北师大版高中数学导学案《等比数列的综合应用》 .doc

第4课时等比数列的综合应用知能目标解读1.进一步巩固等比数列的通项公式、性质及前n项和公式.2.掌握数列求和的常用方法错位相减法.重点难点点拨重点：错位相减法求和的理解及等比数列性质的应用.难点：错位相减法求和的应用.学习方法指导如果数列an是等差数列，公差为d;数列bn是等比数列，公比为q,求数列anbn的前n项和，可以运用错位相减法.方法如下：设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn,当q=1时，bn是常数列，Sn=b1(a1+a2+a3+an)= ;当q1时，则qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1,所以Sn-qSn=(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+bn·(an-an-1)-anbn+1=a1b1+d·-anbn+1,所以Sn=.知能自主梳理1.在等比数列的前n项和公式Sn=中，如果令A=，那么Sn=.2.若Sn表示数列an的前n项和，且Sn=Aqn-A(A0， q0且q±1)，则数列an是.3.在等比数列an中，Sn为其前n项和.(1)当q=-1且k为偶数时，Sk,S2k-Sk，S3k-S2k (kN+);(2)当q-1或k为奇数时，数列Sk，S2k-Sk，S3k-S2k (kN+).答案1. Aqn-A2.等比数列3.不是等比数列是等比数列思路方法技巧命题方向等比数列性质的应用例1(1)等比数列an，已知a1=5，a9a10=100，求a18；(2)在等比数列bn中，b4=3，求该数列前七项之积；(3)在等比数列an中，a2=-2，a5=54，求a8.分析由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.解析(1)a1a18=a9a10,a18=20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b24=b1b7=b2b6=b3b5,前七项之积为(32) 3×3=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5·=54×=-1458.解法二：a5是a2与a8的等比中项，542=a8×(-2).a8=-1458.说明本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若m,n,k,lN+且m+n=k+l，则am·an=ak·al.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.变式应用1已知an是等比数列，且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.解析a4·a7=a1·a10,a4a7=243, a4=81 a4=3又a4+a7=84, ，或a7=3 a7=81q=或q=3.a11=3q4=3×（）4=或a11=81×34=6561.命题方向与前n项和有关的等比数列的性质问题例2各项都是正实数的等比数列an，前n项的和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于（）A.150B.-200C.150或-200D.400或-50答案A分析本题思路较为广泛，可以运用等比数列前n项和公式列方程，确定基本量a1,q后求解，也可以应用等比数列前n项和的性质求解.解析解法一：设首项为a1,公比为q，由题意知q±1. =10由 ，=70由以上两式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去)，代入有=-10，S40=-10×(-15)=150.解法二：易知q±1，由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为q10的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10，即q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3（舍去），S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：运用性质Sm+n=Sm+qmSn求解，S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10从而有q20+q10-6=0，解得q10=2或q10=-3(舍去).S40=S30+q30S10=70+8×10=150.解法四：易知q±1,=，q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).又=，所以S40=150.说明在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算，本题的解法二运用了当q-1时，数列Sm，S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等比数列，公比为qm，解法三运用了等比数列的性质：Sm+n=Sm+qmSn，解法四运用了等比数列的性质：当q±1时，=.变式应用2等比数列an的前n项和为Sn,若S5=10,S10=20,则S15等于.答案30解析an为等比数列，S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，（S10-S5）2=S5（S15-S10），即100=10（S15-20），解得S15=30.探索延拓创新命题方向错位相减法求数列的和例3求数列1，3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1的前n项和（a0）.分析由题设可知数列的通项公式为an=(2n-1)·an-1,数列的每一项可分成两个因式，前一个因式可构成等差数列，后一个因式可构成等比数列，故可选用错位相减法求和.解析当a=1时，Sn=1+3+5+(2n-1)= =n2.当a1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)·an-1,aSn=a+3a2+5a2+7a4+(2n-1)an ,-得,Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an=1+-(2n-1)an,Sn=+.说明一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d;数列bn是等比数列，公比为q,则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法.变式应用3求数列n·2n的前n项和Sn.解析Sn=1·21+2·22+3·23+n·2n2Sn=1·22+2·23+（n-1）·2n+n·2n+1 -得-Sn=2+22+23+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,Sn=(n-1)2n+1+2.名师辨误做答例4若数列an的前n项和为Sn=an-1（a0），则数列an是（）A.等比数列B.等差数列C.可能是等比数列，也可能是等差数列D.可能是等比数列，但不可能是等差数列误解A由Sn=an-1，得an=(a-1)an-1，则有=a-1(常数)，故选A.辨析错误的原因在于：当a=1时，an=0，an是等差数列，而不是等比数列，这是没有理解等比数列中an0而造成的.正解C由Sn=an-1,得an=(a-1)an-1.当a=1时，an=0,数列an为等差数列；当a1时，=a-1,(不为零的常数)，则数列an为等比数列，故选C.课堂巩固训练一、选择题1.（2011·辽宁文，5）若等比数列an满足anan+116n，则公比为（）A.2B.4C.8D.16答案B解析本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力.an·an+1=16n,an-1·an=16n-1=q2=16q=4.2.在各项为正数的等比数列中，若a5-a4=576,a2-a1=9,则a1+a2+a3+a4+a5的值是（）A.1061B.1023C.1024D.268答案B解析由题意得a4(q-1)=576,a1(q-1)=9,=q3=64,q=4,a1=3,a1+a2+a3+a4+a5=1023.3.在等比数列an中，a1=1,公比|q|1,若am=a1a2a3a4a5，则m=（）A.9B.10C.11D.12答案C解析a1=1,am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,又am=a1qm-1=qm-1,qm-1=q10,m-1=10,m=11.二、填空题4.若等比数列an的前n项和Sn=2n+1+r,则r的值为.答案-2解析解法一：a1=S1=4+r,a2=S2-S1=8+r-4-r=4,a3=S3-S2=16+r-8-r=8,又an为等比数列，a22=a1a3,16=8(4+r),r=-2.解法二：Sn=2n+1+r=2·2n+r,数列an为等比数列，Sn=A·qn-A=2·2n+r,r=-2.5.设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则q的值为.答案-2解析Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，2Sn=Sn+1+Sn+2(Sn+1-Sn)+(Sn+2-Sn)=0,an+1+an+1+an+2=0,2an+1=-an+2,=-2,q=-2.三、解答题6.（2011·重庆文，16）设an是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.(1)求an的通项公式;(2)设bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列an+bn的前n项和Sn.分析（1）问设出公比q，由已知建立有关q的方程，求出公比q，写出通项公式.（2）甲分组求和，先求an的和，再求bn的和，然后相加得Sn.解析（1）设等比数列an的公比为q，由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍)，q=2an=a1·qn-1=2·2n-1=2n（2）数列bn=1+2(n-1)=2n-1Sn=+n×1+×2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.点评此题考查等差、等比数列的通项公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比数列的公比为正数，此题属基础保分题.课后强化作业一、选择题1.已知等比数列an中，an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为（）A.3n-1B.3(3n-1)C. (9n-1)D. (9n-1)答案D解析a2=6,q=9,Sn= (9n-1).2.(2010·辽宁文)设Sn为等比数列an的前n项和，已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=（）A.3B.4C.5D.6答案B解析3S3=a4-2,3S2=a3-2,3S3-3S2=a4-a3,3a3=a4-a3,4a3=a4,=4,q=4.3.等比数列an的前n项和Sn=·2n-1+a,则a的值为（）A.- B.- C. D. 答案B解析Sn=·2n-1+a=·2n+a,又Sn=Aqn-A,a=-.4.等比数列an的公比为，且S3=1,则S6等于（）A. B. C. D. 答案B解析q=,S3=2a1（1-）=a1=1,a1=.S6=（1-）=.5.数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，1+2+22+2n-1的前n项和Sn>1020,那么n的最小值是（）A.7B.8C.9D.10答案D解析因为1+2+22+2n-1=2n-1,所以Sn=21-1+22-1+2n-1=2n+1-n-2>1020,所以n的最小值为10.6.已知等比数列an中，公比q=,且a1+a3+a5+a99=60,则a1+a2+a3+a100=（）A.100B.90C.120D.30答案B解析a2+a4+a6+a100=a1q+a3qa5q+a99q=q(a1+a3+a5+a99)=×6030a1+a2+a3+a100=(a1+a3+a5+a99)+(a2+a4+a6+a100)=60+30=90.7.已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c（）A.成等差数列不成等比数列B.成等比数列不成等差数列C.既成等差数列又成等比数列D.既不成等差数列又不成等比数列答案A解析解法一：由已知得a=log23,b=log26=log23+log22,c=log212=log23+2log22.b-a=c-b.解法二：2a·2c=36=(2b) 2,a+c=2b,故选A.8.（2011·四川文，9）数列an的前n项和为Sn，若a1=1,an+1=3Sn(n1),则a6=（）A.3×44B.3×44+1C.45D.45+1答案A解析该题考查已知一个数列的前n项和Sn与an+1的关系，求通项公式an.注意的问题是用an=Sn-Sn-1时(n2)的条件.an+1=3Snan=3Sn-1-得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an即an+1=4an=4.(n2)当n=2时，a2=3a1=3,=3=4an为从第2项起的等比数列，且公比q=4,a6=a2·q4=3·44.二、填空题9.等比数列an的前n项和为Sn=3n+1+m,则a1=.答案6解析a1=S1=9+m,a2=S2-S1=27+m-9-m=18,a3=S3-S2=81+m-27-m=54,又an为等比数列，a22=a1a3,182=54(9+m)，解得m=-3.a1=9+m=6.10.实数，1，成等差数列，实数a2,1,c2成等比数列，则=.答案1或- +=2 ac=1 ac=-1解析由条件 ，得 或 ，a2c2=1 a+c=2 a+c=-2=1或-.11.已知an是公比为q(q1)的等比数列，an>0,m=a5+a6,k=a4+a7,则m与k的大小关系是.答案m<k解析m-k=(a5+a6)-(a4+a7)=(a5-a4)-(a7-a6)=a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6)=(q-1)·a4·(1-q2)=-a4(1+q)(1-q) 2<0(an>0).m<k.12.设数列an的前n项和为Sn(nN+)，关于数列an有下列三个命题：若an既是等差数列又是等比数列，则an=an+1 (nN+);若Sn=an2+bn(a、bR)，则an是等差数列；若Sn=1-(-1) n，则an是等比数列.这些命题中，正确命题的序号是.答案解析对于命题，易知它是各项不为零的常数数列，有an=an+1.对于命题，由Sn=an2+bn(a、bR)得an=b+a+(n-1)·2a，当n=1时，也适合上式.an为等差数列.对于命题，由Sn=1- (-1) n得an=2·(-1) n-1，当n=1时也适合上式.故an为等比数列.三、解答题13.(2011·新课标文，17)已知等比数列an中，a1=，公比q=.(1)Sn为an的前n项和，证明：Sn=；(2)设bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式.分析第一问先利用等比数列定义及前n项和公式求出an，Sn,再证明Sn=,第二问将问题转化为等差数列求和.解析(1)因为an=×（）n-1=,Sn=，所以Sn=.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-.所以bn的通项公式为bn=-.点评本题考查了数列的通项，前n项和等基础知识，体现了转化与化归的数学思想.14.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(nN*)(1)求证bn是等比数列；(2)求an的通项公式.解析(1)an+1=2an+1an+1+1=2(an+1)，即bn+1=2bnb1=a1+1=20.bn0,=2，bn是等比数列.(2)由(1)知bn是首项b1=2公比为2的等比数列，bn=2×2n-1=2n，即an+1=2n.an=2n-1.15.一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数.解析设等比数列的公比为q,项数为2n（nN+）,由已知得q1,a1=1,a2=q. =85=170÷得q=2.=85,4n=256,n=4.故数列的公比为2,项数为8.16.求和Sn=1×2+4×22+7×23+(3n-2)×2n.解析Sn=1×2+4×22+7×23+3(n-1)-2×2n-1+(3n-2)×2n2Sn=1×22+4×23+3(n-1)-2×2n+(3n-2)×2n+1-得，-Sn=1×2+3×22+3×23+3×2n-(3n-2)×2n+1=3(2+22+2n)-(3n-2)×2n+1-4=3(2n+1-2)-(3n-2)×2n+1-4=3×2n+1-6-3n×2n+1+2n+2-4=2n+2+3(1-n)×2n+1-10.Sn=3(n-1)×2n+1-2n+2+10（3n-5）×2n+1+10.