高考数学数列专题复习.doc

绝密启用前高三数学第二轮专题复习-数列一、本章知识结构：等差数列的性质通项及前n项和正 整 数 集数 列 的 概 念等 差 数 列等 比 数 列等比数列的性质有 关 应 用 二、高考要求1 理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.2 理解等差（比）数列的概念，掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3 了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳猜想证明”这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. 2.有关数列题的命题趋势（1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（2）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（3）加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即（a3+a5）2=25.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：借助特殊数列.灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。6这几年的高考通过选择题，填空题来着重对三基进行考查，涉及到的知识主要有：等差（比）数列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查，其中涉及到方程、不等式、函数思想方法的应用等，综合性比较强，但难度略有下降.四、复习建议1 对基础知识要落实到位，主要是等差（比）数列的定义、通项、前n项和.2 注意等差（比）数列性质的灵活运用.3 掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前n项和的求和方法.4 注意渗透三种数学思想：函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想.5 注意数列知识在实际问题中的应用，特别是在利率,分期付款等问题中的应用.6 数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。五、典型例题数列的概念与性质【例1】 已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式.解：q=1时，又显然，q1 依题意；解之又，依题意，将代入得 【例2】 等差数列an 中，=30，=15，求使an0的最小自然数n。解：设公差为d，则或或或 解得：Þ a33 = 30 与已知矛盾 或Þ a33 = - 15 与已知矛盾或Þa33 = 15 或 Þ a33 = - 30 与已知矛盾an = 31+(n - 1) () Þ 31 0 Þ n63 满足条件的最小自然数为63。【例3】 设等差数列a的前n项和为S，已知S4=44,S7=35（1）求数列a的通项公式与前n项和公式；（2）求数列的前n项和Tn。解：（1）设数列的公差为d，由已知S4=44,S7=35可得a1=17,d=-4a=-4n+21 (nN),S=-2n+19 (nN).（2）由a=-4n+210 得n, 故当n5时，a0, 当n6时，当n5时,T=S=-2n+19n 当n6时,T=2S5-S=2n-19n+90.【例4】 已知等差数列的第2项是8，前10项和是185，从数列中依次取出第2项，第4项，第8项，第项，依次排列一个新数列，求数列的通项公式及前n项和公式。解：由 得 【例5】 已知数列：求证数列为等差数列，并求它的公差设，求的和。解：由条件，；故为等差数列，公差又知【例6】 已知数列1，1，2它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到。求该数列的前n项和Sn；解：(1)记数列1，1，2为An，其中等比数列为an，公比为q；等差数列为bn，公差为d，则An =an +bn (nN）依题意，b1 =0，A1 =a1 +b1 =a1 =1 A=a+b=aq+b+d=1 A=a+b=aq2 +b+2d=2 由得d=-1, q=2, 【例7】 已知数列满足an+Sn=n,(1)求a1,a2,a3,由此猜想通项an,并加以证明。解法1：由an+Sn=n,当n=1时，a1=S1，a1+a1=1，得a1=当n=2时，a1+a2=S2，由a2+S2=2，得a1+2a2=2，a2=当n=3时，a1+a2+a3=S3，由a3+S3=3，得a1+a2+2a3=3a3=猜想，(1)下面用数学归纳法证明猜想成立。当n=1时,a1=1-,(1)式成立假设,当n=k时,(1)式成立,即ak=1-成立，则当n=k+1时,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+12ak+1=k+1-Sk 又ak=k+Sk2ak+1=1+ak ak+1=即当n=k+1时,猜想（1）也成立。所以对于任意自然数n,都成立。解法2：由an+Sn=n得，两式相减得：，即，即，下略【例8】 设数列是首项为1的等差数列，数列是首项为1的等比数列，又。(1)求数列的通项公式与前n项和公式；(2)当时，试判断cn的符号（大于零或小于零），并给予严格证明。解：(1)设数列的公比为q由条件得(2)证明：当n=5，c5<0命题成立假设当当也成立由，对一切n5，都有cn<0。【例9】 是等差数列，数列满足的前n项和。(1)若的公差等于首项a1，证明对于任意自然数n都有；(2)若中满足，试问n多大时，Sn取得最大值？证明你的结论。解：(1)当，原命题成立假设当成立则(2)由故中最大【例10】 已知数列的前n项和为Sn，满足条件，其中b>0且b1。(1)求数列的通项an；(2)若对4，试求b的取值范围。解：(1)由已知条件得当n=1时，故(2)由【例11】 两个数列、中，成等差数列，且成等比数列。(1)证明是等差数列；(2)若的值。解：(1)是等差数列(2)又，又数列的概念与性质练习一、选择题1设（ D ）ABCD2等比数列中，那么的值为（ C ）ABCD311等比数列 a 中，a=7，前三项之和 S=21，则公比q的值是( C ) （） 1 （） - （） 1或 - （） -1或4首项为1，公差不为零的等差数列中的是一个等比数列的前3项，则这一等比数列的第四项为（ B ）A8B8C6D不确定5已知数列的前n项和，那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构成的数列的通项公式是（ B ）ABCD 6数列an的前n项和Sn=3n-2n2 (nN)，当n>2时，就有（ D ） ASn>na1>nan BSn< nan<na1 Cna1<Sn<nan Dnan<Sn<na17有下列命题：x=是a, x, b成等比数列的充分但不必要条件某数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列一定是常数列已知Sn表示数列an的前n项和，且S，那么an一定是等比数列设，则这三个数a, b, c成等差数列其中正确的命题序号是：（ D ） A B C D8若两个等差数列的前n项和(nÎN)，则的值等于（ C ） A B C D9在等差数列中，3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24，则此数列前13项之和为（ A ） A26 B13 C52 D15610等差数列，=5，它的前11项的算术平均值为5。若从中抽去一项，余下10项的算术平均值为4，则抽去的是（ D ） A B C D二、填空题1已知数列的前n项和的公式为，则通项公式为。2数列a的通项公式为 前n项和为 S，若(a为实常数)，则a的值等于 。3三、解答题1（1）（2）（3）解：（1）（2）得(3)当n=2k（kN）时，当n=2k-1 (kN)时，2数列的前n项和为Sn, 已知是各项为正数的等比数列。试比较的大小，证明你的结论。解：依题意, 可设则从而有()当q = 1时, a2 = a3 = = 0()当q > 0且时,(1)当n = 1时, (2)当(i)若q > 1时, 则(ii)若0 < q < 1时, 则3已知数列 (1)分别求出。(2)当n³9且n是自然数时，试比较与2的大小，并说明理由。解：（1）；（2）时命题成立4已知，比较与的大小。试确定实数的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式恒成立。解：（1）f(n+1)-f(n)=S2n+3-Sn+2-(S2n+1-Sn+1)=>=0，f(n+1)>f(n)。（2）f(n+1)>f(n)，当n>1时，f(n)的最小值为f(2)=S5-S3=必需且只须<，由得m>1且m2令t=则不等式等价于，解得：0<t<1即0<<1，即-1<logm(m-1)<0或0<logm(m-1)<1，解之得：。5某人年初向建设银行贷款10万元用于买房。(1)如果他向建设银行贷款, 年利率为5%, 且这笔借款分10次等额归还(不计复利), 每年一次, 并从借后次年年初开始归还, 问每年应还多少元(精确到1元)？(2)如果他向工商银行贷款, 年利率为4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息), 仍分10次等额归还, 每年一次, 每年应还多少元(精确到1元)？解：(1) 若向建设银行贷款, 设每年还款x元, 则105×(1 + 10×5%) = x(1 + 9×5%) + x(1 + 8×5%) + x(1 + 7×5%) + + x,105×1.5 = 10x + 45×0.05x,解得(元)(2)若向工商银行贷款, 设每年还款y元, 则105×(1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + + y其中1.0410 = (1 + 0.04)10 = 1 + 10×0.04 + 45×0.042 + 120×0.043 + 210×0.044 + 1.4802 (元)答: 若向建设银行贷款, 每年需还12245元; 若向工商银行贷款, 每年需还12330元。数列的综合应用(1)【例1】 已知无穷数列an,Sn是其前n项和,对不小于2的正整数n,满足关系。(1)求a1，a2，a3；（2）证明an是等比数列;（3）设计算解：（1）S2= （2）猜想 a（1） 当n=1时，命题成立（2） 假设n=k（k1）时命题成立,即(*)同理有 1-Sk+1=ak+1 (*)由(*)式和假设由（*）式，得，1=（Sk+ak+1）故 ak+1=当n=k+1时，命题也成立。由（1），（2）nN,a此时 （2）另证：对 n2, 1-Sn=an-1-an1- Sn+1=an-an+1 两式相减,有（3）=【例2】 已知，数列 满足 （1）写出数列的前五项，试归纳出的表达式，并用数学归纳法证明。（2）求。（3）若求数列的前n项的和Sn。解：（1）由得数列前五项(ii)假设时等式成立，即当时即等式对也成立由（i）（ii）可知等式对都成立（2）（3）【例3】 已知a>0，a1，数列an是首项为a，公比也为a的等比数列，令bn=anlgan（nN）。（1）求数列bn的前n项和Sn；（2）当数列bn中的每一项总小于它后面的项时，求a的取值范围.解：（1）由题意知an=an，bn=nanlga. Sn=（1 a+2 a2+3 a3+n an）lga.a Sn=（1 a2+2 a3+3 a4+n an+1）lga.以上两式相减得（1a）Sn=（a+a2+a3+ann an+1）lga .a1，.（2）由bk+1bk=(k+1)ak+1lgakaklga=aklgak(a1)+a.由题意知bk+1bk>0，而ak>0，lgak(a1)+a>0. （1）若a>1，则lga>0，k(a1)+a>0，故a>1时，不等式成立；（2）若0<a<1，则lga<0，不等式成立恒成立.综合（1）、（2）得a的取值范围为【例4】 已知数列an的前n项和为Sn，又有数列bn，它们满足关系，对有。（1）求证bn是等比数列，并写出它的通项公式（2）求解：证法一：当 n=1时，。同理，(2)(1),即由于是由(3),(4)知的等比数列，证法二：同上算得，猜想且数学归纳法证明，(1) 当，命题成立(2)假设时命题成立，即成立。 又由(1)(2)知对 猜想成立的等比数列， 解法2：由，bn是等比数列；且【例5】 已知是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为，是首项为1，公比为q(|q|<1)的等比数列，其前n项和为，设，若 ，求d和q。解：；又；=1 又 【例6】 已知等比数列中a1 = 1，公比为x (x > 0)，其前n项和为S。（1）写出数列的通项公式及前n项和Sn的公式；（2）设，写出bn关于x和n的表达式；（3）判断数列bn的增减性；（4）求。解：（1）（2）（3）当；当n1时，综上知为递减数列。（4）当数列的综合应用(1) 一、选择题1等差数列的通项公式为的前n项和S等于( A ) (A) (B) (C) (D) 2一个等比数列的前n项和，则该数列各项和为（ B ）AB1CD任意实数3已知数列an满足an+1=anan1（n2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+an，则下列结论正确的是（ A ）.（A）a100=a，S100=2ba （B）a100=b，S100=2ba（C）a100=b，S100=ba （D）a100=a，S100=ba4设首项为3，公比为2的等比数列a的前n项和为S，首项为2，公比为3的等比数列a'的前n项和为S'，则的值等于( C ) （） （） （） （） 25在等比数列中，首项a1 < 0，则是递增数列的充要条件是公比q满足（ C ）Aq > 1Bq < 1C0 < q < 1Dq < 06设首项为3，公比为2的等比数列 a 的前n项和为S，首项为2、公比为3的等 比数列a 的前n项和为 S，则 的值等于：( C ) （） （） （） （） 27已知数列中，则这个数列前n项和的极限是（A）（A）2 （B） （C）3 （D）8等差数列的通项，则由所确定的数列的前n项和是（ C ）ABCD9已知等比数列an中，公比qR，且,，记则Sn等于（ D ）ABCD解：由已知可得所以得：所以10已知数列此数列所有项的和等于（ C ）A0.25B0.5C0.3D0.375二、填空题1设等差数列共有3n项，它的前2n项之和是100，后2n项之和是200，则该等差数列的中间n项之和等于 . 752在数列该数列所有项的和为，则的值等于3某工厂原来年总产值为a，以后连续两年平均以10%递增，若连续两年中第二年产值为b，则a占b的百分数是 。4数列中， 。5已知、都是公差不为零的等差数列，且则的值为 。6已知数列是等比数列，若且 . 16三、解答题1数列中，前n项和其中a,b是常数，且a>0,a+b>1,nN.（1）求的通项公式，并证明；（2）令，试判断数列中任意相邻两项的大小.解：（1）当n=1时也能满足上式，（2）由（1）及对数的性质可得数列中各项皆为正值又，.2已知数列，前n项和为，对于任意总成等差数列。（1）求的值；（2）求通项（3）计算.解：（1）当n2时，成等差数列；，类似地 （2）当n2时，即得 为常数，成等比数列.；其中故（3）= 数列的综合应用(2)【例1】 已知函数具有下列性质： （1）当n一定，记求的表达式 （2）对解：（1） 即又，即，由n为定值，则数列是以为首项，为公比的等比数列，由于 （2），欲证，只需证明，只需证明【例2】 已知函数f(x)=（1）求f(x)的反函数f1 (x)的表达式；（2）数列中，a1 =1；an =f1 (an1)(nÎN，n2)，如果bn =(nÎN)，求数列的通项公式及前n项和Sn；（3）如果g(n)=2Sn17n，求函数g(x) (xÎR)在区间t,t+2 (tÎR)上的最小值h(t)的表达式。解：（1） f1 (x)= （2） 是以1为首项，公差为1的等差数列 （3）g(n)=2Sn17n=n216n xÎRg(x)函数图像是以顶点M（8，64）且开口向上的抛物线(i)当t>8时，g(x)在t,t+2上是增函数 h(t)=g(t)=t216t(ii)当t+2<8时，g(x)在t,t+2是减函数 h(t)=g(t+2)=t212t28(iii)当6t8时 h(t)=g(8)=64【例3】 在数列an中，已知（1）求证：；（2）求证：；（3）若存在，使得，求证：。解：（1）证明：当，命题成立。假设时，命题成立，即则由归纳假设，则，由平均值定理得所以时也成立因此，对任意自然数n，都有（2）证明：；由（1），又（3）证明：由及得由此得；于是又，解得【例4】 已知数列an满足a12，对于任意的nN，都有an0，且(n1)aanan1na0，又知数列bn:b12n11。(1)求数列an的通项an以及它的前n项和Sn；(2)求数列bn的前n项和Tn；(3)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.解： 。 ，。即。，又，。，。当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，。猜想：当时，。即。亦即。下面用数学归纳法证明：当时，前面已验证成立；假设时，成立，那么当时，。当时，也成立。由以上、可知，当时，有；当时，；当时，。【例5】 已知等差数列中，公差为d>0，等比数列中，公比q>0且若，求a的取值范围.解：由已知不等式，得 ，当时，若，则，若，则，当时，若，则，若时，则，综上：若时， 或时，或数列的综合应用(2)练习一、选择题1设Sn =，则等于（ A ） A B C0 D2已知数列中，那么等于（ B ）A、495B、765C、1080D、31053在等差数列中，（ A ）A、0B、mC、nD、不确定4一个等差数列的首项为4，它的第一项、第七项、与第十项成等比数列，这个数列的通项公式是（ C ）A、B、C、D、5设等于（ C ）A、B、C、D、16数列1,b,c,8中，前三项1,b,c成等差数列，后三项b,c,8成等比数列，则必有（ B ）A、c>0B、b>0C、c<0D、b<07设等差数列的前4项之和为26，其末4项之和为110，又这个数列的所有的项之和为187，则这个数列共有多少项（ A ）A、11项B、22项C、8项D、项数不能确定8设数列满足且等于（ D ）A、100aB、100a2C、101a100D、100a100二、填空题1若等差数列的前几项和为Sn，且 。1002已知数列，它的前n项和记为Sn，若是一个首项为a公比为q(q>0)的等比数列，且 . 3在等比数列中，记：，若则公比q= 34数列的前n项和为的值为 。15数列的通项公式前n项和为(a为实常数)，则a的值等于 。26已知等比数列的各项都是正数，且前n项中最大的一项为54，则n= 。4三、解答题1、若分别表示数列的前n项的和，对任意正整数n，。（1）求数列的通项公式；（2）在平面直角坐标系内，直线的斜率为,且与曲线有且仅有一个交点，与y轴交于点Dn，记;（3）若.解：（1）解法（一）由已知当由于由于b1适合上式，解法（二）由于为等差数列，当n=1时，当由于b1适合上式，（2）设的方程为直线与曲线只有一个交点， 则从而（3）=2都是各项为正的数列，对任意的自然数，都有成等差数列，成等比数列。（1）试问是否是等差数列？为什么？（2）求证：对任意的自然数成立；（3）如果，求。解：依题意（1），由式得从而时，代入，是等差数列。（2）因为是等差数列（3）由及两式易得中公差又也适合、