③导数的实际应用课后限时作业.doc
课后限时作业（十四）（60分钟，150分）(详解为教师用书独有)A组一、选择题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）1.如果函数y=f(x)的图象如下图，那么导函数y=f(x)的图象可能是 ( )解析：如图，由y=f(x)图象知，当x<时，f(x)递增，故f(x)>0;在(,0)上，y=f(x)递减，故f(x)<0;在x=0处y=f(x)的切线与x轴平行，故f(0)=0;在(0,)上，y=f(x)递增，故f(x)>0;在x>时,y=f(x)递减，故f(x)<0.综上可知，A项符合题意.答案：A2. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为()A.B.C.D2解析：设底面边长为x，则表面积Sx2V(x0)，S(x34V)令S0，得唯一极值点x.答案：C3. 以长为10的线段AB为直径作圆，则它的内接矩形面积的最大值为 ()A10 B15 C25 D50解析：设矩形的长和宽分别为x、y，面积为S.则Sxy.又因为矩形内接于圆，则x2y2102100.所以Sx，S2x2(100x2)100x2x4，令S20，则x250.所以当x250时，S502，所以S最大50.故选D.答案：D4. 二次函数yf(x)的图象过原点，且它的导函数g(x)f(x)的图象是如图所示的一条直线，则yf(x)的图象的顶点在 ()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：由题意分析知，设f(x)ax2bx，又g(x)f(x)2axb的图象为已知过一、二、三象限的一条直线所以有a>0，b>0，则 <0，又二次函数f(x)ax2bx开口向上，所以顶点在第三象限答案：C5. 设f(x)、g(x)在a，b上可导，且f(x)>g(x)，则当a<x<b时，有 ()Af(x)>g(x)Bf(x)<g(x)Cf(x)g(a)>g(x)f(a)Df(x)g(b)>g(x)f(b)解析：因为f(x)>g(x)，所以f(x)g(x)>0，所以函数f(x)g(x)为增函数又因为a<x<b，所以f(x)g(x)>f(a)g(a)，移项得f(x)g(a)>g(x)f(a)答案：C6. 已知曲线f(x)xn(n为正偶数)，若f(2a)n，则以aa为半径的球的表面积为()A16 B8 C D8解析：由f(x)nxn1，f(2a)n，所以有n·(2a)n1n，即(2a)n11，所以a，所以raa，S表4r28.答案：B二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）7. 圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的高为 .解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则S2r22rh，则hr.Vr2hr2r3.令V3r20，则r.代入可得h.答案：8. 电动自行车的耗电量y与速度x满足的关系式为yx3x240x(x0)为使耗电量最小，则速度应定为 .解析：由yx239x400得x1或40.当0<x<40时，y<0；当x>40时，y>0.所以当x40时，y有最小值答案：409.某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元）之间的关系式为，且生产x吨的成本为R=50 000+200x元，则当利润达到最大时，该厂每月应生产 吨产品.解析：当月产量为x吨时利润为令，解得 (舍去）.因为f(x)在0，+)内只有一个极大值点x=200，故它就是最大值点.答案：20010.已知函数在R上为单调减函数，则实数a的取值范围是 .解析：,由题设条件知在R上恒成立，即恒成立，所以,所以.答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）11. 用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积解：设容器的短边长为x m，则另一边长为(x0.5) m，高为3.22x.由3.22x>0和x>0，得0<x<1.6.设容器的容积为y m3，则有yx(x0.5)(3.22x)(0<x<1.6)，整理得y2x32.2x21.6x，所以y6x24.4x1.6.令y0，有6x24.4x1.60，即15x211x40，解得x11，x2(不合题意，舍去)，所以高3.221.2，容积V1×1.5×1.21.8，高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m3.12.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）解：设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则 (x10,xN*),.令=0得x=15.当x>15时，>0;当0<x<15时，<0,因此，当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2 000.答：为了楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.B组一、选择题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)1. 球的直径为d，其内接正四棱柱(底面为正方形且侧棱垂直于底面的四棱柱)体积最大时的高为 ()A.d B.d C.d D.d解析：设正四棱柱的高为h，底面边长为x，如图是其组合体的轴截面图形则ABx，BDd，ADh，因为AB2AD2BD2，所以2x2h2d2，所以x2.又Vx2·h(d2hh3)，V(h)d2h2，令V(h)0，得hd或hd(舍去)故应选C.答案：C2.向高为H的水瓶注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是 ( )解析：当h=时，体积超过一半.答案：B二、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）3.如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.解析：设底面边长为x时，其容积最大，所以 (0<x<1),所以令,则.当x变化时,V,V的变化情况如下表： +0-递增极大值递减所以当时，其容积最大.答案：4. 将周长为2l的等腰三角形，绕其底边旋转一周，则使这种旋转体体积最大的等腰三角形的底边长是 .解析：设底边为2x，腰为lx，则V(x)x(l22lx)令V(x)(l24lx)0，得x.由问题的实际意义知这就是最大值点因此，当体积最大时，等腰三角形的底边长为2x，即.答案：三、解答题（本大题共2小题，每小题14分，共28分）5.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)3 700x45x210x3(单位：万元)，成本函数为C(x)460x5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)(提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？分析：建立函数模型，用导数求最值的方法求解解：(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23 240x5 000(xN*，且1x20)MP(x)P(x1)P(x)30x260x3 275(xN*，且1x19)(2)P(x)30x290x3 24030(x12)(x9)，因为x>0，所以当P(x)0时，x12，所以当0<x<12时，P(x)>0.当x>12时，P(x)<0.所以x12时，P(x)有最大值即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大(3)MP(x)30x260x3 27530(x1)23 305.所以，当x1时，MP(x)单调递减，所以单调递减区间为1,19，且xN*.MP(x)是减函数的实际意义为随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少6. 有一块边长为4的正方形钢板，现对其进行切割、焊接成一个长方体无盖容器(切、焊损耗不计)有人应用数学知识作了如下设计：如图(a)，在钢板的四个角处各切去一个小正方形，剩余部分围成一个长方体，该长方体的高为小正方形的边长，如图(b)(1)请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1；(2)由于上述设计存在缺陷(材料有所浪费)，请你重新设计切焊方法，使材料浪费减少，而且所得长方体容器的容积V2V1.解：(1)设切去的正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面的边长为42x，高为x，所以V1(42x)2x4(x34x24x)(0x2)所以V14(3x28x4)令V10，得x1，x22(舍去)而V112(x2)，又当0x时，V10；当x2时，V10.所以当x时，V1取最大值为.(2)重新设计方案如下：如图，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图，将图焊成长方体容器新焊成的长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V23×2×16，显然V2V1.故第二种方案符合要求
