二次曲线方程的标准化方法初探毕业论文.doc

二次曲线方程的标准化方法初探摘要 通过坐标变换和不变量法把二次曲线的一般方程化为简化方程，再根据二次曲线的几何性质，把简化方程化为标准方程。在我们的生活中曲线处处可见，曲线可以看作是空间中的任意一个点按照一定方式运动的轨迹，也可以被看作是满足一定条件的点的集合。而本文所研究的是曲线的一个小部分：二次曲线方程的标准化。若将二次曲线方程化为标准方程，就可以给出二次曲线的分类。也可以通过二次曲线的标准方程，得到二次曲线的几何性质、图像性质。这是由于选择了好的坐标系，此时坐标轴是二次曲线的对称轴，如果存在中心的话，坐标原点是二次曲线的对称中心，所以将二次曲线方程化为标准形式对解决几何问题有很大的帮助。关键词 坐标变换 不变量 标准方程Abstract By the coordinate transformation and the invariant method to the general quadratic equation into simplified equations, quadratic curve according to the geometric nature of the simplified equations into the standard equation. In our lives everywhere curve, the curve can be regarded as an arbitrary point in space trajectory in a certain mode, it can be considered to meet certain conditions, a set of points. The research in this paper is a small part of the curve: the standardization of quadratic equations. If quadratic equations into the standard equation, we can give a quadratic curve segment. Can also be a standard quadratic equation, quadratic geometric properties of the image properties. This is good because the coordinate system is selected, then the coordinate axis is the axis of symmetry of a quadratic curve, if there is, then the center of the coordinate origin is the center of symmetry of a quadratic curve, so that the secondary curve equation to solve the geometric standard form issues of great help.Keyword Coordinate transformation Invariant method The standard formula正文：本文在这里对两种比较常用的方法加以讨论。第一种是坐标变换法：坐标变换就是采用一定的数学方法，将一种坐标系的坐标变换为另一种坐标系的坐标的过程；第二种是不变量法：通过简化方程化简二次曲线的过程，这种不变量往往在分析问题时起到很大的作用。1用坐标变换法化简二次曲线的方程设给定平面上二次曲线的方程为：现引进记号如下：有 ，通过坐标变换法化简二次曲线的方程得到标准方程，首先要弄清楚坐标变换，因为坐标变换总可以看成是由移轴与转轴组成，所以我们分别考察移轴与转轴，对移轴和转轴的考察必须弄清二次曲线方程的系数的变换规律。1.1在移轴下化简二次曲线方程将移轴公式代入二次曲线方程有： 化简整理得:也可写为 比较后知二次曲线系数的变换规律为：(1)在新方程中二次项系数不变；(2)一次项系数变为和；(3)常数项变为.若是这条二次曲线的对称中心。那么，。所以，给定平面二次曲线的方程可化为：.1.2在转轴下化简二次曲线方程将转轴公式：代入二次曲线方程得二次曲线方程系数的变换规律为：（1）一次项系数一般要改变。新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，与二次项系数及常数项无关。（2）二次项系数一般要改变。新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关。（3）常数项不变。如果曲线方程中，我们使用转轴使新方程中的.那么即,从而得二次曲线新方程不含交叉项，最终将原方程化为标准形式。应用举例：例1：化二次曲线方程为标准方程。解：因为 ，所以曲线为中心二次曲线，解方程组得中心的坐标为（0,2），取（0,2）为新原点，作移轴原方程变为 再转轴消去项，得，从而可取，故转轴公式为经转轴后曲线的方程化为最简形式：标准形式为：（这是一个椭圆）2用不变量法化简二次曲线的方程设二次曲线在任意给定的直角坐标系中的方程为 在直角坐标变换下，曲线方程左端变为则多项式也是二元二次多项式，它的每一个系数都可以用多项式的系数和坐标变换的系数表出.定义：由的系数组成的一个非常数函数，如果经过直角坐标变换，变为时，有,那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的不变量. 如果这个函数的值，只是经过转轴变换不变，那么这个函数叫做二次曲线在直角坐标变换下的半不变量.性质：（）二次曲线在直角坐标变换下，有三个不变量I1，I2与I3与一个半不变量K1：（） 当二次曲线为线心曲线时，在直角坐标变换下，K1是不变量.二次曲线的简化方程：（1）如果二次曲线是中心曲线，则它的简化方程为 其中是二次曲线特征方程的两个根.（2）如果二次曲线是无心曲线，则它的简化方程为 其中的正负号可以任意选取.（3）如果二次曲线是线心曲线，则它的简化方程为 例2：化二次曲线方程为标准方程。解：因为而那么方程总可以化为其中由特征根的判别式得为两个特征根，则由特征方程得则 那么原方程可化简为所以标准方程为：是椭圆.3小结本文通过对二次曲线的标准化方法的探究，一是坐标变换法，二是不变量法。通过对两种方法的介绍，和对二次曲线的标准化的求法，总结出了二次曲线的标准方程。而坐标变换法，一般需先求旋转角，算出转轴公式，再代入二次曲线方程，算出新方程的系数，然后再移轴，确定图形位置，虽然方法简单，但计算量大，且灵活性较强，但能作出几何图形，所以在运用坐标变换法化简二次曲线时要细心。用不变量法化简二次曲线，可直接由公式得到化简方程，计算比较简单，但要明确怎样的简化方程对应怎样的一般方程，由于无法确定二次曲线在坐标系中的确切位置，故还不能直接由此作出图形，仍需要进一步的确定计算。参考文献：1 郑文晶.二次曲线的化简与分类方法J.内蒙古：呼伦贝尔学院学报,2009.4:69-71.2 范树功.二次曲线方程化简的理论根据J.山东：潍坊教育学院学报,1988.1:3-6.3 朱玉清，刘静.二次曲线方程的化简J.河南：南阳理工学院学报,2009.11:67-71.4 曹永林，陈贞波，孙维军.二次曲线方程的化简和位置的确定J.山东：淄博学院学报,2001.9:5-8.5 王阳.二次曲线化简的一点补充J.广东：南都学坛,1991.5:54-59.6 张宇浅.谈二次曲线方程的化简J.吉林：教学园地,2009.9:100-101.7 吕林根，许子道.解析几何M.北京：高等教育出版社,1987.5:284-293.8 吕林根.解析几何M.北京：高等教育出版社,1992.4:172-188.