[状元桥]高三数学（文）二轮复习教师用书：专题十一　空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

专题十一空间点、直线、平面之间的位置关系(见学生用书P67)(见学生用书P67)1空间两直线有相交、平行、异面三种位置关系2线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行3线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直4面面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行面面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(见学生用书P68)考点一平面的基本关系考点精析1空间中，两条直线有相交、平行、异面三种位置关系2直线与平面的位置关系有：直线在平面上、直线与平面相交、直线与平面平行3两个不同平面的位置关系有：相交、平行例 11(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()Al与l1，l2都不相交Bl与l1，l2都相交Cl至多与l1，l2中的一条相交Dl至少与l1，l2中的一条相交考点：空间中直线与直线之间的位置关系分析：根据条件确定相应的位置关系，再对照选项确定答案解析：若l1，l2与l都不相交，则l1l2与直线l1和l2是异面直线矛盾，所以选项A错误若l1l，l2与l相交，则l1与l2异面若l1，l2与l都相交，则l1与l2异面或相交故l至少与l1，l2中的一条相交，故选D.答案：D点评：本题考查了空间中直线与直线的位置关系，考查了空间想象能力，属于中档题例 12(2015·北京卷)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积考点：直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定和性质，三棱锥的体积等分析：(1)利用线面平行的判定定理证明；(2)利用面面垂直的性质定理与判定定理证明；(3)利用等体积变换法将其转化为三棱锥CVAB的体积求解解析：(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为MO平面MOC且VB平面MOC，所以VB平面MOC. (2)因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB，所以平面MOC平面VAB. (3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于×OC×SVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.点评：本题考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定和性质，等体积法求三棱锥的体积等知识，考查了空间想象能力和推理论证能力规律总结空间线面位置关系的判定问题是历年高考的热点问题，这类问题难度不大，以容易题或中档题为主，主要是选择、填空题解决翻折问题的注意事项：(1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决变式训练【11】 (2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：l1，l2是异面直线说明l1，l2既不平行，也不相交，而l1，l2不相交时，l1，l2可能平行，不一定异面，p是q的充分不必件条件答案：A考点二空间直线、平面位置关系的证明考点精析1证明线线平行的常用方法(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行；(2)利用平行四边形进行转换；(3)利用三角形中位线定理证明；(4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明2证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行；(2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行3证明线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直；(2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直；(3)利用教材中常见结论，如：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等4证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行5证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决例 21(2015·湖南卷)如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点(1)证明：平面AEF平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥FAEC的体积考点：空间线面、面面垂直关系的证明，直线与平面所成的角以及三棱锥的体积的计算分析：(1)要证明平面AEF与平面B1BCC1垂直，只要证明平面AEF内的直线AE与平面B1BCC1垂直即可，要证明直线AE与平面B1BCC1垂直，只要证明AE与BC及BB1垂直即可；(2)底面AEC的面积易求，为求三棱锥的体积，只要求出FC的值即可解析：(1)证明：因为三棱住ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AEBB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AEBC.因此，AE平面B1BCC1.而AE平面AEF，所以平面AEF平面B1BCC1.(2)设AB的中点为D，连接A1D，CD.因为ABC是正三角形，所以CDAB.又三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CDAA1.因此CD平面A1ABB1，于是CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角由题设，CA1D45°，所以A1DCDAB.在RtAA1D中，AA1，所以FCAA1.故三棱锥FAEC的体积VSAEC·FC××.点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，三棱锥体积的求法，正确运用判定定理、体积公式是求解的关键规律总结空间中的平行与垂直关系这部分知识概念性比较强，是每一年高考考查立体几何的重点，试题特点是融推理论证于几何量的计算中，以推理论证为主；融线面关系于立体图形中，以线面的分析为主，试题主要体现了立体几何的通性通法，突出了化归、转化等思想方法的考查在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直变式训练【21】 (2015·湖北卷)九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE. (1)证明：DE平面PBC. 试判断四面体EBCD是否为鳖臑？若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；(2)记阳马PABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求的值解析：(1)证明：因为PD底面ABCD，所以PDBC. 由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BC平面PDC. 因为DE平面PCD，所以BCDE. 又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC. 而PCBCC，所以DE平面PBC. 由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是BCD，BCE，DEC，DEB.(2)由已知，PD是阳马PABCD的高，所以V1SABCD·PDBC·CD·PD.由(1)知，DE是鳖臑DBCE的高，BCCE，所以V2SBCE·DEBC·CE·DE.在RtPDC中，因为PDCD，点E是PC的中点，所以DECECD，于是4.考点三空间角的计算考点精析1求解异面直线所成的角时要注意角的取值范围，用定义法所作出的角有可能是所求角的补角，故可直接利用cos |cos |来处理最后的结果2线面角求解的关键在于确定平面的垂线，然后将其转化为直角三角形的内角求解，也可转化为点到平面的距离d和斜线段的长度l的比值(即线面角的正弦值)求解3二面角的求解应先作出二面角的平面角，然后转化为解三角形的问题，也可直接建立空间直角坐标系转化为两个平面的法向量的夹角求解，但要注意两个角之间的关系，两者可能相等，也可能互补例 31 (2014·全国大纲卷)已知二面角l为60°，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为()A. B.C. D.考点：异面直线及其所成的角分析：首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线AB与CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案解析：如图，过A点作AEl，使BE，垂足为E，过点A作AFCD，过点E作EFAE，连接BF，ABl，BAE60°，又ACD135°，EAF45°，在RtBEA中，设AEa，则AB2a，BEa，在RtAEF中，则EFa，AFa，在RtBEF中，则BF2a，异面直线AB与CD所成的角即是BAF，cos BAF.答案：B点评：本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题规律总结以空间角的计算为载体考查直线与平面的位置关系是历年高考命题的热点问题，其中理科近几年对空间角计算的考查有意向空间向量倾斜(即用空间向量方法简单些)，但有时也仅考查几何综合法(如本题)对异面直线所成角的考查以选择题、填空题为主，对直线与平面所成角和二面角的考查一般以解答题为主，难度为中低档试题变式训练【31】 如图所示，四棱锥PABCD中，ABCBAD90°，BC2AD，PAB和PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成的角大小为()A90° B75°C60° D45°解析：如图所示，延长DA至E，使AEDA，连接PE，BE.ABCBAD90°，BC2AD，DEBC，DEBC.四边形CBED为平行四边形，CDBE.PBE就是异面直线CD与PB所成的角，在PAE中，AEPA，PAE120°，由余弦定理得PEAE.在ABE中，AEAB，BAE90°，BEAE.PAB是等边三角形，PBABAE，来源:学科网PB2BE2AE22AE23AE2PE2，PBE90°，故选A.【答案】A【32】 (2015·浙江卷)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90°，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点(1)证明：A1D平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解析：(1)设E为BC的中点，由题意得A1EAE.因为ABAC，所以AEBC.故AE平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DEB1B且DEB1B，从而DEA1A且DEA1A，所以AA1DE为平行四边形于是A1DAE.又因为AE平面A1BC，所以A1D平面A1BC.(2)作A1FDE，垂足为F，连接BF.因为A1E平面ABC，所以BCA1E.因为BCAE，所以BC平面AA1DE.所以BCA1F，则A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角由ABAC2，BAC90°，得EAEB.由A1E平面ABC，得A1AA1B4，A1E.由DEBB14，DA1EA，DA1E90°，得A1F.所以sin A1BF.(见学生用书P72)例 如图，在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M、N分别为AB、SB的中点(1)证明：ACSB；(2)求二面角NCMB的正切值；(3)求点B到平面CMN的距离考场错解：第(2)问：过N作NFCM，过F作FECM交BC于E点，则NFE为二面角NCMB的平面角(此题只做到此处，因为不知E、F的位置，NFE等于多少计算不出来)专家把脉：求二面角的大小时，只顾用定义作出二面角的平面角，给计算带来麻烦或根本就算不出来，所以一般用三垂线定理来作二面角的平面角，就是便于计算对症下药：(1)如图，取AC中点D，连接SD，DB，SASC，ABBC，ACSD，且ACBD，AC平面SDB.又SB平面SDB，ACSB.(2)取BD的中点E，连接NE，过E作EFCM于F，连接NF，平面SAC平面ABCD，SDAC，SD平面ABCD，又N、E分别为SB、BD的中点，NESD，NE平面ABC，又EFCM，NFCM，NFE为二面角NCMB的平面角又NESD，在正ABC中，由平面几何知识可求得EFMB，在RtNEF中，tan NFE2，二面角NCMB的正切值是2.(3)在RtNEF中，NF，SCMNCM·NF，SCMBBM·CM2.设点B到平面CMN的距离为h，VBCMNVNCMB，NE平面CMB，SCMN·hSCMB·NE，h，即点B到平面CMN的距离为.专家会诊：空间的各种角是对点、直线、平面所组成的空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，空间角的度量都是转化为平面角来实现的，要熟练掌握空间角转化为平面角的常用方法，为了实现这种转化，一是靠经验和知识的积累；二是利用识图和画图的训练；三要以推理为主要依据，求角的一般步骤是：(1)找出或作出要求的角；(2)证明它符合定义；(3)在某一三角形中进行计算，得结果，当然在解选择或填空题时，一些间接方法也经常用(见学生用书P137)一、选择题1已知m，n为不同的直线，、为不同的平面，则下列说法正确的是()Am，nmn Bm，nmnCm，n，nm Dn，n解析：m，nmn错误的原因为n也可能在内，所以A不正确m，nmn错误的原因为n也可能与m都在平面内，也可能n，所以B不正确m，n，nm错误的原因为，也可能是相交平面，所以C不正确只有D是正确选项答案：D2(2014·福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点其中是真命题的是()A B C D解析：由直线a，b异面，得：若存在平行于a的平面使b，则ba，而a与b不一定垂直，故不正确；空间中至少有一个平面同时和两条异面直线平行，所以一定存在平行于a的平面，使b，故正确；由a，b是异面直线，只过b的平面至少有一个与a平行，所以一定存在平行于a的平面使b，故正确；由a，b是异面直线，只过b上一定点，有无数个平面与a平行，所以一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点，故正确答案：D3(2015·长沙模拟)用a，b，c表示空间中三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：若ab，bc，则ac；若ab，ac，则bc；若a，b，则ab；若a，b，则ab.其中真命题的序号是()A B C D解析：若ab，bc，则ac或a与c相交或a与c异面，所以是假命题；在空间中，平行于同一直线的两条直线平行，所以是真命题；若a，b，则ab或a与b相交或a与b异面，所以是假命题；若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以是真命题，故选D.答案：D4设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，) C(1，) D(1，)解析：设四面体的底面是BCD，BCa，BDCD1，顶点为A，AD.在三角形BCD中，因为两边之和大于第三边可得：0<a<2.取BC中点E，则易知直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AEED.两边之和大于第三边，<2，解得0<a<(负值0值舍)由得0<a<.答案：A5(2015·九江模拟)如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC.同理，DEAC.由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.答案：C6(2014·黄山一模)设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内；乙：直线l、m中至少有一条与平面相交；丙：平面与平面相交当甲成立时()A乙是丙的充分而不必要条件B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件D乙既不是丙的充分条件也不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内”时，若“l、m中至少有一条与平面相交”，则“平面与平面相交”成立；若“平面与平面相交”，则“l、m中至少有一条与平面相交”也成立答案：C7(2014·杭州模拟)关于直线m，n与平面，有下列四个命题：若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn.其中真命题的序号是()A BC D解析：对于，m，n，且，则直线m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故错；对于，设l，过内一点P作PMl，因为，所以PM，又因为n，所以PMn，又知m，PM，所以mPM，因为mn，故正确；对于，设过n的平面为，且a，则有an，由条件m，知m，又，所以ma，因为mn，故正确；对于，n，且m，则m与n相交、异面、平行均有可能，故错误因此真命题的序号为，选C.答案：C8(2015·黄冈模拟)如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，P为面ABCD上一动点，且tan PA1A2tan PD1D，则点P的轨迹是()A椭圆的一部分B双曲线的一部分C抛物线的一部分D圆的一部分解析：在RtPAA1中，tan PA1A，在RtPDD1中，tan PD1D. AA1DD1，tan PA1A2tan PD1D， PA2PD，在平面ABCD内，建立适当坐标系，设出P的坐标，化简整理可知，点P的轨迹是圆，又因为点P为平面ABCD上一动点，故点P的轨迹是圆的一部分，故选D.答案：D9(2014·广西卷)已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：如图，取AD中点F，连接EF，CF，E为AB的中点，EFDB，则CEF为异面直线BD与CE所成的角，ABCD为正四面体，E、F分别为AB、AD的中点，CECF.设正四面体的棱长为2a，则EFa，CECFa.在CEF中，由余弦定理得：cos CEF.答案：B二、填空题10如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF，则下列结论中错误的是_ACBE；EF平面ABCD；三棱锥ABEF的体积为定值；异面直线AE，BF所成的角为定值解析：AC平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D，ACBE.故正确B1D1平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，EF平面ABCD.故正确中由于点B到直线B1D1的距离不变，故BEF的面积为定值又点A到平面BEF的距离为，所以VABEF为定值故正确当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是OD1A，当E在上底面的中心时，F在B1的位置，异面直线AE，BF所成的角是OEA，显然两个角不相等，故不正确答案：11在正方体ABCDABCD中，点P在线段AD上运动，则异面直线CP与BA所成的角的取值范围是_解析：连接CD，则异面直线CP与BA所成的角等于DCP，当P点与A点重合时，当P点无限接近D点时，趋近于0.由于是异面直线，故0.答案：12如图所示，AB，CD，AC，BD分别交于M，N两点，2，则_解析：如图所示，连接AD，交平面于O，连接OM，ON.AB，CD，AC，BD分别交于M，N两点，OMCD，ONAB，2，2.答案：2三、解答题13(2015·山东卷)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.证明：(1)(方法1)连接DG，CD.设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC.所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD.又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.(方法2)在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF.所以四边形HBEF为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.14(2015·重庆卷)如图，三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，ABC，点D，E在线段AC上，且ADDEEC2，PDPC4，点F在线段AB上，且EFBC.(1)证明：AB平面PFE；(2)若四棱锥PDFBC的体积为7，求线段BC的长解析：(1)证明：如图，由DEEC，PDPC知，E为等腰PDC中DC边的中点，故PEAC.又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PE平面PAC，PEAC，所以PE平面ABC，从而PEAB.因ABC，EFBC，所以ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE，EF都垂直，所以AB平面PFE.(2)设BCx，则在直角ABC中，AB，从而SABCAB·BCx.由EFBC知，得AFEABC，故，即SAFESABC.由ADAE，SAFDSAFE··SABCSABCx，从而四边形DFBC的面积为SDFBCSABCSAFDxxx·.由(1)知，PE平面ABC，所以PE为四棱锥PDFBC的高在RtPEC中，PE2.体积VPDFBC·SDFBC·PE·x··27，故得x436x22430，解得x29或x227，由于x>0，可得x3或x3，所以，BC3或BC3.15(2015·全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120°，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解析：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120°，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积VEACD×AC·GD·BEx3.故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.