天津高三理科数学一轮复习试题练习：《立体几何》.doc

立体几何选择题 （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）AB CD【答案】C 解:由三视图可知,该几何体下面是半径为1,高为2的圆柱.上面是正四棱锥.真四棱锥的高为,底面边长为,所以四棱锥的体积为,圆柱的体积为,所以该几何体的体积为,选C （天津市和平区2013届高三第一次质量调查理科数学）已知正四棱柱ABCDA1B1ClD1中，AA1=2AB，E是AA1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为（）ABCD【答案】B （天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则它的体积是（）ABCD【答案】A （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）AB CD【答案】C【解析】若，所以，又，所以，即，所以选C （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC=10，AB=6，EF=7，则异面直线AB与PC所成的角为（ ）（）A90°B60°C45°D30°【答案】B【解析】,取AC的中点M,连结EM,MF，因为E,F是中点，所以,所以MF与ME所成的角即为AB与PC所成的角。在三角形MEF中，所以,所以直线AB与PC所成的角为为，选B （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形， 为球的直径，且，则此棱锥的体积为（）ABCD【答案】A【解析】因为为边长为1的正三角形，且球半径为1，所以四面体为正四面体，所以的外接圆的半径为，所以点O到面的距离,所以三棱锥的高,所以三棱锥的体积为，选（）A （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）,为平面,m为直线,如果,那么“”是“”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件.【答案】B【解析】若,当时,或.当时,若,则一定有,所以是的必要不充分条件,选B 二、填空题 （天津市宝坻区2013届高三综合模拟数学（理）试题）一个几何体的三视图如右图所示(单位:),则该几何体的体积为_.11正视图侧视图俯视图111【答案】 （天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_;【答案】80【解析】解:由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥,下部为正方体的组合体.四棱锥的高3,正方体棱长为4,所以正方体的体积为.四棱锥的体积为,所以该组合体的体积之和为. （2011年高考（天津理）一个几何体的三视图如右图所示(单位:m)则该几何体的体积为_313正视图321俯视图13侧视图2【答案】【命题立意】本小题主要考查几何体的三视图、圆锥的体积和棱柱的体积计算,考查空间想象能力和计算能力. 【解析】此几何体为一个圆锥和一个长方体组成,其体积为 （天津市2013届高三第三次六校联考数学（理）试题）一个几何体的三视图如上图所示,且其左视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为_.【答案】 （天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word版） ）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_.【答案】 （天津市河东区2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_ 【答案】 （2013届天津市高考压轴卷理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如下,若图中圆的半径为,等腰三角形的腰长为,则该几何体的体积是 _【答案】 【解析】由三视图可知,该几何体上部分是一个圆锥,下部分是个半球,球半径为1,圆锥的高为,所以圆锥的体积为,半球的体积为,所以几何体的总体积为. （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）已知直线m,n与平面,给出下列三个命题:若m,n,则mn;若m,n,则nm;若m,m,则.其中真命题的个数是_个【答案】2 解:平行于同一平面的两直线不一定平行,所以错误.根据线面垂直的性质可知正确.根据面面垂直的性质和判断定理可知正确,所以真命题的个数是2个. （天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学）如图为一个几何体的三视图，其中俯视为正三角形，AB=2,AA=4，则该几何体的表面积为_。【答案】【解析】由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，底面边长为2，高是4.所以该三棱柱的表面积为。（2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为_【答案】， （天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_.【答案】 （天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_. 正视图俯视图1.51.52232222侧视图第10题图【答案】 ; （2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）右图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积大小为_.【答案】由三视图可知,该几何体时一个边长为2,2,1的长方体挖去一个半径为1的半球.所以长方体的体积为,半球的体积为,所以该几何体的体积为. （天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为_.【答案】（2010年高考（天津理）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为_【答案】 （2012年天津理）个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为_.【答案】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体,所以其体积为:=.（天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）已知一个几何体的三视图如下图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是_cm3.【答案】【解析】由三视图可知，该几何体为一个放到的四棱柱，以梯形为低，所以梯形面积为，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为。（天津市十二校2013届高三第二次模拟联考数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,且其侧视力间一个等边三角形,则这个几何体的体积为_.【答案】 （天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）一空间几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则正视图中的值为_.【答案】3 （天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案）一个几何体的三视图如图所示,其中正视图,侧视图是全等图形,则该几何体的表面积为_.【答案】 （2009高考(天津理)）如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a=_【答案】 三、解答题（天津耀华中学2013届高三年级第三次月考 理科数学试卷）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB/CD,AB=PB=PC=BC=2CD,平面PBC平面ABCD.(1)求证:AB平面PBC;(2)求平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小;(3)在棱PB上是否存在点M使得CM/平面PAD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)证明:因为,所以ABBC 因为平面PBC平面ABCD,平面PBC平面ABCD=BC,AB平面ABCD, 所以AB平面PBC. (2) 如图,取BC的中点O,连接PO,因为PB=PC,所以POBC.因为PB=PC,所以POBC,因为平面PBC平面ABCD,所以PO平面ABCD.以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz. 不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得, . 所以, 设平面PAD的法向量为. 因为,所以 令,则.所以. 取平面BCP的一个法向量, 所以 所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为 (3) 在棱PB上存在点M使得CM/平面PAD,此时.取AB的中点N,连接CM,CN,MN,则MN/PA,AN=AB.因为AB=2CD,所以AN=CD,因为AB/CD,所以四边形ANCD是平行四边形,所以CN/AD. 因为MNCN=N,PAAD=A,所以平面MNC/平面PAD. 因为CM平面MNC,所以CM/平面PAD. （天津市河北区2013届高三总复习质量检测（二）数学（理）试题）在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,AB/CD,ABAD,PA=AB=4,AD=,CD=2.(I)设平面PAB平面PCD=m,求证:CD/m;()求证:BD平面PAC;()设点Q为线段PB上一点,且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为,求的值.【答案】 （2009高考(天津理)）如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD/BC/FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II) 证明平面AMD平面CDE;(III)求二面角A-CD-E的余弦值 【答案】本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力满分12分. 方法一:()解:由题设知,BF/CE,所以CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角设P为AD的中点,连结EP,PC因为FEAP,所以FAEP,同理ABPC又FA平面ABCD,所以EP平面ABCD而PC,AD都在平面ABCD内,故EPPC,EPAD由ABAD,可得PCAD设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=,故CED=60°所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° (II)证明:因为 (III) 由(I)可得, 方法二:如图所示,建立空间直角坐标系, 点为坐标原点设依题意得 (I) 所以异面直线与所成的角的大小为. (II)证明: , (III) 又由题设,平面的一个法向量为 （天津市河东区2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(本小题满分l )如图,四边形ABCD与BDEF均为菱形,DAB=DBF=60°,且FA=FC. (1)求证:AC平面BDEF;(2)求证:FC/平面EAD;(3)求二面角A-FC-B的余弦值.【答案】()证明:设与相交于点,连结. 因为 四边形为菱形,所以, 且为中点 又 ,所以 因为 , 所以 平面 ()证明:因为四边形与均为菱形, 所以/,/, 所以 平面/平面 又平面,所以/ 平面 ()解:因为四边形为菱形,且,所以为等边三角形. 因为为中点,所以,故平面. 由两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系 设.因为四边形为菱形,则,所以, . 所以 . 所以 ,. 设平面的法向量为,则有 所以 取,得 易知平面的法向量为 由二面角是锐角,得 . 所以二面角的余弦值为 （天津市红桥区2013届高三第二次模拟考试数学理试题（word版） ）如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的正方形,侧面PCD底面ABCD,且PC= PD=2, M,N分别为棱PC,AD的中点.(I)求证:BCPD;(II)求异面直线BM与PN所成角的余弦值;()求点N到平面MBD的距离.【答案】解法一: （天津市2013届高三第三次六校联考数学（理）试题）如图, 是圆的直径,点在圆上,交于点,平面,.EAFCMBO（第17题图）()证明:;()求平面 与平面所成锐二面角的余弦值;()求点到平面的距离.EAFCMBO（第17题图）【答案】解:(1).如图,以为坐标原点,垂直于、所在的直线为轴建立空间直角坐标系.由已知条件得, xyzABCFMO·.由, 得, (2)由(1)知. 设平面的法向量为, 由 得, 令得, 由已知平面,所以取面的法向量为, 设平面与平面所成的锐二面角为,则,平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 (3) （天津市新华中学2013届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.()证明:面PAD面PCD;()求AC与PB所成角的余弦值;()求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值.【答案】 （天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题（WORD版）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中ACB=90°,M,N分别为A1B,B1C1的中点,BC=AA1=2AC=2,求证:(1)求三棱柱C1-A1CB的体积;(2)求直线A1C与直线MB1所成角的余弦值;(3)求平面B1MN与平面A1CB所成锐二面角的余弦值.【答案】解: (1) -4 (2)-8 (3)-13 （天津市蓟县二中2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,点D是棱BC的中点.()求证:平面BCC1B1;()求证:A1B/平面AC1D;()求平面AC1D与平面ACC1A1所成的锐二面角的余弦值.【答案】 又因为,为中点,所以 因为,所以平面 ()证明:连结,交于点,连结 因为为正方形,所以为中点 所以,平面与平面所成的锐二面角的余弦值 （2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考理科数学）如图在四棱锥中,底面是边长为的正方形,侧面底面,且,设、分别为、的中点.() 求证: /平面;() 求证:面平面; () 求二面角的正切值.FEDCBAP【答案】法一:()证明:为平行四边形 连结,为中点, 为中点在中/ 且平面,平面 ()证明:因为面面 平面面 为正方形,平面 所以平面 又,所以是等腰直角三角形, 且 即 ,且、面 面 又面 面面 () 【解】:设的中点为,连结, 则由()知面, ,面, 是二面角的平面角 中, 故所求二面角的正切值为 法二:如图,取的中点, 连结,. , . 侧面底面, , , 而分别为的中点, 又是正方形,故. ,. 以为原点,直线为轴建立空间直线坐标系, 则有,. 为的中点, ()证明:易知平面的法向量为而, 且, /平面 ()证明:, , ,从而,又, ,而, 平面平面 () 【解】:由()知平面的法向量为. 设平面的法向量为., 由可得,令,则, 故, 即二面角的余弦值为, 所以二面角的正切值为 （天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷）如图,已知四棱锥E-ABCD的底面为菱形,且ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=(1)求证:平面EAB平面ABCD(2)求二面角A-EC-D的余弦值【答案】解:(1)证明:取AB的中点O,连接EO,CO AEB为等腰直角三角形 EOAB,EO=1 又AB=BC,ABC=60°,ABC是等边三角形, ,又 EO平面ABCD,又EO平面EAB,平面EAB平面ABCD (2)以AB的中点O为坐标原点,OB所在直线为y轴,OE所在直线为z轴,如图建系则,=(0,2,0) 设平面DCE的法向量为,则,即,解得: 同理求得平面EAC的一个法向量为 ,所以二面角A-EC-D的余弦值为 （天津市五区县2013届高三质量检查（一）数学（理）试题）在三棱锥S -ABC中,是边长为2的正三角形,平面SAC平面ABC,E,F分别为AB、SB的中点.(I)证明:ACSB;()求锐二面角F -CE B的余弦值;()求B点到平面CEF的距离.【答案】证明:()法一:取中点,连结,. 且 平面,又平面, FEBACSOxyz法二:取中点,以为原点, 分别以、为轴、轴、轴, 建立空间直角坐标系,则, , , ()由()得 设为平面的一个法向量,则 取,. 又为平面的一个法向量, 二面角的余弦值为 ()由()()得,为平面的一个法向量 点到平面的距离 （天津市红桥区2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题（Word版含答案）(本小题满分I )如图,已知直四棱柱(侧棱垂直底面的四棱柱)ABCDA1B1C1Dl中,底面为梯形,ADDC,AB/ DC,且满足DC=DD1=2AD=2AB=2(I)求证:DB平面B1BCC1;(II)求二面角A1-BD-C1的余弦值·【答案】 （天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题）(本小题满分13分)在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，AD/EF，EF/BCBC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点。(1)求证：AB/平面DEG；(2)求证：BDEG；(3)求二面角CDFE的正弦值。【答案】         （天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯ABCD,ADBC,BAD=90O,PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.(1)求证:PBDM;(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在点E,PEED=,使得二面角C-AN-E的平面角为60o.存在求出值.【答案】解:(1)如图以A为原点建立空间直角坐标系 A(0,0,0),B(2,0,0), C(2,1,0),D(0,2,0) M(1,1),N(1,0,1), E(0,m,2-m),P(0,0,2) (2,0,-2),(1,-,1) =0 (2)=(-2,1,0)平面ADMN法向量=(x,y,z) =(0,2,0) =(1,0,1) =(1,0,-1) 设CD与平面ADMN所成角,则 (3)设平面ACN法向量=(x,y,z) =(1,-2,-1) 平面AEN的法向量=(x,y,z) =(1,-1) , 即m=PE:ED=(3-4):2不存在,为135°钝角 （天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）如图,四棱柱的底面是平行四边形,且,为的中点, 平面.()证明:平面平面;()若,试求异面直线与所成角的余弦值;()在()的条件下,试求二面角的余弦值.【答案】解()依题意, 所以是正三角形, 又 所以, 因为平面,平面,所以 因为,所以平面 因为平面,所以平面平面 ()取的中点,连接、 ,连接,则 所以是异面直线与所成的角 因为, 所以 , 所以 ()()解法2:以为原点,过且垂直于的直线为轴,所在直线为轴、所在直线为建立右手系空间直角坐标系 设(), 则 ()设平面的一个法向量为, 则 ,取,则,从而, 同理可得平面的一个法向量为, 直接计算知,所以平面平面 ()由即 .解得 , 所以异面直线与所成角的余弦值 ()由()可知,平面的一个法向量为 又,设平面的法向量则得 设二面角的平面角为,且为锐角 则 所以二面角的余弦值为 （2013届天津市高考压轴卷理科数学）如图,在长方体,中,点在棱AB上移动.(1)证明:; (2)当为的中点时,求点到面的距离; (3)等于何值时,二面角的大小为.ABCDA1B1C1D1E【答案】解:以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则 ABCDA1B1C1D1E (1) (2)因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则 也即,得,从而,所以点到平面的距离为 (3)设平面的法向量, 由 令, 依题意 (不合,舍去), . 时,二面角的大小为 （2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理）.在长方体中，为中点.（）证明：；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】（）证明：连接是长方体，平面， 又平面 1分 在长方形中， 2分又平面， 3分 而平面 4分（）如图建立空间直角坐标系，则,5分设平面的法向量为，则 令，则 7分 8分所以 与平面所成角的正弦值为 9分（）假设在棱上存在一点，使得平面.设的坐标为，则 因为 平面所以 ， 即， ，解得， 12分所以 在棱上存在一点，使得平面,此时的长.13分（天津市宝坻区2013届高三综合模拟数学（理）试题）在四棱锥中,平面,为的中点,. ()求四棱锥的体积;()若为的中点,求证:平面平面;()求锐二面角的大小.ABCDEFP【答案】()解:在中, , 在中, 则 ()建立如图所示的空间直角坐标系 , , , , 设平面AEF的一个法向量为 由 取,得,即 又平面PAC的一个法向量为 平面平面 ()易知平面ACD的一个法向量为 设平面的一个法向量为 由 取,得, 又因为二面角为锐角 二面角的大小为30° （2011年高考（天津理）如图,在三棱柱中,是正方形的中心,平面,且.()求异面直线与所成角的余弦值;()求二面角的正弦值;()设N为棱的中点,点M在平面内,且平面,求线段BM的长.【答案】【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力 【解析】方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点.依题意得 , (I)易得,于是 所以异面直线与所成角的余弦值为. (II)易知,设平面的法向量,则,即,不妨令,可得,同样地,设平面的法向量,则,即,不妨令,可得,于是,从而, 所以二面角的正弦值为 (III)由N为棱的中点,得,设, ,由平面,得,即,解得,故,因此,所以线段BM的长. 方法二:(I)由于,故是异面直线与所成的角.因为平面,又是正方形的中心,.可得 因此,所以异面直线与所成角的余弦值为. (II)连接,易知,又由于,所以,过点A作于点R,连接,于是,故为二面角的平面角,在,连接 在中,从而,所以二面角的正弦值为 (III)因为平面,所以,取的中点D,连接ND,由于N是的中点,所以且,又平面,所以平面,故,又,所以平面,连接MD并延长交于点E,则,故,由于,得.延长EM交AB于点F,可得,连接NE,在中,故,所以,得,连接BM,在中. （天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，作交于点（1）证明:平面.（2）证明:平面.（3）求二面角的大小.【答案】解：（1）证明：连接与交于，为正方形，为中点.为中点，又平面，平面/平面 （2）为中点，为正方形，又平面，平面 又是平面内的两条相交直线，即平面，又平面，所以（2013天津高考数学（理）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 【答案】本题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、直线与平面所成的角,直线与平面垂直等基础知识.考查空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. (方法一)如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0). ()证明:易得,于是,所以. ()解:. 设平面D法向量, 则,即,消去,得, 不妨设,可得一个法向量为. 由(),又,可得平面,故为平面的一个法向量. 于是,从而 所以二面角B1-CE-C1的正弦值为. ()解:,设, 有.可取为平面ADD1A1的一个法向量. 设为直线AM与平面ADD1A1所成角, 则= 于是,解得,所以AM= . (解法二) ()证明:因为侧棱底面,平面.所以.经计算可得,从而.所以在中,又,平面,所以平面,又平面,故. ()解:过作于点G,连接.由(),垂直,故平面,得,所以为二面角B1-CE-C1的平面角.在中,由,可得.在Rt中,所以,即二面角B1-CE-C1的正弦值为.