不等式的证明方法毕业论文.doc

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文不等式的证明方法Method to prove inequality姓 名： 学 号： 200907010059 学 院： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 指导老师： 完成时间： 2013年3月9日 不等式的证明方法*【摘要】不等式证明在数学中有着举足轻重的作用和地位，是进行计算、推理、数学思想方法渗透的重要题材，是数学内容的重要组成部分，在不等式的证明过程中需要用到诸多的数学思想，结合了许多重要的数学内容。在本论文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。【关键词】不等式 比较法 数学归纳法 函数Method to prove inequality*【Abstract】That inequalities in mathematics was very important role and status and is evaluated, reasoning, mathematical way of thinking is important to infiltrate into the subject is math content of the important component of the inequalities in the process needs to be used in many mathematical thought, with many important mathematical content。In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Inequality in elementary mathematical proof commonly use in comparative law, for commercial, analysis, synthesis, mathematical induction, the reduce- tion to absurdity, discriminant, function, Geometry, and so on. Inequality in higher mathematics proof often use the intermediate value theorem, Taylor formula, the Lagranga function and some famous inequality, such as : mean inequality, Kensen inequality, Johnson in- equality, Helder inequality, and so on. Inequality proof methods get more efficient and help us further explore and study the inequality proof. Through the study of these proof methods, we can solve some practical problems, develop logical reasoning ability and demonstrated the ability to abstract thinking and grow hard thinking and good at thinking of the good study habit。【Key words】inequality comparative law mathematical induction function目录1 引言32 不等式证明的基本方法42.1 比较法42.1.1 作差比较法42.1.2 作商比较法52.2 分析法52.3 综合法262.4 反证法62.5 换元法82.5.1 三角代换法82.5.2 增量换元法92.6 放缩法102.6.1 “添舍”放缩102.6.2 利用基本不等式102.6.3 分式放缩122.7 迭合法132.8 数学归纳法8142.9 构造解析几何模型证明不等式142.10 判别式法9152.11 标准化法10152.12 分解法163 利用函数证明不等式163.1 利用函数单调性173.2 利用函数的极值173.3 利用函数的凹凸性173.4 利用中值定理183.4.1 利用拉格朗日中值定理183.4.2 利用柯西中值定理2035 利用泰勒公式214 小结22参考文献：23致谢241 引言在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.在研究数学的不等式过程中，有许多的内容都十分的有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中，我们就不一一说明了，而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式.2 不等式证明的基本方法2.1 比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小比较的最直接的方法，比较法可分为作差比较法和作商比较法。2.1.1 作差比较法在比较两个实数和的大小时，可借助的符号来判断，若，则；若，则。步骤一般为：作差变形判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、应用已知定理、公式等。例2.3 已知 求证：。证明 作差 3 3由知，0又因为二次三项式的首项系数判别式 恒成立， 用作差比较法能够较直接的比较两个数的大小。2.1.2 作商比较法作商比较法依据不等式的运算性质：一般在均为正数时，若,则 ；若，则，来判断其大小。其步骤为：作商变形判断（大于1或小于1）。例2.4 设，求证：。分析 对于含幂指数类的不等式用作商比较法。证明 因为 所以 , 故有 两式均为单项式且均为正式时，用作商比较法。例 2.5 设，求证：。分析 由于，所以求证的不等式两边的值都大于零，可采用作差比较法或作商比较法。本题只给出作商法的证明过程，作商法有。证明 作商有 由知， 所以 成立。2.2 分析法从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。例3：求证证明：为了证明原不等式成立，只需证明即 ，只需证明成立原不等式成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途。2.3 综合法2证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.例4 已知：，同号，求证：.证明 因为，同号，所以 ，则 即 .2.4 反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反证法。反证法证明一个命题的思路及步骤： （1） 假定命题的结论不成立； （2） 进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾; （3） 由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的; （4） 肯定原来命题的结论是正确的。例：实数满足求证：中至少有一个负数。证明：假设都为非负数，由从而所以这与已知矛盾，所以至少一个为负数。例2.12 设，则有。分析 命题知，已知，证明成立，采用反证法。证明 假设成立，则有即有 因此 与题设命题矛盾，所以，假设不成立，故原不等式成立。例2.13 已知，求证：，至少有一个不大于。分析 本题从正面考虑情况较多，可考虑选用反证法，“小于等于”的反面是“大于”“至 少有一个”的反面是“一个也没有”。证明 假设，都大于, 因为都是小于的正数，从而， 所以 同理 由上式相加得，显然矛盾 故，至少有一个不大于。由例不难看出用反证法证明不等式的一般步骤是：（1）否定结论； （2）推理论证； （3）导出矛盾； （4）肯定结论。2.5 换元法换元法在不等式的证明中很常见的方，通过对不等式引入一个或者多个未知量（或变量），使原来的未知量（或变量）变换成新的未知量（或变量），从而更容易达到证明原有不等式的目的。常见的换元法主要有三角换元法和增量换元法。2.5.1 三角代换法三角代换法多用于条件不等式证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，根据具体问题将复杂的代数问题转化为三角问题。例6 已知：，求证：证明： 设，则；设，则所以 例2.17 已知，证明：。分析 由，联想同角三角函数间的基本关系，设，即可。证明 设，则 = = 三角代换法,多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：2.5.2 增量换元法在有对称式(任意交换两个字母，代数式不变)或给定字母顺序(如)的不等式时，考虑用增量法换元法，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。例 2.18 若，求证：。证明 令，则当且仅当，即时，等号成立。对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式，可引入一个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。若题中有，一般采用增量换元法：可以用，进行换元，如例2.18。2.6 放缩法 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。 运用放缩法证明不等式时要把握好“放缩”的尺度。2.6.1 “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项，即不等式中，通过传递性，添加或舍去某项，使得不等式的和（或积）变大或变小，以达到解题目的。例2.20已知不全为零，求证：证明 因为 同理 所以 2.6.2 利用基本不等式基本不等式公式：（当且仅当时取“”）；（当且仅当时取“”）。推广：（当且仅当=时取“”）；当， 为正数时，（当且仅当 时取“”）。把欲证不等式变形后再放缩，具体根据所证不等式的结构特征来选取所需不等式的具体形式。例2.22 已知，证明：不等式对任意正整数都成立。证明 要证 只要证 因为 ，故只要证 即只要证 因为 所以命题得证。本题通过化简整理之后，再利用基本不等式，由放大，最终得到要证的不等式。例2.23 若，且，求证：。分析 由，联想基本不等式成立的条件，把代换中的“1”， 要证不等式变为，即。亦即,发现与互为倒数，已具备基本不等式的特征。证明 因为 利用均值不等式 两端的结构、数字具有如下特征： （1） 次数相等； （2） 项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等； （3） 一边为和一边为积。 当要证的不等式具有上述特征时，考虑用基本不等式证明。2.6.3 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例2.24 已知为三角形的三边，求证： 证明 由于为正数，所以，所以又为三角形的边，故，则为真分数，则同理 ，故 综合得成立。例 2.25 已知，求证明 因为成立， 所以 =有成立。 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征，先将分式裂项，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和。若分子, 分母同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量。分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。2.7 迭合法把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证. 例7 已知：，求证: 证明： 因为，所以 ，由柯西不等式所以原不等式获证2.8 数学归纳法8对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立.例8 已知：，求证：.证明 （1）当时，不等式成立；（2）若时，成立，则=，即成立.根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立.2.9 构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决 例13 设a0，b0，ab = 1，求证：2yxxy = 02ABDCO证明：所证不等式变形为：2这可认为是点A()到直线 xy = 0的距离但因()()= 4，故点A在圆xy= 4 (x0，y0)上如图所示，ADBC，半径AOAD，即有：2，所以22.10 判别式法9通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.例11 设，且，求证：.证明 设，则代入中得 ，即 因为，所以， 即 ，解得 ，故.2.11 标准化法10形如的函数，其中，且为常数，则当的值之间越接近时，的值越大（或不变）；当时，取最大值，即.标准化定理：当为常数时，有.证明：记，则, 求导得 ，由得 ，即.又由 ,知的极大值点必在时取得.由于当时，故得不等式.同理，可推广到关于个变元的情形.例12 设为三角形的三内角，求证：.证明 由标准化定理得，当时， ， 取最大值，故 .2.12 分解法按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的.例12 ，且，求证：证明：因为 所以 3 利用函数证明不等式3.1 利用函数单调性函数单调性本身就是不等式，此方法的关键是把要证明的不等式分中值定理来证明，其关键是构造一个辅助函数，然后利用公式证明。分中值定理来证明，其关键是构造一个辅助函数，然后利用公式证明。例1 证明不等式证明：设则。故当时，>0,严格递增；当时，严格递减。又由于在处连续，则当时从而得证。3.2 利用函数的极值利用极值证明不等式的思路：由待证不等式建立函数，通过导数求出极值并判断是极大值还是极小值，再求出极大值或极小值，从而证明不等式。例14 设，求证：证明： 当时， 当时， 故 3.3 利用函数的凹凸性当所求证的不等式中出现了形如的式子时，我们可以考虑根据函数凹凸性的一些性质来证明。凹凸函数的原始定义：定义1设在区上续，如果对上任意两点恒有那么称 在上是凹函数。定义2设 在区间，上连续，如果对上任意两点 恒有那么称 在上是凸函数。关于凹凸函数的几个定理定理l 设函数为定义在上的凹函数，则对于中任意三点，恒有 成立。定理2 设函数为定义在上的凹函数，若 ，,且那么有不等式 成立。定理的应用上面所证的三个定理不仅十分重要，而且在证明不等式中有着广泛的应用，下面通过例题作一筒单说明。例16 己知： 求证：。证明：设函数 。则。由引理可知：函数 是凹函数。设则由定理2有而所以： 故3.4 利用中值定理微分中值定理将函数与导数有机地联系起来，如果所求证的不等式经过简单变形后，与微分中值定理的结构有相似性，就可以考虑利用微分中值定理来证明，其关键是构造一个辅助函数，然后利用公式证明。3.4.1 利用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理证明不等式目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的式子，再寻找机会应用进行证明。拉格朗日中值定理：设满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导，则有一点使得例 3.8 若，即，证：证明： 令，显然在区间上，根据拉格朗日中值定理有 =，因为 ， 有 即 例3.10 证明不等式：，。证明： 令 ，则在上应用拉格朗日中值定理得到 这里 ，有 因为 ()所以 即 许多证明题如例3.10都不能直接应用拉格朗日中值定理，必须先构造了函数，因此在利用其证明不等式时，如何构造辅助函数，是证明的关键。3.4.2 利用柯西中值定理柯西中值定理定义:，满足以下几个条件： (1) 在上都连续； (2) 在上都可导； (3) 和不同时为零； (4) ，则存在 使得 柯西中值定理的形式，可以看到两个函数式的比值，在移动条件下可以化成两个函数的导数的比值，我们将以微分中值定理为理论依据，通过求导，建立一个简便而有效的方法来证明不等式成立。例3.11 设，求证：证明 令， 由题设条件可知， ()上满足柯西中值定理 则 ,故 由于 ， 则 故 由此得证 本题采用了柯西中值定理证明出了不等式，不等式证明的方法多样，灵活性强，要综合题干选择适合的方法，才能快捷、简便的证明不等式。35 利用泰勒公式当所涉及命题中出现二阶或更高阶导数时，我们可以考虑使用泰勒公式证明，其关键是选择恰当的特殊点展开。例1 设在上的二阶导数连续，并且当时，求证：证明 因为在O，1上有二阶连续导数，所以可以展开为一阶泰勒公式其中 在与之间取 ，则泰勒公式为： ， (4)其中因为，式(4)减去式(3)得：又所以而故 4 小结不等式的证明一直都是基础数学的重要内容和难点，不仅要求学生系统的掌握知识的内在联系，运用所学知识解决较为复杂或综合性的问题，还要求有很强的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力，因此教师在教学上要有的放失。探索了解不等式的证明过程，发觉不等式背后蕴含的更深一步的结论，发挥创造性思维，在日后的教育教学过程中，将加深学生对不等式证明乃至对数学学科的理解。证明不等式，是没有固定的模式可以套用的，它方法灵活多变，技巧性强、综合性强，且能有效地考查学生的逻辑思维能力、运算能力、实践能力,以及运用相关的知识和方法去分析问题和解决问题的能力, 经常同一次函数、二次函数、对数函数、数列等知识结合起来考查，并多次出现在压轴题位置上。从而系统的掌握好不等式的性质，是解决不等式证明问题的基础。不等式的性质体系是逻辑推理的依据，离开了这些系统性质，推理的严密性就无从谈起。因此要反复熟悉不等式性质的每条具体内容，结合具体问题用准、用熟、用活。参考文献：1李长明,周焕山.初等数学研究.高等教育出版社,北京,1995:253-2632叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法J.数学教学研究,2005,10(3):89-91.3姚开成.中学数学不等式证明的基本方法.新疆石油教育学院学报.1989,4(6):40-434王竹霞,臧顺全.初探不等式证明的几种方法.甘肃林业职业技师学院学报.2005.5:42-445孙凤芝,李伟.不等式证明的方法探究.大庆师范学院学报.2010,30(6):40-426马雪雅.加权几何平均不等式.数学杂志.2006,26(3):319-322.7朱华伟,钱展望.数学解题策略.北京科学出版社,2009:16-22.8匡继昌.常用不等式M.济南：山东科技出版社,2004,23-34.9张新全.两个不等式的证明J.数学通报,2006,45(4):54-55.10Priestley M B ,Chao M T.Nonparameteric function fittingJ.J R Statist.Soc.（Series B）,1972,34:385-392.11 James Stewart.Calculus(Fifth Edition).Higher Education Press.2004:290-29312 刘玉琏,傅沛仁编.数学分析讲义(上册).高等教育出版社,2008:242-246 致谢在论文的准备和写作过程中，我得到了易奇志老师的悉心指导和热情帮助,特别是她敏锐的学术眼光和严谨的治学态度使我受益颇深。同时，我也要感谢我的其他老师以及同学和朋友，是他们给予我帮助，让我走过大学的风风雨雨，在那些最艰苦的日子里是他们激励我、鼓励我，让我奋发图强。我也将以更多的努力来回报他们,我相信我会做得更好！