函数与导数综合题.doc

函数与导数综合题1.已知函数.（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（2）求函数的极值；（3）求证：解：时，恒成立所以由于所以从而因而所求，（1）时，恒成立在上单调递增，无极值。（2）时，由于所以在上单调递增，在上单调递减，从而由（1）知时，在上递减。从而时，令，则所以从而即有2.设，.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；（3）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围。解：（1）当时，所以曲线在处的切线方程为；（2）存在，使得成立等价于：，考察，0003递减极（最）小值递增由上表可知：，所以满足条件的最大整数；（3）对任意的，都有成立等价于：在区间上，函数的最小值不小于的最大值，由（2）知，在区间上，的最大值为恒成立等价于恒成立，记，记，由于，所以在上递减，当时，时，即函数在区间上递增，在区间上递减，所以，所以3.已知函数.（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；（2）在（1）的条件下，若，求的极小值；（3）设，若函数存在两个零点，且，问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由。解：（1），.由题意，知恒成立，即又，当且仅当时等号成立。故，所以（2）由（1）知， 因为，所以若，则，单调递减；若，则，单调递增。故当时，取得极小值，极小值为（3）设在的切线平行于轴，其中. 结合题意，有得联立得由得设，式变为设，所以函数在上单调递增，因此，即，也就是，此式与矛盾。所以在处的切线不能平行于轴。4.已知函数，其中，；（1）当时，求的值并判断函数的奇偶性；（2）当时，若函数的图像在处的切线经过坐标原点，求的值；（3）当时，求函数在上的最小值。解：（1）时 ，所以，所以时非奇非偶函数（2）时，所以所以在处的切线方程为因为过原点，所以；（3）（i）当时，上，所以在内单调递减，递增，所以（ii）当时，上，所以单调递增，（iii）当时，当时，所以单调递增，当时，因，所以在上单调递减，在上递增，所以若，则，当时而时，所以，时，同样，因，所以综上：时，时，