【创新设计】高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教A版.doc

【创新设计】2014高考数学一轮复习 第三章 任意角和弧度制及任意角的三角函数训练 理 新人教A版 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解任意角的概念2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义1.考查形式为选择题或填空题2.三角函数的定义与三角恒等变换等相结合，考查三角函数求值问题，如2011年新课标全国T5等3.三角函数的定义与向量等知识相结合，考查三角函数定义的应用，如2012年山东T16等.归纳·知识整合1角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角与角的终边相同k·360°(kZ) (或k·2，kZ)探究1.终边相同的角相等吗？它们的大小有什么关系？提示：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍，相等的角终边一定相同2锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐角吗？提示：锐角是大于0°且小于90°的角，第一象限角不一定是锐角，如390°，300°都是第一象限角小于90°的角不一定是锐角，如0°，30°都不是锐角2弧度的概念与公式在半径为r的圆中分类定义(公式)1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°rad1 rad°弧长公式弧长l|r扇形的面积公式Slr|·r23任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做的正弦，记作sin x叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号正正正正负负负负正负正负口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线探究3.三角函数线的长度及方向各有什么意义？提示：三角函数线的长度表示三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负自测·牛刀小试1(教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A2k45°(kZ)Bk·360°(kZ)Ck·360°315°(kZ) Dk(kZ)解析：选C×180°360°45°720°315°，与终边相同的角可表示为k·360°315°(kZ)2(教材习题改编)若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定落在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选D由sin 0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合由tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，可知的终边只能位于第四象限3已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1B4C1或4D2或4解析：选C设扇形的弧长为l，半径为r，则解之得lr2或r1，l4，故圆心角1或4.4(教材习题改编)已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则x的值为_解析：cos ，解之得x.答案：5若点P在角的终边上，且|OP|2，则点P的坐标是_解析：角的终边落在第二象限，可设P(x，y)，其中x0，y0，由题意得即P(1，)答案：(1，)象限角及终边相同的角例1(1)写出终边在直线yx上的角的集合；(2)若角的终边与角的终边相同，求在0,2)内终边与角的终边相同的角；(3)已知角为第三象限角，试确定2的终边所在的象限自主解答(1)在(0，)内终边在直线yx上的角是，终边在直线yx上的角的集合为.(2)2k(kZ)，(kZ)依题意02k，kZ.k0,1,2，即在0,2)内终边与相同的角为，.(3)由是第三象限角，得2k2k(kZ)，24k234k(kZ)角2的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴在(3)的条件下，判断为第几象限角？解：2k2k(kZ)，kk(kZ)当k2n(nZ)时，2n2n，当k2n1(nZ)时，2n2n，为第二或第四象限角 1由所在的象限，确定所在象限的方法(1)由角的范围，求出所在的范围；(2)通过分类讨论把角写成k·360°(kZ)的形式，然后判断所在象限2已知三角函数式的符号判断角所在的象限可先根据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角所在的象限1(1)已知角2k(kZ)，若角与角的终边相同，则y的值为()A1B1C3 D3(2)已知点P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：(1)选B由2k(kZ)及终边相同角的概念知，的终边在第四象限，又与的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，cos 0，tan 0.因此，y1111.(2)选B点P(tan ，cos )在第三象限，是第二象限角.三角函数的定义例2已知角的终边上一点P(，m)(m0)，且sin ，求cos ，tan 的值自主解答由题设知x，ym，r2|OP|2()2m2(O为原点)，得r.从而sin ，r2，于是3m28，解得m±.当m时，r2，x，cos ，tan ；当m时，r2，x，cos ，tan .利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；纵坐标y；该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)2已知角的终边在直线3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值解：角的终边在直线3x4y0上，在角的终边上任取一点P(4t，3t)(t0)，则x4t，y3t，r5|t|.当t0时，即x>0时，r5t，sin ，cos ，tan ；当t0时，即x<0时，r5t，sin ，cos ，tan .综上可知，当角的终边在直线3x4y0的x>0部分时，sin ，cos ，tan ；当角的终边在直线3x4y0的x<0部分时，sin ，cos ，tan .弧度制下扇形弧长与面积公式的应用例3已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积自主解答(1)60°，R10 cm，lR10× cm.(2)扇形的周长20，2Rl20，即2RR20，SR2R(202R)R210R(R5)225，当R5时，扇形的面积最大，此时2，即2弧度时，这个扇形的面积最大(3)S弓形R2R2sin×4××4×，即弓形的面积为 cm2.若将本例(1)中的“R10 cm”改为“扇形的弦AB10 cm”求扇形的弧长l.解：由题意得sin 30°，即R10，故弧长lR10× cm. 弧度制的应用(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值记住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，(02)为圆心角，S是扇形面积3已知在半径为10的圆O中，弦AB的长为10，(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：(1)如图所示，过O作OCAB于点C，则AC5，在RtACO中，sinAOC，AOC30°，2AOC60°.(2)60°，l|r.S扇lr××10.又SAOB×10×10sin 25，S弓形S扇SAOB2550.1条规律三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦2个技巧三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧4个注意点理解角的概念、弧度制及三角函数线应注意的问题(1)第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180° rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(3)要熟记0°360°间特殊角的弧度表示(4)要注意三角函数线是有向线段. 创新交汇三角函数的定义与向量的交汇问题三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，常结合三角函数的基础知识、三角恒等变换和向量等知识综合考查，涉及的知识点较多，但难度不大典例(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为_解析因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即PCA2，则PCB2，所以PBsincos 2，CBcossin 2，所以xP2CB2sin 2，yP1PB1cos 2，所以(2sin 2，1cos 2)答案(2sin 2,1cos 2)1本题具有以下创新点(1)本题考查三角函数与向量的知识，表面看似向量问题，其实质是考查三角函数的概念问题(2)通过静止问题解决动态问题，考查了考生处理变与不变的能力、运算求解能力、应用能力和创新能力2解决本题的关键有以下几点(1)正确理解圆的滚动过程，确定圆心C的坐标；(2)正确作出辅助线，并求得BP与BC的长度；(3)正确应用向量的坐标运算求出的坐标1(2012·安徽高考)在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()A(7，)B(7，)C(4，2) D(4，2)解析：选A设从x轴正方向逆时针到向量的角为，则从x轴的正方向逆时针到向量的夹角为，这里cos ，sin .设Q坐标为(x，y)，根据三角函数的定义x10cos10××7，y10sin，即Q(7，)2如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致为()解析：选C如图取AP的中点为D.设DOA，则d2sin ，l2，故d2sin .一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1若k·180°45°(kZ)，则在()A第一或第三象限B在第一或第二象限C第二或第四象限 D在第三或第四象限解析：选A当k为偶数时，的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k为奇数时，的终边与45°角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线2点A(sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C由2 013°360°×5(180°33°)可知，2 013°角的终边在第三象限，所以sin 2 013°0，cos 2 013°0，即点A位于第三象限3已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3解析：选A由cos 0，sin 0可知，角的终边落在第二象限内或y轴的正半轴上，所以有即2a3.4若是第三象限角，则y的值为()A0 B2C2 D2或2解析：选A由于是第三象限角，所以是第二或第四象限角，当是第二象限角时，y110；当是第四象限角时，y110.5点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()A. B.C. D.解析：选A由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos，ysin.6已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是()A2 B1C. D3解析：选A设此扇形的半径为r，弧长为l，则2rl4，面积Srlr(42r)r22r(r1)21，故当r1时S最大，这时l42r2.从而2.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7若点P(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则的值为_解析：tan 300°tan(360°60°)tan 60°.答案：8(2013·辽源模拟)若三角形的两个内角，满足sin cos 0，则此三角形为_解析：sin cos 0，且，是三角形的两个内角sin 0，cos 0，为钝角故三角形为钝角三角形答案：钝角三角形9已知角的终边过点P(8m，6sin 30°)，且cos ，则m的值为_解析：r，cos ，m0，m±.m0，m.答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知角的终边过点P(3cos ，4cos )，其中，求的三角函数值解：，1<cos <0.r5cos ，故sin ，cos ，tan .11一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.解：设圆的半径为r cm，弧长为l cm，则解得则圆心角2.如图，过O作OHAB于H.则AOH1，故AH1·sin 1sin 1 cm，故AB2sin 1 cm.12角终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a0)，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sin ·cos sin ·cos tan ·tan 的值解：由题意得，点P的坐标为(a，2a)，点Q的坐标为(2a，a)所以，sin ，cos ，tan 2，sin ，cos ，tan ，故有sin ·cos sin ·cos tan ·tan ··(2)×1.1(1)把1 480°写成2k(kZ)的形式，其中02；(2)在0°720°的范围内，找出与终边相同的角解：(1)1 480°1 480°×radrad，又105×2，故1480°(5)×2 .(2)×180°72°，终边与相同的角为72°k·360°(kZ)当k0时，72°；当k1时，432°，在0°720°的范围内，与终边相同的角为72°，432°.2(1)如果点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，试判断角所在的象限(2)若是第二象限角，试判断的符号是什么？解：(1)因为点P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos 0,2cos 0，即所以为第二象限角(2)2k2k(kZ)，1cos 0,4k24k2(kZ)，1sin 20，sin(cos )0，cos(sin 2)0.0.的符号是负号3已知一扇形的圆心角为(0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C0)，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：扇形周长C2Rl2RR，R，S扇·R2·2··，当且仅当24，即2时，扇形面积有最大值.4设是第二象限角，试比较sin ，cos ，tan 的大小解：是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ，是第一或第三象限的角(如图阴影部分)，结合单位圆上的三角函数线可得：当是第一象限角时，sinAB，cos OA，tan CT，从而得，cossintan；当是第三象限角时，sinEF，cosOE，tanCT，得sincostan .综上所得，当在第一象限时，cossin tan；当在第三象限时，sincostan.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±，±的正弦、余弦、正切的诱导公式2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x.1.以选择题或填空题的形式考查利用诱导公式及同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，主要包括知角求值、知值求角和知值求值，如2012年辽宁T7等2.作为一种运用与三角恒等变换相结合出现在解答题中，主要起到化简三角函数关系式的作用.归纳·知识整合1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan .探究1.如何理解基本关系中“同角”的含义？提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin2cos21，tan 4等都是成立的，而sin2cos21就不成立2诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限即k·2(kZ)，±的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号；±的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号探究2.有人说sin(k)sin()sin (kZ)，你认为正确吗？提示：不正确当k2n(nZ)时，sin(k)sin(2n)sin()sin ；当k2n1(nZ)时，sin(k)sin(2n1)·sin(2n)sin()sin .3诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与的大小有关？提示：无关，只是把从形式上看作锐角，从而2k(kZ)，分别是第一，三，四，二，一，二象限角自测·牛刀小试1(教材习题改编)已知cos()，则sin 的值为()A±B.C. D±解析：选Dcos()cos ，cos ，sin ±±.2tan 690°的值为()A B.C. D解析：选Atan 690°tan(30°2×360°)tan(30°)tan 30°.3(教材习题改编)若tan 2，则的值为()A BC. D.解析：选C.4(教材习题改编)已知tan ，则cos sin _.解析：tan ，cos sin cos sin cos sin .答案：5计算sincostan_.解析：原式sincostansincostansincos1.答案：1同角三角函数关系式的应用例1已知是三角形的内角，且sin cos .(1)求tan 的值；(2)把用tan 表示出来，并求其值自主解答(1)法一：联立方程由得cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形内角，tan .法二：sin cos ，(sin cos )22，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos <0且0<<，sin >0，cos <0，sin cos >0.sin cos .由得tan .(2).tan ，.保持本例条件不变，求：(1)；(2)sin22sin cos 的值解：由例题可知tan .(1).(2)sin22sin cos .同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin2cos21可以实现角的正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，利用(sin ±cos )21±2sin cos ，可以知一求二(3)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.1已知sin 2sin ，tan 3tan ，求cos .解：sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29tan2.由÷得：9cos24cos2.由得sin29cos24.又sin2cos21，cos2，cos ±.诱导公式的应用例2(1)已知cos，求cos的值；(2)已知2，cos(7)，求sin(3)·tan的值自主解答(1)，.coscoscos，即cos.(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，cos .sin(3)·tansin()·sin ·tansin ·sin ·cos .利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.2(1)已知sin 是方程5x27x60的根，且是第三象限角，则()A.BC D.(2)设f()，则f_.解析：(1)选B方程5x27x60的根为x12，x2，由题知sin ，cos ，tan .原式tan2.(2)f()，f.答案：诱导公式在三角形中的应用例3在ABC中，若sin(2A)sin(B)，cos Acos(B)，求ABC的三个内角自主解答由已知得22得2cos2A1即cos A或cos A.(1)当cos A时，cos B，又A、B是三角形的内角，A，B，C(AB).(2)当cos A时，cos B.又A、B是三角形的内角，A，B，不合题意综上知，A，B，C.1三角形中的诱导公式在三角形ABC中常用到以下结论：sin(AB)sin(C)sin C，cos(AB)cos(C)cos C，tan(AB)tan(C)tan C，sinsincos ，coscossin.2求角的一般步骤求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最后求角3在ABC中，sin Acos A，cos Acos(B)，求ABC的三个内角解：sin Acos A，12sin Acos A2，sin2A1.A为ABC的内角，2A，A.cos Acos(B)，coscos B，cos B.0B，B.ABC，C.A，B，C.1个口诀诱导公式的记忆口诀奇变偶不变，符号看象限1个原则诱导公式的应用原则负化正、大化小、化到锐角为终了3种方法三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin ±cos )21±2sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)tan.3个防范应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 易误警示应用同角三角函数平方关系的误区典例(2011·重庆高考)若cos ，且，则tan _.解析依题意得sin ，tan .答案1解答本题时，常会出现以下两种失误(1)忽视题目中已知条件的范围，求得sin 的两个值而致误；(2)只注意到的范围，但判断错sin 的符号而导致tan 的值错误2由同角三角函数的平方关系求sin 或cos 时，要注意以下两点(1)题目中若没有限定角的范围，则sin 或cos 的符号应有两种情况，不可漏掉(2)若已给出的范围，则要准确判断在给定范围内sin 或cos 的符号，不合题意的一定要舍去1(2013·福州模拟)已知，tan 2，则cos _.解析：依题意得由此解得cos2，又，因此cos .答案：2(2013·泰州模拟)若，sin 2，则cos sin 的值是_解析：(cos sin )21sin 2.，cos sin .cos sin .答案：一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1是第一象限角，tan ，则sin ()A.B.C D解析：选Btan ，sin2 cos21，且是第一象限角，所以sin .2若sin，则cos()A B.C. D解析：选Bcoscossin.3(2013·安徽名校模拟)已知tan x2，则sin2x1()A0 B.C. D.解析：选Bsin2x1.4已知f()，则f的值为()A. BC D.解析：选Cf()cos ，fcoscoscos.5(2013·西安模拟)已知2tan ·sin 3，0，则sin ()A. BC. D解析：选B由2tan ·sin 3得，3，即2cos23cos 20，又0，解得cos (cos 2舍去)，故sin .6若sin ，cos 是方程4x22mxm0的两根，则m的值为()A1 B1C1± D1解析：选B由题意知：sin cos ，sin cos .(sin cos )212sin cos ，1，解得m1±，又4m216m0，m0或m4，m1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7化简_.解析：原式sin sin 0.答案：08若cos(2)，且，则sin()_.解析：由诱导公式可知cos(2)cos ，sin()sin ，由sin2cos21可得，sin ±，sin .答案：9已知sin()cos().则sin cos _.解析：由sin()cos()，得sin cos ，将两边平方得12sin ·cos ，故2sin cos .(sin cos )212sin cos 1.又，sin 0，cos 0.sin cos .答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10已知sin(3)，求的值解：sin(3)sin ，sin .原式18.11已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根sin 和cos ，(0,2)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值解：(1)原式sin cos .由条件知sin cos ，故.(2)由sin22sin cos cos212sin cos (sin cos )2，得m.(3)由知或又(0,2)，故或.12是否存在，(0，)，使等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立？若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由解：假设存在、使得等式成立，即有由诱导公式可得22得sin23cos22，解得cos2.又，或.将代入得cos .又(0，)，代入可知符合将代入得cos .又(0，)，代入可知不符合综上可知，存在，满足条件1记cos(80°)k，那么tan 100°()A. BC. D解析：选Bcos(80°)cos 80°k，sin 80°，tan 80°，tan 100°tan 80°.2sin 585°的值为()A B.C D.解析：选A注意到585°360°180°45°，因此sin 585°sin(360°180°45°)sin 45°.