2620.整体思想的解题策略.doc

整体思想的解题策略人们在考虑问题时，通常把一个问题分成若干个简单的小问题，尽可能地分散难点，然后再各个击破，分而治之。本文所要介绍的解题方法与上述习惯方法恰恰相反。在解题时，细察命题的外形，把握问题的特征，展开联想，将各个局部因素合而为一，创设整体或整体处理，从而达到问题的解决，此方法称为整体思想方法。这种方法运用得当，常能化难为易，使解题思路出现豁然开朗的情景，达到快捷、简便的解题目的。一、构造整体在解题中，注意到问题的特征、创设整体，从而使问题得到解决。例1：证明×××证：设M=×××，N=×××，显然MN则MN=(×××)(×××)=M2MN M2 故M评注：本解法抓住M，N这两个整体，使问题得到解决。本题还可以用数学归纳法证明，但显然较为繁琐。例2：设三个方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共实数解，求实数a、b、c之间的关系。解：设三个方程的公共实数根为x0，则ax02+bx0+c=0 bx02+cx0+a=0 cx02+ax0+b=0 + (a+b+c)( x02+x0+1)=0x02+x0+1=(x0+)+0，a+b+c=0评注：本题欲求a、b、c关系，似乎难以下手，若能构造a+b+c这一整体，使问题的解决豁然开朗。二、整体求解解题过程中，视所求问题为一整体，根据条件的结构特征，合理变形，直接得到问题的答案。例3：设有四个数,其中每三个数之和分别为22、20、17、25，求此四个数。解：设此四个数之和为x，则得方程(x22)+(x20)+(x17)+(x25)=x，解得x=28四数依次为8、3、6、11评注：本题解法考虑到四数之和问题的整体，可使问题中四个数变为只是一个未知数，从而使问题得到有效的解决。本题若按通常解题习惯，须分别设四个数，然后列出四个方程所组成方程组，解题较繁。例4：已知2sincos=1，求的值解：设=k，则(1k)sin+(1+k)cos=k1又2sincos=1 解得sin= cos=(k3)由()2+()2=1 解得k=0或k=2故原式的值为0或2评注：本解法利用=k这一整体进行求解，能简捷解决问题。本题若由已知条件2sincos=1及sin2+cos2=1联立解得sin、cos的值，再代入求值，计算较为繁琐。例 5、三棱锥S-ABC的个侧面互相垂直，它们的面积分别是6m2,4m2,和3m2，求它的体积。S解 如图，设S-ABC的三侧棱长分别为xm,ym,zm,体积为Z，则由题意得CA xy=6, yz=4, zx=3B得(xyz)2=(24)2, 则V=xyz=×24=4m3注 本题没用解方程组的方法，先求x,y,z，而将xyz视为一整体求值，故简捷而巧妙。例 6、球面内接圆台的高为h，球心到母线的距离为p,则球内接圆台的侧面积DCCDS=2ph分析与证明：如图，需求的BABA是S=(r+r)l ,但r,r,l均未知，下面寻找它们与已知量h,p的关系。为此作辅助线，将r,r,l,h,p都集中到有联系的图形之中。（1） 作DDAB DD=h（2） 作EOAD E为AD的中点（垂直于弦的半径平分弦）（3） 作EEOO EE=在Rt DDA和Rt EEO中DAOEDDEE ADD=OEEADD，OEE为锐角DDAEEO 即 （r+r）l=2ph 代入得 S=2ph注 按常规解法，必须把r,r,l分别用p,h表示出来，但这样做相当困难，且几乎是不可能的。此时我们便该调整思路，用整体思想，将（r+r）l视为一整体来求值，这样问题便巧妙的得到解答。三、整体换元在解题中，往往巧设某一整体为辅助元或未知元，或将某未知元整体用另一些未知元整体代换，寻求解题思路。例7：等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若=求的值。解：，=，评注：本解法是根据等差数列的性质，m、n、p、qN，且m+n=p+q时，则am+an=ap+qq，再将其作为一个整体代入，灵活又简便。例8、：已知f（x）=x5+ax3+bx- 8，且f（- 2）=10，求f（2）解： 设g（x）=f（x）+8=x5+ax3+bx注意到g（x）= -g（- x），即g（x）是奇函数，因此， g（2）=- g（- 2）f（2）=g（2）- 8=- g（- 2）- 8=- f（- 2）+8- 8=- 26 评注：本题将f(- 2)看作一个整体，注意到g（x）=f（x）+8= x5+ax3+bx是一个奇函数。使计算过程大大简化。将x5+ax3+bx看作整体而用g（x）代换，过程简捷明了。如用一般思路则会一筹莫展,这是因为，其一，a,b未知,其二，要解5次方程,而5次方程无法解.四、整体变形解题中，将条件等式看成一个整体，根据题目特点进行适当变形，以助解题进行。例9：求函数f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+80°)的最大值解：f(x)=3sin(x+20°)+sin(x+20°) +60°=3sin(x+20°)+sin(x+20°)+ cos(x+20°)= sin(x+20°)+ cos(x+20°)= sin(x+20°+)(其中=arc tan)因此f(x)的最大值为评注：此题若按角形式展开,就没有思路了。本解法抓住x+80°=（x+20°）+60°这一整体，巧妙变形，使得问题得到解决。例10：已知Z是虚数，Z2+2是实数，且arg(3z)= ，求复数Z。解：将Z2+2视为一个复数，利用Z2+2RZ2+2=2+2Z，故(Z)(Z+)=2(Z)Z是虚数 Z0 Z+=2故可设Z=1+yi(yR，且y0)arg(3Z)=arg(2yi)= ，故y=2，于是Z=12i评注：本解法将Z2+2将为一个整体，然后利用复数为实数的充要条件是Z=，从而得到问题的解决。可以发现，运用整体思维方法，分析复数问题常能得到事半功倍之效。五、整体代入在问题解决过程中，往往涉及到较多的几个变量，但我们不必分别求出各个量的具体值，而是将它们的某些关系作为一个整体，达到顺利而又简捷地解决问题的目的。例11：三棱锥的三个侧面两两互相垂直，它们的侧面积分别是6cm2，4cm2，3cm2，求此三棱锥的体积。解：设三条棱长分别为x、y、z，则xy=6，xz=4，yz=3V=xyz=cm2评注：本解法着重抓住xy=6，xz=4，yz=3，而不是具体求出x、y、z的值，从而达到简捷解决问题的目的。例12：已知P是椭圆上一点，F，F是焦点，FPF=30°，求FPF的面积。解：易知a=5,b=4,c=3在FPF中，由余弦定理可知=+2|P F|P F|cos30°=(|P F|+| P F|)2|P F|P F|2|P F|P F|cos30°由椭圆定义可知|P F|+| P F|=10，从而有|P F|P F|=16（1）因此，S=|P F|P F|=8（1）例13、解不等式：4x2-10x-0分析 本题按一般的解法，移项，使不等式一边为有理项，一边为无理项，然后两边同时平方，去无理项，问题将变得复杂，但将视为一整体求解，问题便得到简洁、有效的解答。解：令t=，则原不等式化为 2t2-2t-210 解之得 t（舍） 或 t3 即 3 即 2x2-5x-70 解之得 x 或 x-1例14、解方程组 x+y=2 xy-z2=1分析 两个方程，求三个未知数，似不可求，但由于x+y=2，所以可令x=1+t,y=1-t ,并将其视为整体，用均值整体代换便可。解：令x=1+t, y=1-t （t为实数） (1-t)(1+t)-z2=1 t2+z2=0 t=0 且 z=0 原方程组的解为 x=1 y=1 z=0六、整体思维解决问题过程中，需要将要解决问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构，整体功能，以便达到解题目的。例15：双曲线过原点，实轴长为2，它的一个焦点F1(4,0)，求双曲线中心的轨迹方程：解：设双曲线另一个焦点为F2，则|OF2|OF1|=±2a=±2设双曲线中心为P(x,y)，则另一个焦点F2(2x4,2y)，化简得(x2)2+y2=9或(x2)2=1评注：题设给定双曲线的一个焦点和一支上的一个特殊点，如果仅用这些条件，按常规方法很难求得中心的轨迹方程。但若整体研究所给双曲线及两焦点与中心的位置关系，再利用原点在双曲线上，则解题思路豁然开朗。例16：椭圆上有两点P、Q，O是坐标原点，若OP、OQ斜率之积为。求证：|OP|2+|OQ|2为定值求PQ的中点M的轨迹方程解：设P、Q两点坐标分别为P(x1、y1)，Q(x2、y2)P、Q分别在椭圆上，且KOP·KOQ=，故×得16y12y22=16216(x12+x22)x12x22 代入得x12+x22=16+得y12+y22=8 ( x12+x22)=4|OP|2+|OQ|2= x12+y12+ x22 +y22=20设P、Q中点为M(x，y)，则有x1+x2=2x y1+y2=2y+x2得 4(y12 +y22+ 2y1y2)=32(x12+ x22+2 x1x2)4(y1+y2)2=32(x1+x2)24x2+16y2=32，即故PQ的中点M的轨迹方程为：评注：在处理曲线与直线的关系时，往往运用问题中整体与部分关系，通过整体代入，整体运算，整体消元，整体合并等方法，常常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感受到整体思维的和谐美。七、整体配凑运用数学的对称性，整体配凑，构造对称形式，使解题方便。例17、计算 sin210°+cos240°+sin10°cos40°分析 本题可运用常规解法，先降幂，然后运用积化和差，和差化积求解，但解题过程复杂。因此，我们可将所求的三角函数式作为一整体（记作A），并构造A的一个对偶式B，以谋取简便、巧妙的解法。解：令 A= sin210°+cos240°+sin10°cos40° B=cos210°+sin240°+cos10°sin40°则A+B=2+sin50°A- B=-cos20°+cos80°-=-sin50°- 由+得 2A= 即A=