是两直线之间的角。如果的方向向量依次为 ，并设之间的角为，则：或 于是： 设 ， 则有：例10： 将一正方形折成正三棱柱，试求正方形的对角线所折成的角。 解： （如图11） 设正方形的边长为3，则折成的正三棱柱的底边是边长为1的正三角形，其高为3.原正方形的对角线折成一条折线 ,如图建立空间直角坐标系，则 ，,所以 , ,姑 向量法来解决夹角问题应用性较强，准确度角高的方法之一。5.2线面角的求法 直线 的方向向量为，平面的法向量为。所为直线与平面之间的角是指直线和他在上的射影所构成的锐角。因此 若设 ， 则 （如图12），在四棱锥中 底面为直角梯形，, , 且 分别是D 中点。求 与平面所成的角。解： 建立以A为原点的空间直角坐标系，且取.则：, , 所以 ，又 ，所以的法向量为 因为与平面所成的角. 这个例题可以知道来向量法解决线面角是灵活性强，应用性多的方法。5.3面面角的求法 设依次为平面的法向量，则间的角，即等于平面的二面角的平面角之一。所以我们可把平面的法向量间的角作为平面间的角。于是 ， 设 , ， 则有；所以间的角一个是，另一个是 。设正四面体的棱长为，试求它的两个面之间的夹角（图13）。解： 平面的法向量取为 ，平面的法向量取为 。设求的夹角为（是锐角）、则 而 由公式可以计算出 ，姑 所以此正四面体任两面间的夹角均为： 这一类题说明向量在立体几何中的应用非常广泛，用向量不仅可以证明几何图形的位置关系，等量关系，不等量关系而且还可以解决轨迹等问题。用向量证明或计算问题时，通常采用坐标系，但是采用坐标系的时候要注意坐标系的符号，一旦出错就达不到目的。参考文献向量代数在几何中的应用：宋克旭，张颖。2版。北京：高等教育出版社，1988.4解析几何：吕林根，许子道。4版。北京：高等教育出版社，2006.5竞赛数学教程：陈传理，张同君。2版。北京：高等教育出版社，2005.4高考绿色通道：鸿玉. 4版。上海：中国致公出版社，2005.4高考完全解读：熊辉。5版。北京：中国青年出版社，2005.4初等几何研究：朱德祥，朱维宗。2版。北京：高等教育出版社，2007.8高等几何： 钟集，3版。北京：高等教育出版社，2003.6致谢经过长时间的精心准备终于完成了这篇论文，在此期间特别要感谢我的指导老师。他对工作的细心与认真在我实习与写论文期间完全体现出来，让我感受到毕业论文的重要性，因而我才能以更加严谨负责的态度去完成这篇论文。还要感谢学校图书馆的工作人员们，他们在帮助我们查找书籍资料上给予了莫大的支持，使我们更加顺利地进行论文撰写,在此感谢所有帮助过我的人们。