全国卷1理科高考真题数学卷word版(附答案).doc

2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z满足i，则|z|(A)1 (B) (C) (D)2(2)sin20°cos10°con160°sin10° (A) (B) (C) (D)(3)设命题P：nN，>，则P为 (A)nN， > (B) nN， (C)nN， (D) nN， (4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(A)0.648 (B)0.432(C)0.36(D)0.312(5)已知M(x0，y0)是双曲线C： 上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若0，则y0的取值范围是(A)(，)(B)(，)(C)(，) (D)(，)(6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛(7)设D为ABC所在平面内一点，则(A) (B) (C) (D) (8)函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为(A)()，k (b)()，k(C)()，k (D)()，k(9)执行右面的程序框图，如果输入的t0.01，则输出的n(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 2rr正视图正视图俯视图r2r（10） 的展开式中，的系数为(A)10 (B)20 (C)30 (D)60（11） 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，（12） 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的（13） 表面积为16 20，则r(A)1(B)2(C)4(D)812.设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )A.，1) B. ) C. ) D. ，1)第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题未选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a (14)一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 .(15)若x，y满足约束条件，则的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD中，ABC75°，BC2，则AB的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) Sn为数列an的前n项和.已知an>0，()求an的通项公式：ABCFED()设 ，求数列的前n项和(18)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面AEC平面AFC(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.年销售量/t年宣传费(千元)(xi)2(wi)2(xi)(yi)(wi)(yi)46.656.36.8289.81.61469108.8表中wi ， ， ()根据散点图判断，yabx与ycd哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)()根据()的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；()以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z0.2yx.根据()的结果回答下列问题：（i） 年宣传费x49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii） 年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2). (un vn)，其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy中，曲线C：y与直线l:ykxa(a>0)交于M，N两点，()当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；()y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f(x) ()当a为何值时，x轴为曲线 的切线；()用 表示m，n中的最小值，设函数 ，讨论h(x)零点的个数请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.(22)(本题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于点E CDAEBO （I） 若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；（II） 若OACE，求ACB的大小. (23)(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中.直线:x2，圆：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I） 求，的极坐标方程；（II） 若直线的极坐标方程为，设与的交点为， ，求C2MN的面积 (24)(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数|x1|2|xa|，a>0.()当a1时，求不等式f(x)>1的解集；()若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围一、 选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）DA、B卷非选择题答案二、填空题 （13）1 （14） （15）3 （16）二、 解答题（17）解：（I）由，可知可得 即由于可得又，解得所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为（II）由设数列的前n项和为，则（18）解：（I）连结BD，设BDAC=G，连结EG，FG，EF.在菱形ABCD中不妨设GB=1.由ABC=120°，可得AG=GC=.由BE平面ABCD, AB=BC可知AE=EC.又AEEC，所以EG=，且EGAC.在RtEBG中，可得BE=故DF=.在RtFDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=，可得FE=.从而又因为所以平面（III） 如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz. 由（I）可得所以故所以直线AE与直线CF所成直角的余弦值为.（19）解： （I）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型。 2分 （II）令，先建立y关于w的线性回归方程。由于 。所以y关于w的线性回归方程为，因此y关于x的回归方程为。 6分 （III）（i）由（II）知，当x=49时，年销售量y的预报值年利润z的预报值。 9分 （ii）根据（II）的结果知，年利润z的预报值 所以当，即x=46.24时，取得最大值 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 12分（20）解：（I）有题设可得又处的导数值为，C在点出的切线方程为，即.股所求切线方程为（III） 存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为故从而当b=-a时，有（21）解：（I）设曲线y=f(x)与x轴相切于点因此，当（II）当是的零点综上，当（22）解：（I）链接AE，由已知得，在中，由已知得，DE=DC故链接OE，则OBE=OEB又ACB+ABC=90°所以DEC+OEB=90°故，DE是得切线（II）设CE=1，AE=X，由已知得，由摄影定理可得，AE=CE.BE，所以即可得，所以 （23）解： （I）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为。 5分 （II）将代入，得，解得，。故，即。 由于的半径为1，所以的面积为。 10分（24）解： （I）当时，化为， 当时，不等式化为，无解； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，解得。 所以的解集为。 5分 （II）由题设可得， 所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为。 由题设得，故。 所以a的取值范围为 10分