广东省高三理科数学专题突破训练：立体几何.doc

广东省2015届高三专题突破训练：立体几何1、（2014广东高考）如图4，四边形为正方形，平面，于点，交于点.（1）证明： （2）求二面角的余弦值2、（2013广东高考）如图1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.() 证明:平面； () 求二面角的平面角的余弦值.COBDEACDOBE图1图23、（2012广东高考）如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面.（）证明：平面；（）若，求二面角的正切值.4、（2011广东高考）如图5，在锥体中，是边长为1的菱形，且，分别是的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值图55、（2014广州一模）如图5，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足（1）求证：；（2）在棱上确定一点， 使，四点共面，并求此时的长；（3）求平面与平面所成二面角的余弦值6、（珠海2015届高三9月摸底）如图，长方体中，分别为中点，（1）求证：（2）求二面角的正切值第18题图7、（广州海珠区2015届高三8月）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（1）求证：/ 平面；（2）求证：平面平面； （3）求二面角的余弦值8、（2014届肇庆二模）如图5，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ÐDAB=60°. 侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.（1）求证：BG平面PAD；（2）求平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论.9（2014届深圳二模）如图5,已知ABC为直角三角形,ACB为直角.以AC为直径作半圆O,使半圆O所在平面平面ABC,P为半圆周异于A,C的任意一点.(1) 证明:AP平面PBC(2) 若PA=1,AC=BC=2,半圆O的弦PQAC,求平面PAB与平面QCB所成锐二面角的余弦值.10图,三棱柱中,平面平面,CC1B1AA1BD图5与相交于点.() 求证:平面；() 求二面角的余弦值.11(2014广州二模)图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面， ，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值. 12、（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）如图,在直角梯形中,已知,.将沿对角线折起(图),记折起后点的位置为且使平面平面.(1)求三棱锥的体积;(2)求平面与平面所成二面角的平面角的大小.13、（茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理）如图,在边长为4的菱形ABCD中,点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,点D不重合, ,沿EF将折起到的位置,使得平面 平面 (1)求证:平面(2)设AOBD=H,当O为CH中点时,若点Q满足,求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值.14、（揭阳市2013高三第二次高考模拟考试理科数学）在图(4)所示的长方形ABCD中, AD=2AB=2,E、F分别为AD、BC的中点, M 、N两点分别在AF和CE上运动,且AM=EN=把长方形ABCD沿EF折成大小为的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中(1)当时,求三棱柱BCF-ADE的体积;(2)求证:不论怎么变化,直线MN总与平面BCF平行; (3)当且时,求异面直线MN与AC所成角余弦值.15、（珠海市2013届高三上学期期末）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形 （1）求证：； （2）求证：； 884主视图侧视图俯视图448 （3）设为中点，在边上找一点，使平面,并求的值.16、(2013广州一模)如图4，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，平面，分别是，的中点. （1）求证：平面；（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，求平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值.17（2015广州海珠区等四区调研二）如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且,， （1）求证：；（2）求二面角的余弦值18、（2015届执信中学高三上期中）在三棱柱ABCA1B1C1中，已知，在底面的射影是线段的中点（）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（II）求二面角的余弦值19、（2015江门高三调研）如图3，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DCE是PC的中点，作EFPB交PB于点F求证：PA/平面EDB；求证：PF=PB；求二面角C-PB-D的大小20、（2013广州二模）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB成直二面角，连结A1B、A1C （如图2）（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为600？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由答案：1、（1）证明： 平面，平面 四边形为正方形 平面平面 即 且平面（2）方法1（传统法）过作交于，过作交于，连接就是所求二面角的平面角（过程略）方法2（向量法）由（1）可得，建立空间直角坐标系，如图所示.设在中，则；由（1）知，所以，因为，所以，所以，所以，所以，则设平面的法向量为，则，得，取，则，所以由（1）可知，平面的法向量为，所以设二面角为，则 2、() 在图1中,易得CDOBEH连结,在中,由余弦定理可得由翻折不变性可知,所以,所以,理可证, 又,所以平面.() 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而CDOxE向量法图yzB所以,所以二面角的平面角的余弦值为.向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,所以,设为平面的法向量,则,即,解得,令,得由() 知,为平面的一个法向量,所以,即二面角的平面角的余弦值为.3、解析：（）因为平面，平面，所以.又因为平面，平面，所以.而，平面，平面，所以平面.（）由（）可知平面，而平面，所以，而为矩形，所以为正方形，于是.法1：以点为原点，、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.则、，于是，.设平面的一个法向量为，则，从而，令，得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为，于是二面角的正切值为3.法2：设与交于点，连接.因为平面，平面，平面，所以，于是就是二面角的平面角.又因为平面，平面，所以是直角三角形.由可得，而，所以，而，所以，于是，而，于是二面角的正切值为.4、（1）证明：取的中点，连接，在边长为1的菱形中，是等边三角形，平面分别是的中点，平面（2）解：由（1）知，是二面角的平面角易求得二面角的余弦值为5、推理论证法：（1）证明：连结，因为四边形是正方形，所以 在正方体中，平面，平面，所以 因为，平面，所以平面 因为平面，所以（2）解：取的中点，连结，则 在平面中，过点作，则连结，则，四点共面 因为，所以故当时，四点共面 （3）延长，设，连结， 则是平面与平面的交线过点作，垂足为，连结，因为，所以平面因为平面，所以所以为平面与平面所成二面角的平面角 因为，即，所以 在中，所以 即因为，所以所以所以故平面与平面所成二面角的余弦值为空间向量法：（1）证明：以点为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，则，所以， 因为，所以所以 （2）解：设，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以（所以存在实数，使得因为，所以所以，所以故当时，四点共面（3）解：由（1）知，设是平面的法向量，则即取，则，所以是平面的一个法向量而是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角为，则故平面与平面所成二面角的余弦值为6、解：(1)证明：在长方体中，分别为中点，且四边形是平行四边形 3分， 5分 (2)长方体中，分别为中点， 7分过做于，又 就是二面角的平面角 9分，在中，11分直角三角形中 13分二面角的正切值为 14分78、（1）证明：连结BD. 因为ABCD为棱形，且DAB=60°，所以DABD为正三角形. （1分）又G为AD的中点，所以BGAD. （2分）又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD， BG平面PAD. （4分）解：（2）PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD.PGÌ平面PAD，由（1）可得：PGGB. 又由（1）知BGAD.PG、BG、AD两两垂直. （5分）故以G为原点，建立如图所示空间直角坐标系， （6分）所以， ， ， （7分）设平面PCD的法向量为， 即 令，则 （8分）又平面PBG的法向量可为， （9分）设平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角为，则即平面PBG与平面PCD所成二面角的平面角的余弦值为. （10分）（3）当F为PC的中点时，平面DEF平面ABCD. （11分）取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H.因为E、G分别为BC、AD的中点，所以四边形CDGE为平行四边形，故H为CG的中点. 又F为CP的中点，所以FH/PG. （12分）由（2），得PG平面ABCD，所以FH平面ABCD. （13分）又FHÌ平面DEF，所以平面DEF平面ABCD. （14分）9、10. 18.【解析】()依题意,侧面是菱形,是的中点,因为,所以,又平面平面,且平面,平面平面CC1B1AA1BDH第18题传统法图所以平面.5分()传统法由()知平面,面,所以, 又,所以平面,过作,垂足为,连结,则,所以为二面角的平面角. 9分在中,所以,12分所以,即二面角的余弦值是. 14分 向量法以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 6分由已知可得 C1B1ACA1BDxzy第18题向量法图故, 则,8分设平面的一个法向量是,则,即,解得令,得11分显然是平面的一个法向量, 12分所以,即二面角的余弦值是.14分11. （1）证明：取的中点，连接，则， 平面，平面，平面平面， ，即. 1分 四边形是平行四边形. 2分 ，. 在Rt中，又，得. . 3分 在中， ，. 4分，即.四边形是正方形，. 5分，平面，平面，平面. 6分（2）证法1：连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接， 则，. 由（1）知，且， ，且. 四边形是平行四边形. ，且 .7分 由（1）知平面，又平面， . 8分 ，平面，平面， 平面. 9分 平面. 平面， . 10分 ，平面，平面， 平面. 11分 是直线与平面所成的角. 12分 在Rt中，. 13分 直线与平面所成角的正切值为. 14分证法2：连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接， 则，. 由（1）知，且， ，且. 四边形是平行四边形. ，且. 7分 由（1）知平面，又平面， . ，平面，平面， 平面. 平面. 8分 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系，则，. ，. 9分 设平面的法向量为，由， 得，得. 令，则平面的一个法向量为. 10分 设直线与平面所成角为， 则. 11分 ，. 13分 直线与平面所成角的正切值为. 14分12、解:(1)平面平面, 平面,平面平面, 平面, 即是三棱锥的高, 又, , , , 三棱锥的体积. (2)方法一: 平面,平面, 又,平面, 平面, , ,即 由已知可知, ,平面 平面,平面平面 所以平面与平面所成二面角的平面角的大小为. 方法二: 过E作直线,交BC于G,则, 如图建立空间直角坐标系,则, , 设平面的法向量为, 则,即化简得 令,得,所以是平面的一个法向量. 同理可得平面PCD的一个法向量为 设向量和所成角为,则 平面与平面所成二面角的平面角的大小为. 13、 14、解:(1)依题意得平面,= 由得, (2)证法一:过点M作交BF于, 过点N作交BF于,连结, 又 四边形为平行四边形, 【法二:过点M作交EF于G,连结NG,则 , 同理可证得,又, 平面MNG/平面BCF MN平面MNG, 】 (3)法一:取CF的中点为Q,连结MQ、NQ,则MQ/AC, 或其补角为异面直线MN与AC所成的角, 且, 即MN与AC所成角的余弦值为 法二:且 分别以FE、FB、FC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系 则 , 所以与AC所成角的余弦值为 CBAC1B1NMP15、解：（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，两两互相垂直。以分别为轴建立空间直角坐标系，则， ， 2分 ， 4分（2），又 8分（3） 设为上一点，为的中点，设平面的一个法向量为，则有，则有，得，10分/平面，于是解得： 12分平面，/平面，此时， 14分16、【解析】（1）证明：延长交的延长线于点，连接. ，且， 为的中点. 为的中点，. 平面，平面，平面。 （2）平面，平面， 是边长为的等边三角形，是的中点， ，。 平面，平面，平面. 为与平面所成的角. ，在Rt中，当最短时，的值最大，则最大. 当时，最大. 此时，. ，平面，平面. 平面，平面，. 为平面 与平面所成二面角（锐角）. 在Rt中，。平面 与平面所成二面角（锐角）的余弦值为。17解：（1）由, ，知，点为的中点1分连接，为等边三角形 2分又点为的中点，3分平面，平面， 4分又，平面，平面，平面 5分又平面， 6分（2）解法1:过点作，垂足为，连接由（1）知，平面，又平面，7分又，平面 又平面， 8分为二面角的平面角 9分因为， ，则12分在中，由（1）可知， 13分，即二面角的余弦值为 14分解法2: 由（1）可知，三线两两垂直，以原点，以分别为轴建立空间直角坐标系. 7分则, 8分, 9分 设平面与平面的法向量分别为,显然平面法向量为，10分由，,，解得 11分 12分，13分二面角的余弦值为14分18、解析：()证明:连接AO,再中,作于点E,因为,所以,因为,所以,所以,所以，又得.()如图,分别以OA,OB, 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,由,得点E的坐标是,由()知平面的一个法向量为设平面的法向量是,由得可取,所以.19、连接AC，交BD于O，连接OE，则O是AC的中点1分OE是PAC的中位线，OE/PA2分OE平面EDB，PA平面EDB，PA/平面EDB4分PD底面ABCD，BC平面ABCD，PDBC5分ABCD是正方形，BCCD，PDCD=D，BC平面PCD6分BCPC，EFPB，BPC是公共角，PEFPBC7分设PD=DC，则PC，PB，=PB8分由知BC平面PCD，BCDE9分PD=DC，E是PC的中点，PCDE，PCBC=C，DE平面PBC10分DEPB，EFPB，DEEF=E，PB平面DEF11分PBDF，DFE是二面角C-PB-D的平面角12分在DFE中，DE平面PBC，DEEF，DE13分，tanDFE，DFE14分（方法二）以D为原点，、分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系1分，设PD=DC=1，则，2分，连接AC，交BD于O，连接OE，则O是AC的中点，3分E是PC的中点，4分，PA/OE5分OE平面EDB，PA平面EDB，PA/平面EDB6分设7分，则8分EFPB，9分即，解得，PF=PB10分由知，11分，DFPB，DFE是二面角C-PB-D的平面角12分，13分，DFE14分（方法三）平面PBD的一个法向量是11分平面PBC的一个法向量是12分13分所以，二面角C-PB-D的大小为14分20、解：（1）正ABC的边长为3，且=AD=1，AE=2，ADE中，DAE=60°，由余弦定理，得DE=AD2+DE2=4=AE2，ADDE折叠后，仍有A1DDE二面角A1DEB成直二面角，平面A1DE平面BCDE又平面A1DE平面BCDE=DE，A1D平面A1DE，A1DDEA1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PHBD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCED，而PH平面BCED所以A1D丄PHA1D、BD是平面A1BD内的相交直线，PH平面A1BD由此可得PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即PA1H=60°设PB=x（0x3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x在RtPA1H中，PA1H=60°，所以A1H=，在RtDA1H中，A1D=1，DH=2x由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2x）2=（x）2解之得x=，满足0x3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=