【备战】高考数学（精讲 精练 精析）专题2.2 函数的基本性质试题（江苏版）（含解析） .doc

专题2 函数的基本性质【三年高考】1. 【2016高考江苏11】设 是定义在R上且周期为2的函数，在区间)上， 其中 若 ，则的值是 .【答案】【考点】分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否可以取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数分界点处的函数值.2【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P的“伴随点”为；当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是_（写出所有真命题的序列）.【答案】【解析】试题分析：对于，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故错误；对于，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以正确；设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故正确；对于，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故错误.所以正确的为序号为.考点：对新定义的理解、函数的对称性.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决3【2016高考山东理数改编】已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时， ；当 时，；当 时， .则f(6)= 【答案】2【解析】试题分析：当时，,所以当时，函数是周期为 的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.4【2016年高考北京理数】设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数的取值范围是_.【答案】，.考点：1.分段函数求最值；2.数形结合的数学思想.【名师点睛】1.分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程5【2016高考上海理数改编】设、是定义域为的三个函数，对于命题：若、均为增函数，则、中至少有一个增函数；若、均是以为周期的函数，则、均是以为周期的函数，则命题的真假是为，为【答案】假，真【解析】试题分析：不成立，可举反例, , 前两式作差，可得结合第三式，可得, 也有正确故为假，真. 考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.6【2016高考新课标2文数改编】已知函数f(x)（xR）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，（xm,ym），则【答案】m考点： 函数的奇偶性，对称性.【名师点睛】如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心.7【2016高考四川文科】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，则= .【答案】-2【解析】试题分析：因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以，所以，即，所以.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性属于基础题，在涉及函数求值问题中，可利用周期性，化函数值的自变量到已知区间或相邻区间，如果是相邻区间再利用奇偶性转化到已知区间上，再由函数式求值即可8【2014江苏，理10】已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】据题意解得9.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知是定义在上的奇函数. 当时，则不等式的解集用区间表示为 .【答案】 10【2012江苏，理10】设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若，则a3b的值为_【答案】10【解析】根据题意，可得即解得故.11【2015高考山东，文8】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为_.【答案】12.【2015高考广东，理3改编】判断下列函数的奇偶性： ：；：；：；：【答案】既不是奇函数也不是偶函数，奇函数，偶函数，偶函数【解析】记，则，那么，所以既不是奇函数也不是偶函数，依题可知依次是奇函数、偶函数、偶函数 13.【2014高考湖南卷第3题】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则_.【答案】1【解析】分别令和可得和,因为函数分别是定义在上的偶函数和奇函数,所以,即,则.14.【2014高考湖南卷第10题】已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是_.【答案】15【2014高考湖北卷理第10题】已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】当时，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示.又因为，所以的图像恒在图像的下方，即将的图像往右平移一个单位后恒在图像的下方，所以，解得.【2017年高考命题预测】纵观20142016各地高考试题，对函数性质的考查是高考命题的主线索，不管是何种函数，都要与函数性质联系起来，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性以及几方面的综合，高考中一般以选择题和填空的形式考查，或者结合导数研究函数性质的大题.单调性（区间）问题，热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式；函数单调性，此部分知识在高考命题中以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的单调性，求函数的单调区间，以及求函数值域（最值），确定参数范围，作为把关题存在.函数奇偶性与函数的周期性，此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，一般难度不大，只要会判断简单函数的奇偶性，而函数的周期性，有时和数列结合出些周期数列问题，可用归纳推理得到.即对函数单调性的考察.在函数值的比较大小，求函数的值域，解相关的不等式方面有着重要的应用.对函数奇偶性的考察，一个是图形一个是方程的形式.对函数周期性的考察，周期性主要研究函数值有规律的出现，在解决三角函数里面体现的更明显而且"奇偶性"+"关于直线x=k"对称，求出函数周期的题型逐年增加.2017年函数性质的复习，首先要在定义上下功夫，其次要从数形结合的角度认识函数的单性质，深化对函数性质几何特征的理解和运用，同时要注意以下方面：1.性质通过数学语言给出的这类问题一般没有解析式，也没有函数方程，有的是常见的函数性质语言比如:单调递增，奇函数等等，它通常和不等式联立在一起考查，处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就可以了.2.性质通过方程和不等式给出的这类问题通常是考查的抽象函数有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么.3. 性质通过解析式给出的这类问题有解析式，但考虑的方向不是代人求值问题，而是通过观察解析的特点，从而得到函数的性质，用性质去解决相关问题，考虑的性质一般是先看看函数的对称性，再看看单调性，进一步作出相关的草图就可以解决了.【2017年高考考点定位】高考对函数性质的考查有三种主要形式：一是考察单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；二是考察奇偶性，要从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；三是对称性和周期性结合，用以考察函数值重复出现的特征以及求解析式.【考点1】函数的单调性【备考知识梳理】1.单调性定义：一般地，设函数的定义域为. 区间.如果对于区间内的任意两个值当时，都有那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间如果对于区间内的任意两个值当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间2.利用图象判断函数单调性：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减【规律方法技巧】一判断函数单调性的方法：1. 定义及变形：设是函数定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量，若，则函数在该区间内单调递减；若，则函数在该区间内单调递增.常见结论: （1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；（2）函数与函数的单调性相反；（3）时，函数与的单调性相反（）；时，函数与的单调性相同（）.二单调区间的求法1.利用基本初等函数的单调区间；2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.三对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意、在所给区间内比较与的大小，或与的大小（要求与同号）有时根据需要，需作适当的变形：如或等.【考点针对训练】1. 【江苏省清江中学数学2016模拟试卷】已知偶函数在区间上单调增加，则的x的取值范围 .【答案】【解析】因为是偶函数，所以不等式得，又在上是增函数，所以，解得2.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】.【考点2】函数的奇偶性【备考知识梳理】1函数的奇偶性的定义： 对于函数定义域内定义域内任意一个，若有，则函数为奇函数；若有，那么函数为偶函数 2.奇偶函数的性质： 定义域关于原点对称； 偶函数的图象关于轴对称； 奇函数的图象关于原点对称； 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 为偶函数 若奇函数的定义域包含，则【规律方法技巧】1利用定义判断函数奇偶性的步骤：2在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否成立3通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于轴对称，则函数是偶函数4抽象函数奇偶性的判断方法：(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现)；(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；(3)找出与的关系，得出结论5已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于的方程，从而可得的解析式6已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值7奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反【考点针对训练】1. 【江苏省淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】已知函数是定义在R上的奇函数，当x<0时，那么不等式的解集是 .【答案】2.下列幂函数中：；其中既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是 .（填相应函数的序号）.【答案】【解析】函数的定义域为，所以函数不是偶函数，故函数不符合题意；函数定义域为,显然为偶函数，但在区间单调递减，所以函数不符合题意；函数定义域为R，为偶函数且在区间单调递增，故函数符合题意；函数定义域为R，为奇函数且在R上单调递增，故函数不符合题意。综上知，符合题意的幂函数为 【考点3】周期性和对称性【备考知识梳理】1周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3.关于函数周期性常用的结论(1)若满足，则，所以是函数的一个周期()；(2)若满足，则 ，所以是函数的一个周期()；(3)若函数满足，同理可得是函数的一个周期(). （4）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么（5）函数图像关于轴对称（6）函数图像关于中心对称（7）函数图像关于轴对称，关于中心对称【规律方法技巧】1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yAsin(x)，用公式T计算递推法：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期T2a.换元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，则f(t)f(t2a)，所以周期T2a2判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想【考点针对训练】1.【江苏省清江中学数学模拟试卷】设定义在R上的函数满足，若，则 .【答案】【解析】由，得，所以，即是周期函数且周期为4，所以2【江苏省通东中学2015-2016第一阶段高三数学月考试卷】定义在R上的函数满足，当时，单调递增，如果且，则与0的大小关系是 .【答案】【两年模拟详解析】1. 【淮宿连徐2016届高三第二次调研】定义在上的奇函数满足当时，（，为常数），若，则的值为 【答案】4【解析】由“定义在上的奇函数”，得，2【淮阴中学2015-2016学年度第一学期期中考试】函数的单调减区间是 .【答案】3【如东高级中学2016届高三上学期期中考试】设函数是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，则满足不等式的取值范围是_【答案】【解析】由题意得：4【扬州市20152016学年度第一学期期末检测试题】已知函数是定义在上的奇函数，当时，. 若集合，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】时，满足时，由图像知，综上，实数的取值范围为5【江苏省通东中学2015-2016第一阶段高三数学月考试卷】定义在实数集上的函数，对一切实数x都有成立，若仅有101个不同的实数根，那么所有实数根的和为 .【答案】【解析】，令，则，函数的图象关于直线对称，又仅有101个不同的实数根，必是一个根，而其他对称的根共有50对，每一对之和为，所有的实数根之和为.6【江苏省启东中学20152016学年度第一学期第一次阶段测试】函数在区间上的最大值与最小值之和是 【答案】167【江苏省清江中学数学模拟试卷】已知偶函数在区间上单调增加，则的x的取值范围 .【答案】【解析】因为是偶函数，所以不等式得，又在上是增函数，所以，解得8【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】已知函数是奇函数，当时，且，则 【答案】【解析】因为函数是奇函数，所以，因此9【江苏省淮安市2015届高三第五次模拟考试】已知函数，若对任意，均满足，则实数m的取值范围是 【答案】【解析】由可知在上为增函数，所以在R上恒成立，而，所以，所以；10【淮安市淮海中学2015届高三冲刺四统测模拟测试】设函数是定义在上的奇函数，当时，其中，若对任意的，都有，则实数的取值范围为 【答案】11【2015届江苏省盐城市八校第二次联考】函数，的奇偶性为_.【答案】奇函数【解析】函数的定义域为关于原点对称，故函数是奇函数.12.【金山中学2015学年度第一学期高三年级数学学科期中考试卷】设是上的奇函数，当时，则 .【答案】.【解析】.13.【如东中学2015届第一学期高三一周数学练习（6）】若函数是奇函数，则 .【答案】.14.【浙江省慈溪市、余姚市2015届高三上学期期中联考数学理试题】函数的图象关于_对称. 【答案】原点 【解析】 ，其定义域为（-，-2）（2，+），f（-x）=x2lg=-x2lg=-f（x），函数为奇函数，函数的图象关于原点对称.拓展试题以及解析1.已知函数，则对任意实数，与0的大小关系为_. 【答案】【解析】由已知易得是奇函数且在R上点到递增对任意实数，必与同号，即与同号，故【入选理由】本题考查函数的性质、单调性、奇偶性，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力本题初次接触会有茫然无头绪的感觉，但是能从题干提取函数性质的信息，就会有豁然开朗的感觉，此题构思巧妙，的确是一个好题，故选此题.2.若函数满足对任意，都有，如图表示该函数在区间上的图像，则（ ）【答案】3【入选理由】本题考查函数的周期性，考查数形结合思想，意在考查学生的运算能力，分析问题、解决问题的能力此题立意新，通过数形结合，找出函数值，再利用周期性求解，难度不大，体现小题综合性的高考出题方向，故选此题.3.已知，若不等式对于任意恒成立，则的取值范围为_.【答案】【解析】由，又，故设函数，则因为，所以，所以当时，故函数在上单调递增所以当时，因为对于任意，都有成立，所以对于任意，都有成立所以 【入选理由】本题考查导数与函数的单调性，利用导数求函数的最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力利用导数研究函数的单调性，是高考常考的题型，而恒成立问题高考多次考查，此题是单调性的应用，比较典型，故选此题.