高考数学热点难点试题考纲解读专题专题14 计数原理、随机变量及其分布列.doc

【2015年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：(1)分类加法计算原理、分步乘法计数原理，B级要求(2)排列与组合，B级要求(3)离散型随机变量及其分布列、超几何分布、条件概率及相互独立事件，A级要求(4)n次独立重复试验的模型及二项分布、离散型随机变量的均值与方差，B级要求.【重点、难点剖析】1两种计数原理分类计数原理和分步计数原理2排列(1)排列的定义；(2)排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(mn，m，nN*)3组合(1)组合的定义；(2)组合数公式：C(mn，m，nN*)(3)组合数性质：CC；CCC.4概率、随机变量及其分布(1)离散型随机变量及其概率分布的表示：离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性质：1°pi0(i1,2,3，n)；2°p1p2p3pn1；(2)特殊的概率分布列：01分布(两点分布)符号表示：X01分布；超几何分布：1°符号表示：XH(n，M，N)；2°概率分布列：XH(r；n，M，N)P(Xr)；二项分布(又叫独立重复试验，波努利试验)：1°符号表示：XB(n，p)；2°概率分布列：P(Xk)Cpk(1p)nk.注意：P(X0)P(X1)P(X2)P(Xr)P(Xn)1.【高频考点】考点一计数原理及其应用【例1】 (1)(2014·全国大纲卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种B70种C75种D150种(2)航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有()A12种 B16种 C24种 D36种来源:学优高考网【命题意图】(1)本题主要考查基本计数原理的应用，意在考查考生的逻辑分析能力和运算求解能力(2)本题主要考查排列组合的基础知识，意在考查考生利用排列组合的知识解决计数问题的能力【易错指导】解决排列组合问题首先要根据所求事件是否与顺序有关，将其进行分类：将该事件分为几个彼此互斥的事件，再根据事件发生的过程将其分成几个简单的步骤，逐步求解，最后利用基本计数原理求解即可，这样可将复杂的事件转化为简单的排列组合问题来解决【答案】(1)C(2)D【感悟提升】分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事【变式探究】设整数n4，P(a，b)是平面直角坐标系xOy中的点，其中a，b1,2,3，n，ab.(1)记An为满足ab3的点P的个数，求An；(2)记Bn为满足(ab)是整数的点P的个数，求Bn.【解析】(1)点P的坐标满足条件1ba3n3，所以Ann3.(2)设k为正整数，记fn(k)为满足条件以及ab3k的点P的个数，只要讨论fn(k)1的情形由1ba3kn3k知fn(k)n3k，且k，设n13mr，其中mN*，r0,1,2，则km，所以Bnfn(k)(n3k)mn，将m代入上式，化简得Bn，所以Bn【规律方法】此计数原理问题中要计算点的个数，因此要根据条件对正整数的取值进行分类，弄清可能的取值类别，再根据加法原理进行计算【变式探究】设集合Pn1,2，n，nN*.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：APn；若xA，则2xA；若xPnA，则2xPnA.(1)求f(4)；(2)求f(n)的解析式(用n表示)考点二条件概率与相互独立事件的概率例2、(1)(2014·新课标全国卷)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.8 B0.75 C0.6 D0.45(2)一出租车司机从饭店到火车站的途中要经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是_【命题意图】本题主要考查概率的计算，涉及事件相互关系的分析与条件概率的计算，意在考查考生的理解能力与运算求解能力【答案】(1)A(2)【解析】(1)根据条件概率公式P(B|A)，可得所求概率为0.8.(2)由于在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，所以这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯的概率P2×.【感悟提升】1条件概率的求法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A).这是通用的求条件概率的方法(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).2求相互独立事件和独立重复试验的概率的方法及注意点(1)直接法：正确分析复杂事件的构成，将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或为一独立重复试验问题，然后用相应概率公式求解(2)间接法：当复杂事件正面情况比较多，反面情况较少，则可利用其对立事件进行求解对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解(3)注意点：注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同【变式探究】甲、乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜，若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率是；乙每次投中的概率都是.甲、乙每次投中与否相互独立(1)求乙直到第3次才投中的概率；(2)在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由【解析】(1)记事件Ai：乙第i次投中(i1,2,3)，则P(Ai)(i1,2,3)，事件A1，A2，A3相互独立，P(乙直到第3次才投中)P(1·2·A3)P(1)·P(2)·P(A3)××.(2)设甲投中的次数为，乙投中的次数为，由B，乙投中次数的数学期望E()3×.的所有可能取值是0,1,2,3，甲前2次投中次数服从二项分布B，且每次投中与否相互独立，P(0)××，P(1)C×××C×2×，P(2)C×2×C×××，P(3)C×2×，甲投中次数的数学期望E()0×1×2×3×，E()E()，在比赛前，从胜负的角度考虑，应支持乙.【变式探究】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6、0.5、0.5.假设各盘比赛结果相互独立(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E()【解析】(1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件因为P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由对立事件的概率公式，知P()0.4，P()0.5，P()0.5.红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.6×0.5×0.50.6×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.55.(2)由题意，知的可能取值为0,1,2,3.因此P(0)P()0.4×0.5×0.50.1，P(1)P(F)P(E)P(D)0.4×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.35，P(3)P(DEF)0.6×0.5×0.50.15.由对立事件的概率公式，得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列为0123P0.10.350.40.15因此E()0×0.11×0.352×0.43×0.151.6.【变式探究】某品牌设计了编号依次为1,2，3，n(n4，且nN*)的n种不同款式的时装，由甲、乙两位模特分别独立地从中随机选择i，j(0i，jn，且i，jN)种款式用来拍摄广告(1)若ij2，且甲在1到m(m为给定的正整数，且2mn2)号中选择，乙在(m1)到n号中选择记Pst(1sm，m1tn)为款式(编号)s和t同时被选中的概率，求所有的Pst的和；(2)求至少有一个款式为甲和乙共同认可的概率解(1)甲从1到m(m为给定的正整数，且2mn2)号中任选两款，乙从(m1)到n号中任选两款的所有等可能基本事件的种数为CC，记“款式s和t(1sm，m1tn)同时被选中”为事件A，则事件A包含的基本事件的种数为CC·CC，所以P(A)Pst，则所有的Pst的和为：CC·4；(2)甲从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为：CCCC2n，同理得，学优高考网乙从n种不同款式的服装中选取服装的所有可能种数为2n，据分步乘法计数原理得，所有等可能的基本事件的种数为：2n·2n4n，记“至少有一个款式为甲和乙共同认可”为事件B，则事件B的对应事件为：“没有一个款式为甲和乙共同认可”，而事件包含的基本事件种数为：C·(CCCC)C·(CCCC)C·(CC)C·(C)C·2nC·2n1C·2C·20来源:学优高考网gkstk(12)n3n，所以P(B)1P()1n.【规律方法】对于求较复杂事件的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率【变式探究】 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则中止其射击求乙恰好射击5次后被中止射击的概率【解析】(1)甲至少一次未击中目标的概率P1是P1P4(1)P4(2)P4(3)P4(4)1P4(0)140.(2)甲射击4次恰击中2次的概率为P2C22，乙射击4次恰击中3次的概率为P3C3×，由乘法公式得，所求概率为PP2P3×.(3)乙恰好5次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一次击中，第三次必击中，故所求概率为P32C23. 考点三离散型随机变量的期望和方差例3、(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列和数学期望【命题意图】本题以实际问题为载体，考查相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查考生的运算求解能力及分析问题、解决问题的能力【解析】记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功由题设知P(E)，P()，P(F)，P().且事件E与F，E与，与F，与都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则 ，于是P()P()P()×，故所求的概率为P(H)1P()1.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.因P(X0)P( )×，P(X100)P(F)×，P(X120)P(E)×，P(X220)P(EF)×.故所求的分布列为：X0100120来源:学优高考网gkstk220P数学期望E(X)0×100×120×220×140.【感悟提升】1解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般步骤(1)确定随机变量的取值有哪几个；(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值；(3)作出离散型随机变量的分布列；(4)根据公式求解来源:gkstk.Com2求离散型随机变量的分布列及均值与方差时，易发生的错误一是随机变量的取值不准确，原因是对题意理解不清二是随机变量相应的概率求错，在解答中要注意审题及对题意的理解要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，用我们掌握的知识解决实际问题【举一反三】(2014·山东)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分，对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为，假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望【解析】(1)记Ai为事件“对落点在A上的来球小明回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(A3)，P(A1)，P(A0)1；记Bi为事件“对落点在B上的来球小明回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(B3)，P(B1)，P(B0)1.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)××××，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)×，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)××，P(2)P(A1B1)×，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)××，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)××，P(6)P(A3B3)×.可得随机变量的分布列为：012346P所以数学期望E()0×1×2×3×4×6×.【变式探究】2014年男足世界杯在巴西举行，为了争夺最后一个小组赛参赛名额，甲、乙、丙三支国家队要进行比赛，根据规则：每支队伍比赛两场，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，获得第一名的队伍将夺得这个参赛名额已知乙队胜丙队的概率为，甲队获得第一名的概率为，乙队获得第一名的概率为.(1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率P1，P2；(2)设在该次比赛中，甲队得分为，求的分布列和数学期望【解析】(1)根据题意，甲队获得第一名，则甲队胜乙队且甲队胜丙队，所以甲队获第一名的概率为P1×P2.乙队获得第一名，学优高考网则乙队胜甲队且乙队胜丙队，所以乙队获第一名的概率为(1P1)×.解，得P1，代入，得P2，所以甲队战胜乙队的概率为，甲队战胜丙队的概率为.(2)可能取的值为0,3,6，当0时，甲队两场比赛皆输，其概率为P(0)(1)×(1)；当3时，甲队两场只胜一场，其概率为P(3)×(1)×(1)；当6时，甲队两场皆胜，其概率为P(6)×.所以的分布列为036P所以E()0×3×6×.【变式探究】在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望【解析】(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A )P(A)·P()P(A)·1P(B)×，(或P(A )(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C).X可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X0)P( )××，P(X1)P(A )P( B )P( C)××××××，P(X2)P(AB )P(A C)P( BC)××××××，P(X3)P(ABC)××，X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0×1×2×3×.【规律方法】求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算【变式探究】现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；来源:gkstk.Com(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望【解析】(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C·0·2·；P(X1)C·1·1·C0·2·；P(X2)C·2·0·C1·1·；P(X3)C·2·0·.所以X的分布列为：X0123P来源:gkstk.Com所以E(X)0×1×2×3×2.【能力突破】难点一排列问题例1、即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为_【答案】480【解析】方法一(位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：第1步，从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边，有A种站法；第2步，余下4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有A种站法由分步乘法计数原理，知共有AA480(种)不同的站法方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A种站法由分步乘法计数原理，知共有AA480(种)不同的站法方法三(反面求解法)6人没有限制的排队有A种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A种站法，因此符合条件的不同站法共有A2A480(种)难点二组合问题例2、在一次国际抗震救灾中，从7名中方搜救队队员，4名外籍搜救队队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法(1)至少有2名外籍搜救队队员；(2)至多有3名外籍搜救队队员【解析】(1)方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”可分为3类：只有2名外籍队员，共有C·C种组队方法；只有3名外籍队员，共有C·C种组队方法；只有4名外籍队员，共有C·C种组队方法根据分类加法计数原理，知至少有2名外籍搜救队队员共有C·CC·CC·C301(种)不同的组队方法方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有2名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有1名外籍搜救队队员”，可分为2类：只有1名外籍搜救队队员，共有CC种组队方法；没有外籍搜救队队员，共有CC种组队方法所以至少有2名外籍搜救队队员共有CC·CC·C301(种)不同的组队方法(2)方法一(直接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”可分为4类：只有3名外籍搜救队队员，共有CC种方法；来源:学优高考网gkstk只有2名外籍搜救队队员，共有CC种方法；只有1名外籍搜救队队员，共有CC种方法；没有外籍搜救队队员，共有C种方法由分类加法计数原理，知至多有3名外籍搜救队队员共有C·CC·CC·CC455(种)不同的组队方法方法二(间接法)由题意，知“至多有3名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有4名外籍搜救队队员”因为至少有4名外籍搜救队队员，共有C×C种组队方法，所以至少3名外籍队员共有CCC455(种)不同组队方法难点三排列与组合的综合应用问题例3、4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？【解析】(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有CCC·A144(种)(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法(3)确定2个空盒有C种方法4个球放进2个盒子可分成(3,1)、(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有CCA种方法；第二类有序均匀分组有·A种方法故共有C(CCA·A)84(种)【感悟提升】(1)求解排列、组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”(2)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解难点四排列组合的应用例4、(1)(2014·重庆)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120 C144 D168(2)(2014·北京)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种【命题意图】本题主要考查排列组合的知识，意在考查考生应用排列组合知识解决实际问题的能力【答案】(1)B(2)36【解析】(1)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为AA144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为AAA24，因此满足题意的排法种数为14424120，故选B.(2)将A，B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A种摆法，共有AA48种摆法，而A，B，C 3件在一起，且A，B相邻A，C相邻有CAB，BAC两种情况学优高考网将这3件与剩下2件全排列，有2×A12种摆法，故A，B相邻，A，C不相邻的摆法有481236种【感悟提升】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决【举一反三】(1)(2014·辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的种数为()A144B120C72 D24【答案】D【解析】3人中每两人之间恰有一个空座位，有A×212种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A×A12种坐法，所以共有121224种坐法难点五与分布列、均值相关的综合问题例5、(2014·湖北)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080X120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【命题意图】本题主要考查对立事件、独立重复试验、古典概型的概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力【审题策略】(1)根据题意求出年入流量在(40,80)，80,120及120以上的频率p1，p2和p3，未来4年年入流量相当于4次独立重复试验，至多1年的年入流量超过120的概率pC(1p3)4C(1p3)3p3；(2)分类讨论，若只安装1台发电机，则年总利润为5 000万元；若安装2台发电机，则年总利润为10 000万元或(5 000800)万元，其概率分别为0.8,0.2，求出期望；若安装3台发电机，则年总利润为15 000万元或(10 000800)万元或(5 0001 600)万元，其概率分别为0.1,0.7,0.2，求出期望然后比较三个期望值，看哪个最大【解析】(1)依题意，p1P(40<X<80)0.2，p2P(80X120)0.7，p3P(X>120)0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为44×3×0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 000×15 000.安装2台发电机的情形依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40<X<80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000×210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，.安装3台发电机的情形，依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 600 3 400，因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2；当80X120时，两台发电机运行，此时Y5 000×28009 200，因此P(Y9 200)P(80X120)p20.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y5 000×315 000，因此P(Y15 000)P(X>120)p30.1.因此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台【失失警示】失分点1题中处错用公式而失分失分点2题中第(2)问讨论不全而失分来源:gkstk.Com失分点3题中处与处分布列不正确而失分失分点4题中处的期望值错用公式而计算失误造成失分【答题指导】探索与分布列、均值相关的综合问题的解题规律(1)首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率，再利用随机变量均值公式求出均值(2)在研究与函数、不等式、数列等相结合问题时，要充分借助相关知识进行过渡和转化，建立起沟通的桥梁如随机变量作为自变量便可与函数结合，作为参数便可与不等式相结合. 【高考预测】 1如图，A、B、C、D为四个村庄，要修筑三条公路，将这四个村庄连接起来，则不同的修筑方案共有()A8种B12种C16种D20种【答案】C【解析】修筑方案可分为两类：一类是“折线型”，用三条公路把四个村庄连在一条曲线上(如图(1)，A­B­C­D)，有A种方案；另一类是“星型”，以某一个村庄为中心，用三条公路发散状连接其他三个村庄(如图(2)，A­B，A­C，A­D)，有4种方案故共有12416种方案2记集合T0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，M，将M中的元素按从大到小排列，则第2 013个数是()A.B.C.D.【答案】A【解析】当a19时，a2，a3，a4的取值共有1031 000个；当a18时，a2，a3，a4的取值共有1031 000个，此时从大到小排列共2 000个当a17，a29，a39时，a4的取值共有10个；当a17，a29，a38时，a4依次取值：9,8,7，所以第2 013个数为，故选A.3在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别是0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件来源:gkstk.ComCAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件【答案】D【解析】选项A中，AB与C互斥但不对立；选项B中，BC与D互斥但不对立；选项C中，AC与BD互斥也对立；选项D中，A与BCD互斥也对立故选D.4已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是_【答案】6【解析】设所组成的点为P(x，y)，当x1时，y5,6；当x2时y5,6；当x3时，y5,6。故满足条件的点共2226个5某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为_(用数字作答)【答案】7 200【解析】其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列共9个位置上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×127 200.6非空集合A、B满足AB，在此条件下给出以下四个命题：任取xA，则xB是必然事件；若xA，则xB是不可能事件；任取xB，则xA是随机事件； 若xB，则xA是必然事件上述命题中正确命题的序号是_【答案】【解析】中，由AB知xA则必有xB；中，若xA，则有可能xB，故不正确；中，若xB，则可能xA，也可能xA，故是随机事件中，xB，则必有xA，故是必然事件综上正确7某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是_，他属于不超过2个小组的概率是_【答案】【解析】“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”故他属于不超过2个小组的概率是P1.8离散型随机变量X的概率分布规律为P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常数，则P_.【答案】【解析】由分布列的性质知a1，所以a，故PP(X1)P(X2)×.9已知随机变量只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是_【答案】【解析】设取x1，x2，x3时的概率分别为ad，a，ad，则(ad)a(ad)1，解得a，由得d.故所求范围为.10从3,4,5,