4.数列求和的性质与求和技巧.doc
2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 453 中国高考数学母题(第141号)数列求和的性质与求和技巧 求数列an的通项an和前n项和Sn,是研究数列的两大主题,课标全国卷数列试题具有浓郁的数列求和“情结”;其中,数列求和的性质与两个求和技巧,值得关注.母题结构:()(求和性质)若数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,则数列kan+tbn的前n项和=kSn+tTn;()(并项求和)若数列an的an中含(-1)n,令bn=a2n-1+a2n,并求数列bn的前n项和Tn,然后由S2n=Tn,S2n-1=Tn-a2n求S2n,S2n-1;()(分段求和)若数列an:an=f(n)(nm),an=g(n)(n>m),则:当nm时,Sn由an=f(n)求出;当n>m时,先由an=f(n)求Sm;再由an=g(n)求Sn-Sm;然后由Sn=Sm+(Sn-Sm),求Sn.母题解析:略. 1.求和性质 子题类型:(2016年北京高考试题)已知an是等差数列,bn是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.()求an的通项公式; ()设cn=an+bn,求数列cn的前n项和.解析:()由等比数列bn的公比q=3bn=b2qn-2=3n-1(n=1,2,3,)a1=b1=1,a14=b4=27等差数列an的公差d=2an=2n-1(n=1,2,3,);()由cn=an+bn数列cn的前n项和=数列an的前n项和+数列bn的前n项和=n2+(3n-1).点评:利用求和性质,可由基本数列an与bn的前n项和(分别为Sn与Tn),求合成数列kan+tbn的前n项和(=kSn+tTn).同类试题:1.(2015年福建高考试题)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.()求数列an的通项公式; ()设bn=2+n,求b1+b2+b3+b10的值.2.(2005年全国高考试题)设等比数列an的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,).()求q的取值范围; ()设bn=an+2-an+1,记bn的前n项和为Tn,试比较Sn与Tn的大小. 2.并项求和 子题类型:(2014年山东高考理科试题)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.()求数列an的通项公式; ()令bn=(-1)n-1,求数列bn的前n项和Tn.解析:()由S1S4=S22a1(4a1+12)=(2a1+2)2a1=1an=2n-1;()由bn=(-1)n-1=(-1)n-1(+)cn=b2n-1+b2n=(+)-(+)=-T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+(b2n-1+b2n)=c1+c2+cn=1-=T2n-1=T2n-b2n=+(+)=.点评:并项求和法不仅适用于通项an中含(-1)n的数列an求和,而且还适用于通项an中含三角函数的数列an求和.同类试题:3.(2014年山东高考文科试题)在等差数列an中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.()求数列an的通项公式; ()设bn=a,记Tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求Tn. 454 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 4.(2016年天津高考试题)已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且-=,S6=63.()求an的通项公式; ()若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)nbn2的前2n项和. 3.分段求和 子题类型:(2007年上海高考试题)如果有穷数列a1,a2,an(n为正整数)满足条件:a1=an,a2=an-1,an=a1,即ai=an-i+1(i=1,2,n),我们称其为“对称数列”.如由组合数组成的数列Cm0,Cm1,Cmm.就是“对称数列”.()设bn是项数为7的“对称数列”,其中b1,b2,b3,b4是等差数列,且b1=2,b4=11,依次写出bn的每一项;()设cn是项数为2k-1(正整数k>1)的“对称数列”,其中ck,ck+1,c2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列.记cn的各项和为S2k-1,当为何值时,S2k-1取得最大值？并求出S2k-1的最大值.()对于确定的正整数m>1,写出所有项数不超过2m的“对称数列”,使得1,2,22,2m-1依次是该数列中连续的项;当m>1500时,求其中一个“对称数列”前2008项的和S2008.解析:()设bn的公差为d,由b1=2,b4=11d=3bn:2,5,8,11,8,5,2;()由S2k-1=2(c1+c2+ck)-ck=-4(k-13)2+4×132-50k=13时,S2k-1取得最大值=626;()所有可能的“对称数列”是:1,2,22,2m-2,2m-1,2m-2,22,2,1;1,2,22,2m-2,2m-1,2m-1,2m-2,22,2,1;2m-1,2m-2,22,2,1,2,22,2m-2,2m-1;2m-1,2m-2,22,2,1,1,2,22,2m-2,2m-1;对于,当m2008时,S2008=22008-1;当1500<m2007时,S2008=2m+2m-1-22m-2009-1;对于,当m2008时,S2008=22008-1;当1500<m2007时,S2008=2m+1-22m-2008-1;对于,当m2008时,S2008=2m-2m-2008;当1500<m2007时,S2008=2m+22009-3;对于,当m2008时,S2008=2m-2m-2008;当1500<m2007时,S2008=2m+22008-m-2.点评:类似于分段函数问题分类求解;对于分段数列,也要分段求和;分段数列的一个典型是等差数列的绝对值.同类试题:5.(2013年浙江高考试题)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.()求d,an; ()若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.6.(2012年安徽高考试题)设函数f(x)=+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为xn.()求数列xn; ()设xn的前n项和为Sn,求sinSn. 4.子题系列:7.(2011年重庆高考试题)设an是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.()求an的通项公式; ()设bn是首项为1,公差为2的等差数列,求数列an+bn的前n项和Sn.8.(2014年北京高考试题)已知an是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列bn满足b1=4,b4=20,且bn-an为等比数列.()求数列an和bn的通项公式; ()求数列bn的前n项和.9.(2014年浙江高考试题)已知数列an和bn满足a1a2an=()(nN*).若an为等比数列,且a1=2,b3=6+b2.()求an与bn;()设cn=-(nN*),记数列cn的前n项和为Sn.(i)求Sn;(ii)求正整数k,使得对任意nN*,均有SkSn.10.(2011年山东高考试题)等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.()求数列an的通项公式;()若数列bn满足:bn=an+(-1)nlnan,求数列bn的前n项和Sn.11.(2009年江西高考试题)数列an的通项公式an=n2(cos2-sin2),其前n项和为Sn.()求Sn; ()令bn=,求数列bn的前n项和Tn.12.(2007年浙江高考试题)己知数列an中的相邻两项a2k-1,a2k是关于x的方程x2-(3k+2k)x+3k.2k=0的两根,且a2k-1a2k(k=1,2,3,).()求a1,a3,a5,a7; ()求数列an的前2n项的和S2n; 2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 455 ()记f(n)=(+3),Tn=.求证:Tn.13.(2012年湖北高考试题)已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.()求等差数列an的通项公式;()若a2,a3,a1成等比数列,求数列|an|的前n项和.14.(2009年重庆高考试题)设m个不全相等的正数a1,a2,am(m7)依次围成一个圆圈.()若m=2009,且a1,a2,a1005是公差为d的等差数列,而a1,a2009,a2008,a1005是公比为q=d的等比数列;数列a1,a2,am的前n项和Sn(nm)满足:S3=15,S2009=S2007+12a1,求通项an(nm);()若每个数an(nm)是其左右相邻两数平方的等比中项,求证:a1+a6+a72+am2>ma1a2am. 5.子题详解:1.解:()由a2=4,a4+a7=15(a4-a2)+(a7-a2)=77d=7d=1an=n+2;()由bn=2n+nb1+b2+b3+b10=2(210-1)+55=2101.2.解:()由Sn>0a1=S1>0当q=1时,Sn=na1>0;当q1时,由Sn=>0(q-1)(qn-1)>0q>1,或-1<q<1q的取值范围是(-1,0)(0,+);()由bn=an+2-an+1=anq2-anq=(q2-q)anTn=(q2-q)SnTn-Sn=(q2-q-1)Sn=(q-2)(q+)Sn;当q=2,或q=-时,Sn=Tn;当-<q<2,且q0时,Sn>Tn;当-1<q<-,或q>2时,Sn<Tn.3.解:()由a1(a1+6)=(a1+2)2a1=2an=2n;()由bn=n(n+1);令cn=-b2n-1+b2n=-(2n-1)2n+2n(2n+1)=4nT2n=c1+c2+cn=2n(n+1)T2n-1=T2n-b2n=-2n2.4.解:()由-=-=2q2-q=2等比数列bn的公比q=-1,或q=2;但当q=-1时,S6=0,不合题意;由q=2,S6=63a1=1an=2n-1;()由bn=(log2an+log2an+1)=n-;令cn=(-1)2n-1b2n-12+(-1)2nb2n2=b2n2-b2n-12=(b2n-b2n-1)(b2n+b2n-1)=4n-2数列(-1)nbn2的前2n项和=数列cn的前n项和=2n2.5.解:()由5a1a3=(2a2+2)2d2-3d-4=0d=-1或d=4an=-n+11或an=4n+6;()当d<0时,an=-n+11;当n11时,|an|=11-n|a1|+|a2|+|a3|+|an|=;当n>11时,|an|=n-11|a1|+|a2|+|a3|+|an|=+-=+110.6.解:()由f(x)=+sinx(x)=+cosx,令(x)=0cosx=-x=2n;又因f(x)的极小值点y=cosx单调递增部分与y=-的交点x=2n-xn=2n-(nN+);()由xn=2n-Sn=n(n+1)-,注意到:n(n+1)为偶数sinSn=sinn(n+1)-=-sin;当n=3k-2(kN+)时,sinSn=-;当n=3k-1(kN+)时,sinSn=;当n=3k-2(kN+)时,sinSn=0.7.解:()设等比数列的公比为q,由a1=2,a3=a2+4q2-q-2=0q=2(-1舍去)an=2n;()由Sn=2(2n-1)+n2. 456 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 8.解:()an=3n;由q=2bn-an=2n-1bn=2n-1+3n;()数列bn的前n项和=(2n-1)+n(n+1).9.解:()an=2n,bn=n(n+1);()由cn=()n-(-);(i)Sn=-()n;(ii)由cn=n(n+1)-2n当n4时,cn>0,当n>4时,cn<0k=4.10.解:()an=23n-1;()由an的前2n项和=32n-1;令cn=(-1)2n-1lna2n-1+(-1)2nlna2n=ln3S2n=(32n-1)+nln3S2n-1=S2n-b2n=(32n-1)+nln3-232n-1-ln2-(2n-1)ln3=32n-1-(n-1)ln3-ln2-1.11.解:()由an=n2cos(cos的T=3);令bn=a3n-2+a3n-1+a3n=-(3n-2)2-(3n-1)2+(3n)2=9n-S3n=bn的前n项和=S3n-1=S3n-a3n=S3n-2=S3n-1-a3n-1=-n; ()由bn=(9n+4)()nTn=-(n+)()n.12.解:()由方程x2-(3k+2k)x+3k.2k=0的两个根为x1=3k,x2=2ka1=2,a3=4,a5=8;()S2n=+2(2n-1);()由T1=,T2=;当n3时,Tn=+-(+)+-(+)>同时,Tn=-+(+)-+(+)<.综上,Tn.13.解:()设等差数列an的公差为d,由a1+a2+a3=-3,a1a2a3=8a1=2,d=-3或a1=-4,d=3an=5-3n或an=3n-7;()当an=5-3n时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件;当n2时,|an|=7-3nSn=;当n>2时,|an|=3n-7Sn=5+-=+10.14.解:()由a1,a2009,a2008,a1005是公比为q=d的等比数列a2009=a1d,a2008=a1d2;由S2009=S2007+12a1a2008+a2009=12a1d=3(d=-4舍去),由S3=15a1=2;当n1005时,an=3n-1;当1006n2009时,an=232010-n;()由an2=an-12an+12(1<n<m),am2=am-12a12,a12=am2a22an=an-1an+1(1<n<m),am=am-1a1,a1=ama2a1a2an=(a1a2an)2a1a2an=1;又ak+6=ak(1km-3)m=6ka1+a6+a72+am2>ma1a2am.
