山东省济南市高考数学一模试卷（文科）含解析答案.doc

2015年山东省济南市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）（2015济南一模）设集合M=x|x2+2x3=0，N=1，1，3，则MN=（） A 1，3 B 1，1，3 C 1，1，3，3 D 1，1，3【考点】： 并集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出集合M，然后求解并集即可【解析】： 解：集合M=x|x2+2x3=0=1，3，N=1，1，3，则MN=1，1，3，3故选：C【点评】： 本题考查集合的并集的运算，基本知识的考查2（5分）（2015济南一模）已知复数z满足（1i）z=i（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】： 复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案【解析】： 解：由（1i）z=i，得，z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限故选：B【点评】： 本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题3（5分）（2015济南一模）函数的定义域为（） A 1，+） B （1，+） C D 【考点】： 函数的定义域及其求法【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 由对数的真数大于零、偶次根号下被开方数大于等于零，列出不等式组，求出函数的定义域【解析】： 解：要使函数有意义，有 ，解得x1，所以函数f（x）的定义域是1，+），故选：A【点评】： 本题考查函数的定义域的求法，注意根据解析式和限制条件列出不等式组，定义域要用集合或区间表示4（5分）（2015济南一模）“cos=”是“=”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 计算题【分析】： “cos=”“=+2k，kZ，或=”，“=”“cos=”【解析】： 解：“cos=”“=+2k，kZ，或=”，“=”“cos=”故选B【点评】： 本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理应用5（5分）（2015济南一模）已知a，b，cR，那么下列命题中正确的是（） A 若ab，则ac2bc2 B 若ab0，c0，则 C 若ab，则（a+c）2（b+c）2 D 若ab0，则【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： Ac=0时不成立；B由ab0，可得，又c0，利用不等式的基本性质即可得出；C若0a+cb+c，则（a+c）2（b+c）2不成立；D利用基本不等式的性质即可判断出【解析】： 解：Ac=0时不成立；Bab0，又c0，则，因此不正确；C若0a+cb+c，则（a+c）2（b+c）2不成立；Dab0，则=2，当且仅当a=b时取等号，因此正确故选：D【点评】： 本题考查了不等式的性质与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）（2015济南一模）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A 9 B 16 C 25 D 36【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的T，S，i的值，当i=5时，满足条件i4，退出循环，输出S的值为16，从而得解【解析】： 解：模拟执行程序，可得S=0，i=1T=1，S=1，i=2不满足条件i4，T=3，S=4，i=3不满足条件i4，T=5，S=9，i=4不满足条件i4，T=7，S=16，i=5满足条件i4，退出循环，输出S的值为16故选：B【点评】： 本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的T，S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查7（5分）（2015济南一模）已知x，y满足约束条件，若z=2x+y的最大值和最小值分别为a，b，则a+b=（） A 7 B 6 C 5 D 4【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解析】： 解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（1，1），B（3，0），化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z最小等于2×11=1；当直线y=2x+z过B时，直线在y轴上的截距最大，z最大等于2×30=6a+b=1+6=7故选：A【点评】： 本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）（2015济南一模）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，当x1，x2（0，+）时，都有（x1x2）f（x1）f（x2）0设，则（） A f（a）f（b）f（c） B f（b）f（a）f（c） C f（c）f（a）f（b） D f（c）f（b）f（a）【考点】： 函数奇偶性的性质【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 根据已知条件便可判断f（x）在（0，+）上单调递减，f（x）是偶函数，所以f（x）=f（|x|），所以根据对数的运算，及对数的取值比较|a|，|b|，|c|的大小即可得出f（a），f（b），f（c）的大小关系【解析】： 解：根据已知条件便知f（x）在（0，+）上是减函数；且f（a）=f（|a|），f（b）=f（|b|），f（c）=f（|c|）；|a|=ln1，b=（ln）2|a|，c=；f（c）f（a）f（b）故选：C【点评】： 考查偶函数的概念，函数单调性的定义，根据对数函数的单调性判断对数的取值情况，以及减函数定义的运用9（5分）（2015济南一模）已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（） A B C 2 D 5【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为md，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值【解析】： 解：因为F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为md，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m（md）=2a，m+d=2c，（md）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e=5，故选：D【点评】： 本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题10（5分）（2015济南一模）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”现给出下列函数：f（x）=4x；f（x）=x2+2；f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有|f（x1）f（x2）|4|x1x2|其中是“条件约束函数”的有（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个【考点】： 函数的值【专题】： 新定义【分析】： 用“条件约束函数”的定义加以验证，对于均可以找到常数0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，说明它们是F函数，而对于，所以不存在常数0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意【解析】： 解：对于，f（x）=4x，易知=4符合题意，是“条件约束函数”，对于，用“条件约束函数”的定义不难发现：因为x0时，|，所以不存在常数0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，不是“条件约束函数”，对于，因为|f（x）|=|x|，所以存在常数=0，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，是“条件约束函数”函数，对于，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）f（x2）|4|x1x2|得到，|f（x）|4|x|成立，存在40，使|f（x）|x|对一切实数x均成立，符合题意，是“条件约束函数”，故选：C【点评】： 本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题题中“条件约束函数”的实质是函数f（x）与x的比值对应的函数是有界的，抓住这一点我们不难解出二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11（5分）（2015济南一模）100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则模块测试成绩落在50，70）中的学生人数是25【考点】： 频率分布直方图【专题】： 概率与统计【分析】： 根据频率分布直方图中频率和为1，求出a的值，计算模块测试成绩落在50，70）中的频率以及频数即可【解析】： 解：根据频率分布直方图中频率和为1，得；10（2a+3a+7a+6a+2a）=1，解得a=；模块测试成绩落在50，70）中的频率是10（2a+3a）=50a=50×=，对应的学生人数是100×=25故答案为：25【点评】： 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目12（5分）（2015济南一模）已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA：sinB：sinC=1：2：，则角C=【考点】： 余弦定理；正弦定理【专题】： 解三角形【分析】： sinA：sinB：sinC=1：2：，由正弦定理可得：a：b：c=1：2：，不妨取a=1，b=2，c=再利用余弦定理即可得出【解析】： 解：sinA：sinB：sinC=1：2：，由正弦定理可得：a：b：c=1：2：，不妨取a=1，b=2，c=cosC=C（0，），故答案为：【点评】： 本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13（5分）（2015济南一模）某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为2【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，根据正视图与俯视图可判断底面扇形的中心角为，求出圆柱的体积乘以可得答案【解析】： 解：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60°，几何体的体积V=××22×3=2，故答案为：2【点评】： 本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量14（5分）（2015济南一模）设是单位向量，且的最大值为【考点】： 平面向量数量积的运算【专题】： 平面向量及应用【分析】： 由已知，都是单位向量且，可设，从而根据和差角公式可将的表达式转化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的性质得到的最大值【解析】： 解：由于，都是单位向量且，可设，则=（1cos，sin）（cos，1sin）=cos+cos2sin+sin2=1（sin+cos）=1，显然的最大值为，故答案为：1+【点评】： 本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中求出的表达式是解答本题的关键15（5分）（2015济南一模）已知P是直线3x+4y10=0上的动点，PA，PB是圆x2+y22x+4y+4=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为2【考点】： 直线与圆的位置关系【专题】： 直线与圆【分析】： S四边形PACB=SPAC+SPBC，当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，即SPAC=SPBC取最小值，由此能够求出四边形PACB面积的最小值【解析】： 解：圆的标准方程为（x1）x2+（y+2）x2=1，则圆心为C（1，2），半径为1，则直线与圆相离，如图，S四边形PACB=SPAC+SPBC而SPAC=|PA|CA|=|PA|，SPBC=|PB|CB|=|PB|，又|PA|=，|PB|=，当|PC|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，即SPAC=SPBC取最小值，此时，CPl，|CP|=，则|PA|=2，则SPAC=SPBC=×2×1=，即四边形PACB面积的最小值是2故答案为：2【点评】： 本题考查直线和圆的位置关系，解题时要认真审题，在解答过程中要合理地运用数形结合思想三、解答题：本大题共6小题，共75分）16（12分）（2015济南一模）设函数（其中0），且f（x）的最小正周期为2（）求的值；（）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用【专题】： 三角函数的求值【分析】： （）由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式、正弦函数的周期性求得的值（）由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得g（x）的增区间【解析】： 解：（）函数=2sin（2x+）（其中0），它的最小正周期为=2，=，故f（x）=2sin（x+）（）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（2x+）的图象，令2kx+2k+，kz，求得 kxk+，可得函数g（x）的增区间为k，k+，kz【点评】： 本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦函数的周期性和单调性，以及函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题17（12分）（2015济南一模）某在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n个若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为（）求n的值；（）从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a，第二次摸取的小灯笼的标号为b记“a+b4”为事件A，求事件A的概率【考点】： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】： 概率与统计【分析】： （）由题意，即可求出n的值；（）记标号为2的小灯笼为a1，a2；列举出所有的基本事件，再找到满足的基本事件，根据概率公式计算即可；【解析】： 解：（）由题意，n=1（4分）（）记标号为2的小灯笼为a1，a2；连续摸取2个小灯笼的所有基本事件为：（1，a1），（1，a2），（1，3），（a1，1），（a2，1），（3，1），（a1，a2），（a1，3），（a2，a1），（3，a1），（a2，3），（3，a2）共12个基本事件（8分）A包含的基本事件为：（1，3），（3，1），（a1，a2），（a2，a1），（a1，3），（3，a1），（a2，3），（3，a2）（10分）=（12分）【点评】： 本题考查了古典概率的问题，属于基础题18（12分）（2015济南一模）如图，平面PBA平面ABCD，DAB=90°，PB=AB，BFPA，点E在线段AD上移动（）当点E为AD的中点时，求证：EF平面PBD；（）求证：无论点E在线段AD的何处，总有PEBF【考点】： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质【专题】： 证明题；空间位置关系与距离【分析】： （）由已知可证F是PA的中点，连接EF，由中位线的性质可得EFPD，又EF平面PBD，PD平面PBD，由判定定理即可证明EF平面PBD（）只要证明DABF，BFPA，从而证明BF面PDA，又PE平面PDA，所以无论点E在线段AD的何处，总有PEBF【解析】： 证明：（）因为在三角形PBA中，PB=AB，BFPA，所以F是PA的中点，连接EF，（2分）在PDA中，点E，F分别是边AD，PA的中点，所以EFPD（4分）又EF平面PBD，PD平面PBD所以EF平面PBD（6分）（）因为平面PBA平面ABCD，平面PBA平面ABCD=AB，DAB=90°，DAAB，DA平面ABCD所以DA平面PBA（8分）又BF平面PBA，所以DABF，又BFPA，PADA=A，PA，DA平面PDA，所以BF面PDA（10分）又PE平面PDA所以BFPE所以无论点E在线段AD的何处，总有PEBF（12分）【点评】： 本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查19（12分）（2015济南一模）数列an满足a1=1，an+1=2an（nN*），Sn为其前n项和数列bn为等差数列，且满足b1=a1，b4=S3（）求数列an，bn的通项公式；（）设cn=，数列cn的前n项和为Tn，证明：【考点】： 数列的求和；等比数列的通项公式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由于cn=，利用“裂项求和”可得数列cn的前n项和为Tn=，再利用数列的单调性即可得出【解析】： （I）解：数列an满足a1=1，an+1=2an（nN*），数列an是等比数列，公比为2，首项为1，an=1×2n1=2n1设等差数列bn的公差为d，满足b1=a1，b4=S3，b1=1，b1+3d=1+2+22，解得d=2bn=1+2（n1）=2n1an=2n1bn=2n1（2）证明：cn=，数列cn的前n项和为Tn=+=，数列为单调递增数列，Tn【点评】： 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、数列的单调性、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（13分）（2015济南一模）已知函数f（x）=ex+axa（aR且a0）（）若函数f（x）在x=0处取得极值，求实数a的值；并求此时f（x）在2，1上的最大值；（）若函数f（x）不存在零点，求实数a的取值范围【考点】： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值【专题】： 分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】： （）求出导数，函数f（x）在x=0处取得极值，则f（0）=1+a=0，解得a=1，求得极小值2，也为最小值，再求f（2）和f（1），比较即可得到最大值；（）函数f（x）不存在零点，即为ex+axa=0无实数解，讨论x=1和若x1，即有a=，令g（x）=，求出导数，求得单调区间和极值，可得0ae2，即可得到a的范围【解析】： 解：（）函数的定义域为R，f（x）=ex+a，由函数f（x）在x=0处取得极值，则f（0）=1+a=0，解得a=1，即有f（x）=exx+1，f（x）=ex1，当x0时，有f（x）0，f（x）递减，当x0时，有f（x）0，f（x）递增则x=0处f（x）取得极小值，也为最小值，且为2，又f（2）=e2+3，f（1）=e，f（2）f（1），即有f（2）为最大值e2+3；（）函数f（x）不存在零点，即为ex+axa=0无实数解，由于x=1时，e+0=0显然不成立，即有aR且a0若x1，即有a=，令g（x）=，则g（x）=，当x2时，g（x）0，g（x）递增，当x1和1x2时，g（x）0，g（x）递减即有x=2处g（x）取得极小值，为e2，在x1时，g（x）0，则有0ae2，解得e2a0，则实数a的取值范围为（e2，0）【点评】： 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的零点问题，注意函数与方程的转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题21（14分）（2015济南一模）在平面直角坐标系xoy中，椭圆的焦距为2，一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形（）求椭圆C的标准方程；（）椭圆C的右焦点为F，过F点的两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与椭圆C交于P，Q两点，直线l2与直线x=4交于T点（i）求证：线段PQ的中点在直线OT上；（ii）求的取值范围【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （）根据条件求出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；（）设PQ的方程为：x=my+1代入椭圆方程，利用根与系数之间的关系求出OG和OT的斜率，利用直线和椭圆相交的相交弦公式进行求解即可【解析】： 解：（）由椭圆得，解得a=2，c=1，b=，故所求椭圆的标准方程为（）（i）设直线PQ的方程为：x=my+1，代入椭圆方程得（3m2+4）y2+6my9=0，则判别式=36m2+4×9（3m2+4）0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点G（x0，y0），则y1+y2=，y1y2=，则y0=（y1+y2）=，x0=my0+1=，即G（，），kOG=，设直线FT的方程为：y=m（x1），得T点坐标为（4，3m），kOT=，kOG=kOT，即线段PQ的中点在直线OT上；（ii）当m=0时，PQ的中点为F，T（4，0），则|TF|=3，|PQ|=，当m0时，|TF|=，|PQ|=12，则=（3+），设t=，则t1，则y=3+=3t+=3（t+）在（1，+）为增函数，则y3+1=4，则（3+），综上1，故求的取值范围是1，+）【点评】： 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系是应用，利用直线和椭圆方程联立转化为一元二次方程问题是解决本题的关键考查学生的计算能力，运算量较大，综合性较强