天津市七校高三4月联考 理科数学试题及答案.doc
七校联考高三数学(理)试卷 2015.04.一、 选择题（每题5分，共8道）1、设复数z1=1+i,z2=2+bi,若为纯虚数,则实数b=()A. -2 B.2 C.-1 D.12、不等式组表示的平面区域是()3、已知, ,则() A. a> b> c B. a> c> b C. c> a> b D. c> b> a4、阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为()A.7 B.9 C.10 D.115、已知双曲线C的离心率为2,焦点为,点A在C上.若|=2|,则cos=()A. B. C. D.6、已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P-ABCD的四个侧面中的最大面积是() A.3 B.8 C. D.6；7、已知正项等比数列an满足,若存在两项,使得,则的最小值为()A. B. C. D.不存在8、已知定义在R上的函数y=f(x) 对于任意的x都满足f(x+1) =-f(x), 当-1x< 1时, , 若函数至少有6个零点, 则a的取值范围是() A.(5, +)B.5, +)C. (5,7)D.5,7)二、填空题（每题5分，共6道）9、某地区有小学150所，中学75所，大学25所。现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取60所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校.10、如图,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EFDB,垂足为F,若AB=6,AE=1,则DF·DB=_.11、若,则二项式 的展开式中常数项是_.12、已知直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则直线被圆所截得的弦长等于 .13、已知，当“x” 是“x”的充分不必要条件，则的取值范围是 .14、在的边、上分别取、，使，与交于点，若，则 .三、解答题15、（13分）已知ABC的内角为A、B、C, 其对边分别为a、b、c, B为锐角, 向量, 且.(1) 求角B的大小; (2) 如果b=2, 求SABC的最大值. 16、（13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)从这15天的PM2.5监测数据中,随机抽取三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率;(2)从这15天的数据中任取三天数据,记表示抽取PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列;(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级?PM2.5日均值(微克/立方米)285371434456387986392517、（13分）如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,PAPD,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AB=BC=1,O为AD中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;(2)求B点到平面PCD的距离;(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.18、（13分）已知数列an的前n项和为Sn,且. (1)求数列an的通项公式; (2)设,数列cn的前n项和为Tn,求使不等式Tn>对一切nN*都成立的最大正整数k的值;(3)设,是否存在mN*,使得f(m+15)=5f(m)成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.19、（14分）椭圆E:(a>b>0)的焦点到直线x-3y=0的距离为,离心率为;抛物线G:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合;斜率为k的直线l过G的焦点,与E交于A,B,与G交于C,D.(1)求椭圆E及抛物线G的方程;(2)是否存在常数,使为常数,若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.20、（14分）已知函数f(x) =elnx, g(x) =lnx-x-1, h(x) =x2. (1) 求函数g(x) 的极大值; (2) 求证: 存在x0(1, +), 使g(x0) =g; (3) 对于函数f(x) 与h(x) 定义域内的任意实数x, 若存在常数k, b, 使得f(x) k x+b和h(x) k x+b都成立, 则称直线y=k x+b为函数f(x) 与h(x) 的分界线. 试探究函数f(x) 与h(x) 是否存在“分界线”? 若存在, 请给予证明, 并求出k, b的值; 若不存在, 请说明理由. 高三年级七校联考 理科数学 答案（2015.4）一、选择题：题号12345678答案ABCBADAA二、填空题：9、36，18 10、5 11、 12、4 13、 14、12三、解答题： 15、解析（1）/（为锐角）（2）由 得 ，. 即的最大值为.16、解析 （1）记“从15天的PM2.5监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件， （4分）（2）依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为0,1,2,3,（0，1,2,3） （7分）其分布列为：0123 （10分）（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为（11分）设一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则.，一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级.（13分）17、解析（1）在中, ,为中点，所以，又侧面底面，平面平面，平面，所以平面.又在直角梯形中，连结，易得，所以以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，则 ，易证平面，是平面的法向量，.直线与平面所成角的余弦值为.（2）,设平面的一个法向量为，则，取，得.点到平面的距离.（3）存在.设（）,，.设平面的一个法向量为，则，取，得.又平面的一个法向量为，二面角的余弦值为，得，解得或（舍）,存在点，使得二面角的余弦值为，且.18、解析（1）设、的公共焦点为，由题意得，故，.（2分）椭圆：，抛物线：.（4分）（2）存在.设，.直线的方程为，与椭圆的方程联立得化简得，.， （6分） （7分）.直线的方程为与抛物线的方程联立得化简得， （9分）. （11分）,要使为常数，则，得,故存在,使为常数. （14分）19、解析（1）当时，（1分）当时， （2分）而当时， （）. （4分）（2）， .（7分），单调递增，. （8分）令，得，所以. （10分）（3）当为奇数时，为偶数，. （12分）当为偶数时，为奇数， （舍去）综上，存在唯一正整数，使得成立. （14分）20、解析（1）（）. （1分）令，解得；令，解得. （2分）函数在内单调递增,在上单调递减. （3分）的极大值为 （4分）（2）由（1）知在上单调递减，令，则在上单调递减.， （5分）取，则.（6分）故存在，使，即存在，使.（7分）（说明: 的取法不唯一, 只要满足, 且即可）（3）设（）, 则，当时, , 函数单调递减；当时，函数单调递增.是函数的极小值点，也是最小值点，即.函数与的图象在处有公共点. （9分）设与存在“分界线”且其方程为，令函数，由，得在上恒成立，即在上恒成立，即，故. （11分）下面说明：，即（）恒成立.设，则.当时, ，函数单调递增，当时，函数单调递减, 当时，取得最大值，.（）恒成立. （13分）综合知，且，故函数与存在“分界线”, 且，. （14分）、
