专题6.1 数列的概念与简单表示法（讲）高考数学（理）一轮复习讲练测（解析版）.doc

第01节 数列的概念与简单表示法【课前小测摸底细】1.【必修5P31例3改编】在数列中，则=_.【答案】2.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n项和，且，则_【答案】3. 【2015届浙江省金华市艾青中学高三上学期期中考试】已知为关于的一次函数，为不等于1的常数，且满足设,则数列为 （ ）A等差数列 B等比数列 C递增数列 D递减数列【答案】B4.【基础经典试题】已知数列的前项的和，则数列的通项公式为 .【答案】【解析】当时 ， 当时 ，显然不适合5.【改编自福建省安溪八中高三12月月考数学】数列满足：,且当, ,( )A B C5 D6 【答案】B【考点深度剖析】 关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，因此对本节要细心领会，认真掌握【经典例题精析】考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式【1-1】已知数列的前几项为,，则数列的一个通项公式为 .【答案】.【1-2】按数列的排列规律猜想数列，的第10项是()A B C D【答案】C【解析】所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子很容易归纳出数列的通项公式，故.【1-3】【高三原创预测卷数学试卷4（安徽版）】已知函数满足：，则的值为（ ）A B C D【答案】D综合点评：根据数列的前几项求数列的通项公式,做这一类题需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:分式中分子,分母的特征;相邻项的变化特征;拆项后的特征;各项符号特征.并以此进行归纳,联想.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含著“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证，对于正负符号变化，可用或来调整【课本回眸】1数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别2数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限来源:学。科。网无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中nN递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数，使摆动数列的符号正负相间，如1，1,1，1，3数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.4.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.【方法规律技巧】1根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用或来调整2根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.【新题变式探究】【变式一】【高考原创预测卷】已知数列an中，对于任意若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，则 【答案】【变式二】【2015届浙江省永康明珠学校高三上学期期中考试理科】1自然数按照下表的规律排列，则上起第2013行，左起第2014列的数为（ ）A B C D 【答案】B考点2 由前项和公式推导通项公式，即与的关系求通项【2-1】数列的前项和为不等于的常数)，则_.【答案】.【2-2】【湖北省黄冈市重点中学第二学期高三三月月考】数列满足,则 .【答案】【解析】当时，. 所以当时，.所以-得.所以.综合点评：这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示【课本回眸】1. 数列的前项和：2数列的前项和和通项的关系：【方法规律技巧】已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：(1)先利用求出；(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.【新题变式探究】【变式一】【2015届江西省吉安市一中高三上学期第一次段考】已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D.【变式二】【2015届北京市东城区示范校高三上学期综合能力测试理】数列的前项和记为，若，则数列的通项公式为_.【答案】考点3 由递推公式推导通项公式【3-1】已知数列满足=1，= ()，则数列的通项公式 .【答案】=.【3-2】已知数列满足则数列的通项公式 .【答案】【解析】取倒数 是等差数列，所以.【3-3】已知数列满足，则数列的通项公式 .【答案】【解析】设综合点评：这些题都是由递推公式推导通项公式，由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“化归法”、“累加法”、“累乘法” 、“构造等比数列” 、“迭代”等方法【课本回眸】 如果已知数列an的首项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式【方法规律技巧】递推公式推导通项公式方法：（1）累加法：（2）累乘法：（3）待定系数法：（其中均为常数，）解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（6）待定系数法：解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.（7）待定系数法：（其中均为常数）.解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.（8） 取倒数法：解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.【新题变式探究】【变式一】【2014高考陕西卷第14题】已知，若，则的表达式为_.【答案】数列是以为首项，以1为公差的等差数列，当时，.【变式二】【2015届广东省韶关市高三调研考试理科】数列满足,且前项之和等于,则该数列的通项公式 【答案】 考点4 数列的性质的应用【4-1】已知，则数列的最大项是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】是关于的二次函数.对称轴为，因为，所以是最大项.【4-2】在数列中，前项和为，则当最小时，的值为（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B【4-3】【江西省红色六校高三第一次联考】设函数，数列满足,且数列为递增数列,则实数a的取值范围为( ) A.(2,3) B.(1,3) C.(1,+) D. (2, +)【答案】【4-4】已知数列的首项，其前项和为，且满足.若对任意的，恒成立，则的取值范围是.【答案】综合点评：这些题都是数列的函数特征的应用，做这一类题，一是利用函数的性质，同时注意数列的性质，抓住试题的关键，灵活应用.【课本回眸】 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性【方法规律技巧】1.数列中项的最值的求法数列中或的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列或的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值要注意的细节是只能取正整数数列中最大项和最小项的求法求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.前项和最值的求法(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.2 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究4数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决5数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决注意：对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号【新题变式探究】【变式一】【2015届辽宁省大连市第二十高级中学高三上学期期中考试】已知数列，则数列最小项是第 项.【答案】5【变式二】【2015届山东省枣庄第八中学高三上学期第二次阶段性检测】已知数列，欲使它的前项的乘积大于，则的最小值为 （ ）A B C D【答案】B三、易错试题常警惕易错典例：已知数列an的前n项和Sn3n22n1，则其通项公式为_易错分析：忽略考虑时情况.正确解析：当n1时，a1S13×122×112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an温馨提醒：an与Sn关系不清致误：在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：，这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n1和n2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点学科网高考一轮复习微课视频手机观看地址：http:/xkw.so/wksp