广东省揭阳市高三第一次高考模拟考试理科数学试题及答案.doc

绝密启用前 揭阳市2014年高中毕业班第一次高考模拟考试数学(理科) 2014.3.22本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z满足：，则A1 B2 C D5 2设函数的定义域为，函数的定义域为，则A. B. C. D.3设平面、，直线、，则“” 是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A. B. C. D. 5一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的体积为 A. B. C. D.6如图(2)所示的程序框图，能使输入的x值与输出的y值相等的x值个数为A.1 B.2 C.3 D.4 7设点是函数图象上的任意一点，点 ()，则|的最小值为A. B. C. D. 8定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为，用表示有限集A的元素个数，给出下列命题：对于任意集合A，都有；存在集合A，使得；用表示空集，若则；若则；若则其中正确的命题个数为A4 B3 C2 D1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9若点在函数的图象上，则tan的值为 10根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图(3)所示该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h120 km/h，则该时段内过往的这100辆机动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x值为 11已知向量、满足，且，则与的夹角为 12已知首项为正数的等差数列中，则当取最大值时，数列的公差 13从中任取一个数x，从中任取一个数y，则使的概率为 （二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)来已知直线（为参数且）与曲线(是参数且)，则直线与曲线的交点坐标为 . 15.（几何证明选讲选做）如图(4)，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DEAB，垂足为E，且E是OB的中点，则BC的长为 三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的定义域和最小正周期；（2）若求的值17. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率;（2）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望18（本小题满分14分）如图(6)，四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱SA底面ABCD，过A作AE垂直SB交SB于E点，作AH垂直SD交SD于H点，平面AEH交SC于K点，且AB=1，SA=2（1）设点P是SA上任一点，试求的最小值；（2）求证：E、H在以AK为直径的圆上；（3）求平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值19（本小题满分14分）已知正项数列满足:，数列的前项和为，且满足，(1) 求数列和的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：20（本小题满分14分）如图(7)所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，|BC|2|AC| (1)求椭圆E的方程；(2) 在椭圆E上是否存点Q，使得？若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由（3）过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：为定值21（本小题满分14分）已知函数（1）当且时，证明：；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：揭阳市2014年高中毕业班高考第一次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数一、选择题：DCBD DCCB 解析：5.由三视图知，此组合体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体、中心去除一个半径为1的圆柱，故其体积为6由框图知，x与y的函数关系为，由得若，则或，若，则，若，显然，故满足题意的x值有0,1,3，故选C.7如图示，点P在半圆C上，点Q在直线上，过圆心C作直线的垂线，垂足为A，则,故选C.8由的定义可知、正确，又若则，设则所以错误，正确，故选B。二、填空题：9；1015、0.0175；11；12-3；13；14（1，3）; 15. .解析：10.由直方图可知，这100辆机动车中属非正常行驶的有（辆），x的值=.11.由得，12.设数列的公差为，由得，则，因故，当且仅当，即“=”成立，这时取得最大值，由得，所以。13.如右图，使是图中阴影部分，故所求的概率 14把直线的参数方程化为普通方程得，把曲线的参数方程化为普通方程得，由方程组解得交点坐标为（1，3）【或将曲线的参数方程化为普通方程得后将代入解得，进而得点坐标为（1，3）】15DE为OB的中垂线且OD=OB，为等边三角形，三.解答题：16解：（1）由解得，所以函数的定义域为-2分-4分的最小正周期-6分（2）解法1：由-8分且，-10分-12分解法2：由得，代入得，-8分 ，又，-10分-12分17.解：设表示事件“此人于2月日到达该市”（ =1,2，12）.依题意知,且.-2分（1）设B为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则,所以.即此人到达当日空气质量重度污染的概率为.-5分(2)由题意可知，的所有可能取值为0,1,2，3且-6分P(=0)=P(A4A8A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)=,-7分P(=2)=P(A2A11)= P(A2)+P(A11) =,-8分P(=3)=P(A1A12)= P(A1)+P(A12) =,-9分P(=1)=1P(=0)P(=2)P(=3)=,-10分(或P(=1)=P(A3A5A6A7A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)=)所以的分布列为：0123P-11分故的期望-12分18（1）将侧面SAB绕侧棱SA旋转到与侧面SAD在同一平面内，如右图示，则当B、P、H三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段BH的长，-1分设,则，在中，,-2分在三角形BAH中，有余弦定理得：.-4分（2）证明：SA底面ABCD，SABC，又ABBC，BC平面SAB，又平面SAB，EABC，-6分又AESB，AE平面SBC ，-7分又平面SBC，EAEK， -8分同理 AHKH，E、H在以AK为直径的圆上-9分（3）方法一：如图，以A为原点,分别以AB、AD、AS所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如右图示，-10分则S（0，0，2），C（1，1，0），由（1）可得AESC，AHSC，SC平面AEKH，为平面AEKH的一个法向量，-11分为平面ABCDF的一个法向量，-12分设平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的平面角为，则-13分平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值-14分【方法二： 由可知,故,又面AEKH，面AEKH, 面AEKH. -10分设平面AEKH平面ABCD=l，面AEKH，-11分BDAC，AC，又BDSA，BD平面SAC，又平面SAC，BDAK， AK， 为平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的一个平面角，-13分平面AEKH与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为-14分】19解：（1）由,得. -2分由于是正项数列,所以.-3分由可得当时，两式相减得，-5分数列是首项为1，公比的等比数列，-7分（2）-8分方法一：-11分-14分【方法二：-11分-14分】20.解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A(2，0)，设椭圆E的方程为-2分由椭圆的对称性知|OC|OB| 又，|BC|2|AC|ACBC，|OC|AC| AOC为等腰直角三角形，点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(1，1) ，-4分将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 所求的椭圆E的方程为-5分（2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即点Q在直线上，-7分点Q即直线与椭圆E的交点，直线过点，而点椭圆在椭圆E的内部，满足条件的点Q存在，且有两个-9分【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得，设，则即，-7分又点Q在椭圆E上，-由式得代入式并整理得：，-方程的根判别式，方程有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个-9分】（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,O、M、P、N四点在同一圆上，-10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为，-11分即-即点M、N满足方程，又点M、N都在上，M、N坐标也满足方程-得直线MN的方程为，-12分令得，令得，-13分，又点P在椭圆E上，即=定值.-14分【解法二：设点则-10分直线PM的方程为化简得-同理可得直线PN的方程为-11分把P点的坐标代入、得直线MN的方程为，-12分令得，令得，-13分，又点P在椭圆E上，即=定值-14分】21.（1）证明：要证，即证，-1分令则-3分在单调递增，即成立-4分（2）解法一：由且可得-5分令-6分由（1）知-8分函数在单调递增，当时，-9分【解法二：令，则，-5分当时，函数在上是增函数，有，-6分当时，函数在上递增，在上递减，对，恒成立，只需，即-7分当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，而，不合题意，-8分综上得对，恒成立，-9分】【解法三：由且可得-5分由于表示两点的连线斜率，-6分由图象可知在单调递减，故当时，-8分即-9分】（3）当时，则，要证，即证-10分由（1）可知又-11分 ，-13分故得证-14分