专题9.5 椭圆（教学案）高考数学（理）一轮复习精品资料（新课标）（解析版）.doc

一、课前小测摸底细1.【课本典型习题】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，焦距为4，则该椭圆的方程为（ ） A B +=1 C +=1 D +=12.【2015届湖北省武汉市高三9月调考】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则（ ）A4 B8 C12 D163. 【2014高考安徽卷理第14题】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为_4. 【2014江西高考理第16题】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 .5. 【基础经典试题】在椭圆上有两个动点，为定点，则的最小值为（ ）A.6 B. C.9 D.二、课中考点全掌握考点1 椭圆的定义及其应用【题组全面展示】【1-1】2014·泉州模拟已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，那么动点M的轨迹是()A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线【1-2】已知F1、F2是椭圆C：1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.【基础知识重温】1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距(2)代数式形式：集合若，则集合P为椭圆；若，则集合P为线段；若，则集合P为空集2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，【方法规律技巧】1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.【新题变式探究】【变式一】设P是椭圆1的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|PF2|等于 ()A4B8 C6 D18【答案】【解析】依定义知 选【变式二】已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是_【综合点评】应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y0)与两焦点F1(c,0)，F2(c,0)构成的PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(ac)(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2b2c2.考点2 椭圆的标准方程【题组全面展示】【2-1】【2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（大纲卷）】已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若AF1B的周长为，则C的方程为( )A. B. C. D. 【2-2】求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为；来源:Zxxk.Com【基础知识重温】1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2满足条件：【方法规律技巧】1求椭圆标准方程的方法求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A0，B0且AB)，这种形式在解题中更简便2椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用【新题变式探究】【变式一】求经过点两点的椭圆标准方程.【答案】【变式二】求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程法二：若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入，得，故所求方程为.若焦点在轴上，设方程为代入点，得，.综上知，所求椭圆的标准方程为或.【综合点评】考点3 椭圆的几何性质【题组全面展示】【3-1】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷）】已知椭圆C：的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（ ）A B C D【答案】A【解析】如图，因为的周长为所求的椭圆成为，故选A【3-2】设是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点， （ ）A. B. C. D.【基础知识重温】 椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程来源:Zxxk.Com范围对称性曲线关于轴、原点对称曲线关于轴、原点对称顶点长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为【方法规律技巧】1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围较多时候利用解题；2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.【新题变式探究】【变式一】椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为()A B C D【答案】B【解析】由题可知为直角三角形，其中|AB|，由勾股定理，即，学科网整理得，同除，【变式二】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260°.来源:学科网ZXXK(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：的面积只与椭圆的短轴长有关 (4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2b2c2.2重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征考点4 直线与椭圆的位置关系【题组全面展示】【4-1】过椭圆左焦点F斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，向量与向量共线，则该椭圆的离心率为( ) A B C D【4-2】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 【基础知识重温】1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2BxC0.记该一元二次方程根的判别式为，若0，则直线与椭圆相交；若0，则直线与椭圆相切；若0，则直线与椭圆相离(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系2直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或（2）弦中点问题，适用“点差法”.【方法规律技巧】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题来源:学#科#网（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2常用思想方法和技巧有：（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系3. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离【新题变式探究】【变式一】【2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（辽宁卷）】已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 .，化简可得，根据椭圆的定义=，所以.【变式二】2014届湖北省黄冈市高三5月适应性考试直线L：与椭圆E： 相交于A，B两点，该椭圆上存在点P，使得 PAB的面积等于3，则这样的点P共有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【综合点评】1.涉及直线与椭圆的基本题型有：（1）位置关系的判断（2）弦长、弦中点问题（3）轨迹问题（4）定值、最值及参数范围问题（5）存在性问题2常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系.三、易错试题常警惕易错典例：【2014高考广东卷文第20题】已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.易错分析：研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解温馨提醒：(1)研究直线与圆锥曲线位置关系问题，要特别注意运用数形结合思想；(2)在解答此类问题时，要注意直线斜率是否存在，分类讨论，避免漏解.