26.聚焦数列裂项求和的经典模型.doc
中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明:13965261699)聚焦数列裂项求和的经典模型从一个经典模型开始研究裂项求和法 裂项求和是数列求和的重要方法之一,其中,裂项求和的经典模型是=-,推广该经典模型,不仅可解决一类高考试题,而且可探索其命题方法.母题结构:己知an(an0)是公差为d(d0)的等差数列,求证:()=(-)(kN*);()=(-)(kN*).母题解析:()由(-)=(-);()由(-)=(-). 1.通项构造 子题类型:(2013年课标高考试题)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.()求数列an的通项公式;()求数列的前n项和.解析:()由S3=0,S5=-53a2=0,5a3=-5a2=0,a3=-1an=2-n;()由=(-)的前n项和=(-)+(-)+(-)=(-1-)=-.点评:利用等差数列an的通项an构造数列,是高考命制裂项求和的经典模型类试题的最常用方法. 2.求和构造 子题类型:(2008年江西高考试题)等差数列an的各项均为正数,a1=3,前n项和为Sn,bn为等比数列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.()求an与bn;()求和:+.解析:()设an的公差为d(d0),bn的公比为q;由b1=1,且b2S2=64,b3S3=960(6+d)q=64,(9+3d)q2=960d=2,q=8an=2n+1,bn=8n-1;()由Sn=n(n+2)=(-)+=(1-)+(-)+(-)=(1+-)=-.点评:利用等差数列an的前n项和Sn,可构造数列,由Sn=n(n+a1-)=(-). 3.条件构造 子题类型:(2010年安徽高考试题)设数列a1a2,an,中的每一项都不为0.证明:an为等差数列的充分必要条件是:对任何nN*都有:+=.解析:必要性:设等差数列an的公差为d,则当d=0时,ak=a1+=;当d0时,=(-)+=(-)=;充分性:由+=+=-(n+1)an+1-nan+2=a1nan-(n-1)an+1=a1(n+1)an+1-nan+2=nan-(n-1)an+1an+an+2=2an+1数列an为等差数列.点评:由本题知,若数列的前n项和为,则an为等差数列,该结论提供了构造等差数列条件的新途径. 4.子题系列:1.(2013年大纲高考试题)等差数列an中,a7=4,a19=2a9.()求an的通项公式;()设bn=,求数列bn的前n项和Sn.2.(2010年广东高考试题)已知等差数列an满足:a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.()求an及Sn;()令bn=(nN*),求数列bn的前n项和Tn.3.(2013年江西高考试题)正项数列an满足:an2-(2n-1)an-2n=0.()求an的通项公式;()令bn=,求数列bn的前n项和Tn.4.(2011年课标高考试题理科第17题)等比数列an的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6.()求数列an的通项公式;()设bn=log3a1+log3a2+log3an,求数列的前n项和.5.(2014年大纲高考试题)等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=10,a2为整数,且SnS4.()求an的通项公式;()设bn=,求数列bn的前n项和Tn.6.(2015年课标高考试题)Sn为数列an的前n项和.已知an>0,an2+2an=4Sn+3.()求an的通项公式;()设bn=,求数列bn的前n项和Tn.7.(1993年全国高考试题)已知数列,Sn为其前项和.计算得S1=,S2=,S3=,S4=.观察上述结果,推测出计算Sn的公式,并用数学归纳法加以证明.8.(2014年浙江高考试题)已知数列an和bn满足a1a2an=()(nN*).若an为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.()求an与bn;()设cn=-(nN*),记数列cn的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意nN*,均有SkSn.9.(2011年浙江高考试题)已知公差不为0的等差数列an的首项a1为a(aR),设数列的前n项和为Sn,成等比数列.()求数列an的通项公式及Sn; ()记An=+,Bn=+,当n2时,试比较An与Bn的大小.10.(2015年山东高考试题)已知数列an是首项为正数的等差数列,数列的前n项和为.()求数列an的通项公式;()设bn=(an+1)2,求数列bn的前n项和Tn. 5.子题详解:1.解:()an=;()由bn=2(-)Sn=2(1-)=.2.解:()a4=2n+1,Sn=n(n+2);()由bn=(-)Tn=(1-)=.3.解:()an=2n;()由bn=(-)Tn=(1-)=.4.解:() an=()n;()由bn= -=-=-2(-)Sn=-2(1-)=-.5.解:()an=13-3n;()由bn=-Tn=-.6.解:()an=2n+1;()由bn=(-)Tn=.7.解:由=-Sn=1-=.8.解:()an=2n,bn=n(n+1);()由cn=()n-(-);(i)Sn=-()n;(ii)由cn=n(n+1)-2n当n4时,cn>0,当n>4时,cn<0k=4.9.解:()an=an,Sn=;()由=(-),=()n-1An=(1-),Bn=1-()n;当n2时,2n=(1+1)n>n+1当a>0时,An<Bn;当a<0时,An>Bn.10.解:()由=(-)(-)=da1n+a12=2n+1an=2n-1;()Tn=(3n-1)4n+1.
