《解析几何》教案.doc

授课时间 第 13 次课授课章节§3.4 空间直线的方程任课教师及职称许新斋 教授教学方法与手段课堂讲授课时安排3使用教材和主要参考书解析几何吕林根等编，高等教育出版社；解析几何吴光磊等编，人民教育出版社； 解解析几何丘维声编，北京大学出版社教学目的与要求：1 掌握空间直线的点向式方程、两点式方程的求法。2 会空间直线的标准方程、一般方程的互化教学重点、难点：重点：空间直线的各种方程的求法难点：空间直线的标准方程、一般方程的互化教学内容：§3.4 空间直线的方程一直线的点向式方程（由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程）1.直线的方向矢量： 且注.显然，任何一个与直线平行的非零矢量都为的方向矢量 .一条直线由它过的一点和它的一个方向矢量完全唯一确定。 .直线的方向矢量的坐标或与它成比例的一组数称为直线的方向数，也称为的方向。由于的方向数与的方向矢量的坐标成比例，故我们将同表以为方向矢量的直线的方向数。2.点向式方程设为一空间直线，为的一个方向矢量。取标架. 设，为上的任意点，。与共线故由空间曲线的向量式参数方程的定义知 （3.4-1）为的矢量式参数方程。其中为参数，它可取任意实数。注意为以所过点为终点的径矢。为的方向矢量。设，则，再设，则由（3.4-1）得： （3.4-2）. 称其为的坐标式参数方程。由（3.4-2）消去参数，则得 （3.4-3），称其为的标准方程或对称式方程。（3.4-1）（3.4-3）都称为的点向式方程。注.若已知直线过，方向矢量为，可立即写出的方程（3.4-2）和（3.4-3）。注.在直角坐标系下，直线的方向矢量常取单位矢量，此时的参数方程为： （3.4-7）或 （3.4-8）的对称方程为： （3.4-9）此时参数的几何意义为：，即为和的距离。注.在直角坐标系下，设为直线的方向矢量，的方向角称为的方向角。的方向余弦称为的方向余弦。由于也是的方向矢量，而的方向角为，故也可看作的方向角；也可看作的方向余弦。设为直线的方向数，则或为的方向矢量，由定义或的方向余弦即为的方向余弦。故的方向余弦与方向数之间有以下关系： （Th1.7.6）或二直线的两点式方程显然直线完全由它通过的两点唯一确定。设直线过两点，求的方程。令，取为的方向矢量. 以所过点为终点的向量为.故由直线的点向式方程：得的矢量式参数方程： （3.4-4）的坐标式参数方程为： （3.4-5）的对称式方程为： （3.4-6）方程（3.4-4）（3.4-6）都叫做的两点式方程。三直线的一般方程1. 概念：任意一条直线可看成某两个相交平面的交线。设 （3.4-11）（在仿射坐标系下的方程）由于相交，故这里满足方程组可用方程组（3.4-11）表示，称其为的一般方程。四直线的射影式方程设： （3.4-3）（在仿射坐标系下的方程）则不全为零（为的方向矢量，它非零）不妨设.将（3.4-3）改写为 ， 令，则 （3.4-12）（显然这是一种特殊的一般方程）注. 由以上讨论可见（3.4-3）表示的直线可看作（3.4-12）中两个方程表示的两个平面的交线。这两个平面通过该交线且分别平行与轴和轴，在直角坐标系下，平面与平面垂直（），平面与平面垂直。故称（3.4-12）为的射影式方程。由以上讨论可知如何将的标准方程化为射影式方程。五化直线的一般方程为标准方程的方法直线的一般方程（3.4-11）也总可化成标准方程（3.4-4）的形式，下面证明之。设的一般方程为： （3.4-11） 则因此，不全为零，否则，由得，即.由得，即.故，即，与矛盾。不失一般性，设（为的系数行列式，那么由（3.4-11）可分别消去得到的射影式方程）将（3.4-11）写成 （*）由克莱姆法则解出得：以上为的射影式方程，令，则得的标准方程： （*）注.由的标准方程（*）可知，若的一般方程为（3.4-11），则，即为的一个方向向量的坐标，即为的一组方向数。注.以上的证明给出了化直线的一般方程为射影式方程和标准方程的方法。哪两个变量的系数行列式不为零，分别消去这两个变量即得的射影式方程，再由射影式方程得标准方程。也可如下求的标准方程：不妨设，在方程（*）中取为任意指定的值（特别地可取）。解（*）得，那么为方程组（3.4-11）的一个解。点在上。再由注得一组方向数。于是由直线的点向式方程（3.4-3）得的标准方程为：。例.化直线的一般方程 为射影式方程和标准方程。解法一. 的方向数为的系数行列式 （取为自由未知量）取得 ，解得故为上一点。故的标准方程为：由 得。由 得。为的射影式方程。解法二.（2）+3（1）：（消去），（1）-（2）：（消去）为的射影式方程。或的系数行列式，为的射影式方程（既是对面又是对面的射影标面，故只有一个射影式方程）由 得 由 得 ，可写为故为的标准方程。4在直角坐标系下化一般方程为标准方程的方法设直线在直角坐标系下的一般方程为：则的一个法矢量为 的一个法矢量为，又，故可取为的方向矢量，再求得的一个点，即可得的标准方程。例 在直角坐标系下，求直线的标准方程.解：， .取为的方向矢量取得 ， 解得 那么故的标准方程为：复习思考题、作业题复习思考题：习题3.4：1（2）（4），2，3（2）（4），4（1）（3），5作业题：习题3.4：1（1）（3）（5），3（1）（3），4（2）下次课预习要点1 直线与平面的相关位置的分类及其判定2 直线与平面的夹角公式3点到直线的距离公式及其推导实施情况及教学效果分析学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日授课时间 第 14 次课授课章节§3.5 直线与平面的相关位置§3.6 空间直线与点的相关位置任课教师及职称许新斋 教授教学方法与手段课堂讲授课时安排2使用教材和主要参考书解析几何吕林根等编，高等教育出版社；解析几何吴光磊等编，人民教育出版社； 解解析几何丘维声编，北京大学出版社教学目的与要求：3 掌握直线与平面的相关位置的分类及其判定4 掌握直线与平面的夹角公式5 掌握点到直线的距离公式及其推导教学重点、难点：重点：直线与平面的相关位置的分类及其判定难点：直线与平面的夹角公式教学内容：§3.5 直线与平面的相关位置一（直线与平面相关位置的）种类1. 相交：有唯一交点2. 平行： 无交点3.直线在平面上：有无穷多个交点。二判定条件设 （*）由定义，讨论与的相互位置关系即讨论与的交点的存在性和唯一性，亦即讨论方程组（*）的解的存在性和唯一性，以下讨论之。由（1）得 （3）将（3）代入（2）得： （4）验证易见 为（4）的解为（*）的解 （）（设为（4）的一个解，将代入（3）得，此为方程组（*）的一个解。反之，设为（*）的一个解，将其代入（2）即得，即为（4）的解）另外，设是（*）的解，则是（1）的解。因此，则，即（*）的解具有的形式（）1. 与相交与有唯一交点（*）有唯一解（4）有唯一解。2. 与无交点（*）无解（4）3. 与有无数交点（*）有无数解（4）有无数解 综上，我们已证明了如下定理：Th3.5.1.(P124) 直线（1）与平面（2）的相互位置。三（以下证明一下）在直角坐标系下判定直线与平面相互位置关系的条件的几何意义。注. 为的一个方向矢量，而在直角坐标系下，的一个法矢量为，故在直角坐标系下，与相交与不垂直。与平行不在平面上。在上 且，上的点在上。四直线与平面的交角我们在直角坐标系下讨论的交角的求法。用表示的交角，当或时，；当时，；否则，定义为和在上的射影所构成的锐角（见图）可由的方向矢量和的法矢量来决定。设则因此，注：或 §3.6 空间直线与点的相关位置一相关位置的相关位置的坐标满足的方程二点到直线的距离定义3.6.1（P124）注：（P124，倒11行倒9行）在空间直角坐标系下，给顶空间一点和直线，为上一点，如图.， 复习思考题、作业题复习思考题：习题3.5：1（2）（4），4，6（2）2作业题：习题3.5：1（1）（3），2，3，5，6；习题3.6：2下次课预习要点1 空间两直线的相关位置的分类及其判定2 空间两直线的夹角公式3 两异面直线间的距离与公垂线的方程实施情况及教学效果分析学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日授课时间 第 15 次课授课章节§空间两直线的相关位置任课教师及职称许新斋 教授教学方法与手段课堂讲授课时安排3使用教材和主要参考书解析几何吕林根等编，高等教育出版社；解析几何吴光磊等编，人民教育出版社； 解解析几何丘维声编，北京大学出版社教学目的与要求：4 掌握空间两直线的相关位置的分类及其判定5 掌握空间两直线的夹角公式6 掌握两异面直线间的距离公式与公垂线的方程教学重点、难点：重点：空间两直线的相关位置的分类及其判定难点：两异面直线间的距离公式与公垂线的方程教学内容：§3.7 空间两直线的相关位置一分类 空间两直线的相关位置二判定条件设 则，为的一个方向矢量， ，为的一个方向矢量（1）与异面 不共面 （2）与共面（3）与相交与共面且与不平行 （4）/与共线且与不共线 （5）与重合三者共线 综上得：Th3.7.1. 设直线与的方程分别为，令， 则（1） 与异面（2） 与共面（3） 与相交（4） /（5） 与重合例 求通过点且与两直线 都相交的直线程。解： 设所求直线的一个方向矢量为，又因为，那么与相交，且，为的一个方向矢量， 且 即 且 与相交，且，为的一个方向矢量， 且 即 且 这样，与都相交 且 解之得：故为所求。解法二. 设所求直线为，由题意，设决定的平面为，则，且不平行，又，故，即 设决定的平面为，则，且不平行，又，故，即 ，与相交为相交平面的交线因此为所求（此方程为的一般方程）。二空间两直线的夹角设分别为空间直线的方向向量的夹角 或注意：这里为空间中任意两条直线，它们不一定相交。Th3.7.2. 在直角坐标系下，空间两直线，夹角的余弦为证：。推论：两直线，垂直三两异面直线间的距离与公垂线方程1.两直线间的距离：两直线上点的最短距离注. 显然，两相交或重合的直线之间的距离为零。两平行直线间的距离等于其中一条直线上任一点到另一直线的距离（点到直线的距离在下一节讨论）。2. 两异面直线的公垂线与公垂线的长：与两条异面直线都垂直相交的直线；两个交点间的线段长叫公垂线的长。注：异面直线的公垂线存在唯一。Th3.7.3. 两异面直线间的距离等于它们的公垂线的长。证：设异面直线的公垂线与的交点分别为。设上任一点，。分别为的方向矢量，为的一个方向矢量，为上的射影，则，因此故为上的点之间的最短距离，从而。3. 两异面直线间的距离公式（在直角坐标系下讨论）Th3.7.4. 设异面直线 则直线与之间的距离，其中的一个方向向量，.证：设与它们的公垂线分别交于，则间的距离 （由Th3.7.3的证明知）而 （据（1.7-2）故 4. 异面直线的公垂线方程设有异面直线，令为由与它们的公垂线决定的平面，则为的方位矢量，且。令为由与它们的公垂线决定的平面，则为的方位矢量，且。显然，。异面，相交（否则，重合，这样共面，这同异面矛盾）于是，为的交线，故： 其中，即为的方向矢量。例2 已知两直线，试证明为异面直线，并求间的距离与它们的公垂线。解：（1）为的一个方向矢量，为的一个方向矢量，.，为异面直线。（2）（3）公垂线的方程为： 即，亦即 （它为轴）补例 （习题3，7，9（1）复习思考题、作业题复习思考题：习题3.7：2（2），3（3），5（1），9（2）作业题：习题3.7：2（1），3（1）（2），4，5（2），6，7，8，9（2），10下次课预习要点1 有轴平面束的概念及其方程2 平行平面束的概念及其方程实施情况及教学效果分析学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日授课时间 第 16 次课授课章节§3.8 平面束任课教师及职称许新斋 教授教学方法与手段课堂讲授课时安排2使用教材和主要参考书解析几何吕林根等编，高等教育出版社；解析几何吴光磊等编，人民教育出版社； 解解析几何丘维声编，北京大学出版社教学目的与要求：3 掌握有轴平面束的概念及其方程4 掌握平行平面束的概念及其方程5 会灵活运用平面束的观点建立平面的方程教学重点、难点：重点：有轴平面束和平行平面束的方程难点：运用平面束的观点建立平面的方程教学内容：§3.8 平面束一有轴平面束1. 定义 空间中通过同一直线的所有平面的集合叫做有轴平面束。那条直线叫做平面束的轴。2. 有轴平面束的方程Th3.8.1. 若两个平面 交于一直线，则以为轴的有轴平面束的方程是： （3.8-1）其中，是不全为零的任意实数。注.Th3.8.1的意思是（3.8-1）表示以为轴的有轴平面束的中的全体平面。证：（1）证明对任意一对取定的不全为零的实数， （*）表示以为轴的有轴平面束的一个平面。将（*）改写为： （*）相交， 因此(*)中的系数,不全为零(否则与矛盾)，从而(*)是一个关于的一次方程,故它表示一个平面.因（*）与（*）同解，故（*）表示一个平面。（再证（*）表示以为轴的有轴平面束中的一个平面）为的交线上的点的坐标同时满足方程，从而也满足（*）那么，即（亦即为以为轴的平面束中的一个平面），这样，（*）表示以为轴的有轴平面束中的任意一个平面。（）证明对以为轴的平面束中的任意一个平面，我们都能确定，使的方程为（3.8-1）的形式.取。先证在（3.8-1）表示的平面的集合中有一个平面过。存在不全为零的，使不全为零的，使，则，不全为零（否则，与矛盾）不全为零的，使，从而存在，（再证的方程具有（3.8-1）的形式）由（1）的证明可知的平面过，这样都过过的平面是唯一的因此的方程为：，具有（3.8-1）的形式。例1求通过直线且与平面垂直的平面方程.解.设所求平面方程为：即.所求平面与平面垂直，从而两者的法矢垂直，即，取得所求平面方程为：，即 .例3试证两直线在同一平面上的充要条件是.证：共面于过且过为以为轴的平面束中的一个平面，同时也是以为轴的平面束中的一个平面存在不全为零的，使的方程为： （）存在不全为零的，使的方程为： （）存在不全为零的与，使平面（）与（）重合存在不全为零的与，使（）与（）中的的系数及常数项对应成比例，设比为，即） （） 存在非零解二平行平面束1. 定义 空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫做平行平面束2. 平行平面束的方程Th3.8.2. 若两个平面，为平行平面（），则方程： 表示平行平面束，平面束里任何一个平面都和平行，其中是不全为零的任意实数，且。此定理的证明方法与Th3.8.1的证明类似，故略推论 由平面决定的平面束（即与平面平行的全体平面）的方程为：，其中是任意实数（当取定一个值时，就表示与平行的一个平面）例2. 求与平面平行且在轴上的截距等于-2的平面方程.解.所求平面与平面平行（即为由平面所决定的平行平面束中的一个平面）可设的方程为：，为实数.在轴上的截距等于-2，过点.由此得： ，故的方程为：.复习思考题、作业题复习思考题：习题.：1，作业题：习题.：1（2），3，4，6，下次课预习要点 柱面的概念 柱面方程的求法 空间曲线的射影柱面实施情况及教学效果分析学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日授课时间 第 次课授课章节§4.1 柱面任课教师及职称许新斋 教授教学方法与手段课堂讲授课时安排使用教材和主要参考书解析几何吕林根等编，高等教育出版社；解析几何吴光磊等编，人民教育出版社； 解解析几何丘维声编，北京大学出版社教学目的与要求： 掌握柱面的概念和柱面方程的求法 空间曲线的射影柱面的概念教学重点、难点：重点：柱面方程的求法难点：柱面方程的推导教学内容：§4.1 柱面1. 定义 由平行于某一定方向的动直线,沿空间一条定曲线平行移动所形成的曲面称为柱面.定曲线叫做柱面的准线, 动直线的每个位置叫做柱面的母线.注: 显然，柱面的准线不唯一。2. 方程取。设柱面的准线的方程为，母线的方向数为.设为的准线上任一点，则的过的母线方程为：，且 ，由的任意性知（*） 表示的任意母线。因此，当取遍上全部点时，（*）表示的全部母线，即表示。这里为参数。设将（*）中的参数消去后所得方程为： （*），则（*）也表示，也就是说，为的方程。由以上讨论，我们得到求柱面方程的一般方法，即：在已知柱面的母线方向和准线方程的情况下，按以上步骤即可求得柱面方程。例1 已知一个柱面的准线方程为，其母线的方向数是-1，0，1，求该柱面的方程。解. 设是准线上的点，过的母线为： 且有 由得， 将代入和得， +（-2）得， 将代入（或）得所求柱面方程为：，即.例2 已知圆柱面的轴为，点在此柱面上，求这个圆柱面的方程。解法一. 的母线平行于其轴， 的母线的方向数为1，-2，-2.若能求出圆柱面的准线（可取为一个圆周），那么再运用例1的解法问题就解决了，而空间中的圆周，总可看成某一球面与某一平面的交线。由轴的方程知其过，.以为球心，以为半径的球面方程为：.过且垂直与轴的平面的方程为：， 即 .=： 为的准线 .设为上的点，则 的过的母线为： 由得， 将代入可得：由上式得 将代入得： 将代入并整理得 ：.注：圆柱面是一种特殊的柱面，在特殊的情况下，除了用一般的解法外，往往还有其它特殊的解法. 若将圆柱面看成动点到轴线等距离点的轨迹，这里的距离就是圆柱面的半径，那么例2就有下面的第二种解法.解法二 轴的方向矢量为，在轴上，在上，点到的距离 （见点到直线的距离公式的推导，P133-134） .到轴的距离为 （*）故的方程为（*）。3. 母线平行于坐标轴的柱面方程Th4.1.1 在空间直角坐标系中（或在空间仿射坐标系中），只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元（坐标）的同名坐标轴。证： 下证表示母线平行于轴的柱面.取由曲面与面的交线.考虑以为母线，轴的方向为0：0：1为母线方向的柱面的方程.设为上任一点，过的母线的为： 且 由得，将其代入消参数得 ：，即表示。又的母线平行于轴，故表示母线平行于轴的柱面.同理可证。例3. 空间曲线的射影柱面1 概念：设为空间曲线，过作母线平行于轴的柱面：.过作母线平行于轴的柱面：过作母线平行于轴的柱面：称为对面射影的射影柱面，称为在面上的射影曲线。称为对面射影的射影柱面，称为在面上的射影曲线。称为对面射影的射影柱面，称为在面上的射影曲线。因是，的交线，故 为的方程.因是，的交线，故 为的方程.因是，的交线，故 为的方程.方程（8），都称为的射影式方程.即的射影式方程是由的对两个坐标面的射影柱面的方程联立而成的方程组。2 空间曲线与坐标面射影的射影柱面的求法及空间曲线的射影式方程的求法。设的一般方程为：由消去变量可得： 由定理知表曲线平行于轴的柱面.以下说明为对面射影的射影柱面的方程，由于为母线平行于轴的柱面的方程。故只需说明柱面通过，即只要说明上的任一点在柱面上。 设为上任一点，则满足，又由于是由消去得到，故满足。故在柱面上。由定义知为对面射影的射影柱面。同理由消去变量所得方程为对面射影的射影柱面方程.同理由消去变量所得方程为对面射影的射影柱面方程.由定义，将对三个坐标面的射影柱面方程的任两个联立即得的射影式方程。例：求曲线： 对坐标面的射影柱面及其的射影式方程.解：得： 即 此为对面的射影柱面。得： 即 此为对面的射影柱面。得： 即 此为对面的射影柱面。的射影式方程为或 或注：利用空间曲线的射影式方程有利于认识空间曲线的形状。例如 由为的射影式方程知 是以下两个柱面的交线。一个是准线为面上的圆，母线平行于轴的圆柱面。另一个是准线为面上的抛物线，母线平行于轴的抛物柱面。故可知的形状如图所示。复习思考题、作业题复习思考题：习题4.1：1，3，5，6，7，9作业题：习题4.1：1（2），2，4，8（1）（4），下次课预习要点 锥面的概念 锥面的方程实施情况及教学效果分析学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日授课时间 第 18 次课授课章节§4.2 锥面任课教师及职称许新斋 教授教学方法与手段课堂讲授课时安排2使用教材和主要参考书解析几何吕林根等编，高等教育出版社；解析几何吴光磊等编，人民教育出版社； 解解析几何丘维声编，北京大学出版社教学目的与要求： 掌握锥面的概念 会求锥面的方程教学重点、难点：重点：锥面方程的求法难点：教学内容：§4.2 锥面 1. 定义 设为一空间定曲线，顶点，通过的动直线沿移动所产生的曲面称为锥面。动直线的每个位置叫做锥面的母线，定点叫做锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。注：由此定义，若给定了锥面的准线和顶点，锥面就完全确定了。但锥面的准线不唯一。实际上，和一切母线都相交的每一曲线都可作为该锥面的准线。2. 方程取，设锥面的准线：，顶点为.在的某一条母线上 使在的过的母线上 （*） 故（*）为的方程，为参数.将（*）中的参数消去，得的方程：例1. 求以原点为顶点，为准线的锥面方程.解. 设为上任意点，则过的母线为：，即 且有 将代入得： 代入得：为所求注：如图，称为二次锥面。例2. 已知一圆锥面（以圆为一条母线的锥面）的顶点为，其轴垂直于平面，母线与轴组成角，试求该圆锥面的方程.解.（因用一般方法先求锥面的一条母线比较麻烦，这里用特殊方法求解，即利用已知条件和曲面的方程的定义求解）设为所求曲面上任一点，令为的一个方向向量（在直角坐标系下）. .故即为所求。注： 因圆锥面是一种特殊的锥面，上面的解法是一种解圆锥面的特殊方法，至于先求出圆锥面的准线，再利用顶点与准线求该圆锥面的一般方法，请同学们去完成。（提示：先求到的距离，作以为球心，半径的球面以与的交线为的准线）3. 关于锥面的一个定理（1）三元次齐次函数： 设为实数，对函数，若有，（这里的取值应使有确定的意义。例如当是，）则称为三元次齐次函数.例如 为三元2次齐次函数.（2）三元次齐次方程：，其中为三元次齐次函数。注. 以上两个概念可推广到个变量的情形.（3）三元齐次方程的意义Th4.2.1 一个关于的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。证： 由齐次方程的定义有.当时有，故曲面：过原点设为上非原点的任意点，则（满足即）.直线的方程为 （直线过原点，为其方向数），代入得，即直线上的所有点的坐标满足曲面的方程.因此直线在曲面：上，故曲面：是由这种通过坐标原点的直线组成，即它是以原点为顶点的锥面。注. 在特殊情况下，关于的齐次方程可能只表示原点。例如。这样的曲面，长称为有实顶点的虚锥面。推论. 关于的齐次方程 （*）表示顶点在的锥面。证. 作坐标变换，则（*）化为 为齐次方程，故表示以为顶点的锥面。从而表示顶点在的锥面。复习思考题、作业题复习思考题：习题1.3：1，4作业题：习题4.2：2，3，5，6下次课预习要点 旋转曲面的概念及其方程 椭球面的定义、几何性质、形状实施情况及教学效果分析学院审核意见 学院负责人签字 年 月 日授课时间 第 19 次课授课章节§4.3 旋转曲面§4.4 椭球面任课教师及职称许新斋 教授教学方法与手段课堂讲授课时安排3使用教材和主要参考书解析几何吕林根等编，高等教育出版社；解析几何吴光磊等编，人民教育出版社； 解解析几何丘维声编，北京大学出版社教学目的与要求： 掌握旋转曲面的概念及其方程的求法 掌握椭球面的定义、几何性质、形状 学会平行截割法教学重点、难点：重点：旋转曲面的方程的求法；椭球面的形状；平行截割法难点：旋转曲面的方程的求法教学内容：§4.3 旋转曲面一.有关概念1. 旋转曲面及其母线与轴 在空间，一条曲线绕一定直线旋转一周而成的曲面叫做旋转曲面。叫做的母线，称为的的旋转轴，简称为轴。例如，球面可视为半圆周绕直径旋转而成的旋转曲面。另外，圆锥面，圆柱面都为旋转曲面。2.纬圆与经线： 设为旋转曲面的母线上的任一点，在绕轴旋转时，也绕旋转而形成一个圆，称其为的纬圆或纬线。以为边界的半平面与的交线称为的经线注. 的纬圆实际上是过母线上的点且垂直于轴的平面与的交线。的所有纬圆构成整个。 的所有经线的形状相同，且都可以作为的母线。而母线不一定是经线，这里因为母线不一定为平面曲线，而经线为平面曲线。二. 方程在直角坐标系下，设旋转曲面的母线为，的轴为，这里为上一点，为的方向数。在的某个纬圆上 ，使在的过的纬圆上 的过的纬圆可看成：过且垂直于的平面：与以为心，为半径的球面：的交线。故有，使 且 （由到消去参数）故为的方程。例1 求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程.解. 设，旋转轴过.过的纬圆方程为： 在母线上， （*）由（*）得 （3）将（3）代入（1）得：，即 （）将（）代入（）得：（）将（）代入（）得：即：.三特殊情形下的方程为方便起见，取旋转曲面的某一条经线（显然为平面曲线）作为的母线。取直角坐标系：把母线所在的平面取作坐标面，而旋转轴取做坐标轴。这时的方程具有特殊的形式。设旋转曲面的母线，旋转轴为：，设，则过的纬圆为：且由（），（），（）得：（）将（）代入（）得：即母线为，旋转轴为轴的旋转曲面的方程为：类似地，母线为，旋转轴为轴的旋转曲面的方程为：.对于其它坐标面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其方程可类似求出。这样，我们就得到如下规律：当坐标平面上的曲线绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，所得旋转曲面的方程可如下得到：将曲线在坐标面里的方程中的与旋转轴同名的坐标保持不变，而以其它两个坐标的平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。例如，为由面上的绕轴所得，则的方程为：。例.例.§4.4 椭球面1. 定义 在直角坐标系下，由方程 （4.4-1）所表示的曲面叫椭球面，或称椭圆面。方程（4.4-1）叫做椭球面的标准方程。其中为任意的正常数。通常假设。2.几何性质（1）对称性 若点满足（4.4-1），则关于面的对称点也满足（4.4-1）。因此椭球面（4.4-1）关于面对称。同理椭球面（4.4-1）关于面和面都对称。椭球面的对称平面称为它的主平面。若点满足（4.4-1），则的关于轴的对称点也满足（4.4-1）。故椭球面（4.4-1）关于轴对称。同理，椭球面（4.4-1）关于轴和轴也对称。椭球面的对称轴称为它的主轴。若点满足（4.4-1），则它的关于坐标原点的对称点也满足（4.4-1）。因此椭球面（4.4-1）关于坐标原点对称。椭球面的对称中心称为它的中心。（2）顶点，轴及半轴（P159，正2行P159，正15行）椭球面与轴的交点为：（3）范围：（P159，正16行正19行）（4）形状：（利用所谓平行截割法讨论）（P159倒7行P160）3. 参数方程（*） ，其中为参数证：对，截线方程为：表为 令，则 当时，分取故得