全国高考数学试题分类汇编(函数与导数)有参考答案.doc

2012全国各地高考数学试题分类汇编（函数与导数）1. （2012辽宁）设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为A5 B6 C7 D8【解析】由知,所以函数为偶函数，所以，所以函数为周期为2的周期函数，且，而为偶函数，且，在同一坐标系下作出两函数在上的图像，发现在内图像共有6个公共点，则函数在上的零点个数为6，故选B.2.（2012安徽理）（本小题满分13分）K 设 （I）求在上的最小值； （II）设曲线在点的切线方程为；求的值。【解析】（I）设；则 当时，在上是增函数 得：当时，的最小值为 当时， 当且仅当时，的最小值为（II） 由题意得：3.(2012安徽文)（本小题满分12分）设定义在（0，+）上的函数（）求的最小值；（）若曲线在点处的切线方程为，求的值。【解析】（I） 当且仅当时，的最小值为 （II）由题意得： 由得：4(2012北京理)（本小题共13分）已知函数f（x）=ax2+1（a>0）,g(x)=x3+bx(1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；(2) 当a2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-，-1）上的最大值，解：（1）由为公共切点可得：，则，则，又，即，代入式可得：（2），设则，令，解得：，；，原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增若，即时，最大值为；若，即时，最大值为若时，即时，最大值为综上所述：当时，最大值为；当时，最大值为5. (2012福建理)（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数，且的解集为。（）求的值；（）若，且，求证：。【解析】（1）， （2）由（1）知,由柯西不等式得（lby lfx）6. (2012福建理)（本小题满分14分）已知函数 （）若曲线在点处的切线平行于轴，求函数的单调区间；（）试确定的取值范围，使得曲线上存在唯一的点，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点。解：（） 由题意得： 得：函数的单调递增区间为，单调递减区间为（）设； 则过切点的切线方程为 令；则 切线与曲线只有一个公共点只有一个根 ，且 （1）当时， 得：当且仅当时， 由的任意性，不符合条件（lby lfx） （2）当时，令 当时， 当且仅当时，在上单调递增 只有一个根 当时， 得：，又 存在两个数使， 得：又 存在使，与条件不符。 当时，同理可证，与条件不符 从上得：当时，存在唯一的点使该点处的切线与曲线只有一个公共点7. (2012广东理)（本小题满分14分）设，集合，（1）求集合（用区间表示） （2）求函数在内的极值点。解（1）由有 ，即 有 又 当时，恒成立。B=R当时，当时，即1）当时，方程有两个不同的根其中，且 （显然）2）当时，3）当时， （显然） ， （，显然）综合上述：当时，当时，当时，（2），由 有当时，1+00+ 函数在内的极值点为或当时， （）而 ，即（） 同理 （）而 ，即，故+0+ 函数在内的极值点为当时，而 ， 函数在内的无极值点综合上述： 当时，函数在内的极值点为或；当时，函数在内的极值点为当时，函数在内的无极值点8. （2012广东理）(本小题满分14分)已知函数f(x)=1+，求：（1）当x为何值时，函数f(x)取得极大值;（2）作出函数f(x)的草图，并写出分析过程.解：（1）函数的定义域为（-，-3）（-3，+）对函数f(x)求导得：f(x)=令f(x)=0，得x=3因为x（-，-3）时，f(x)<0; x(-3,3)时，f(x)>0；x（-3，+）时，f(x)<0所以x=3时，函数f(x)取得极大值.（）对f(x)=求导得：f(x)=令f(x)=0，得x=6. 列表分析：x（-，-3）(-3,3)3(3,6)6（6，+）f(x)-+0-f(x)-0+f(x)4X=-3是曲线的铅直渐近线，y=1是曲线的水平渐近线计算点的函数值：f(0)=1,f(-1)=-8,f(-9)=-8,f(-15)=-草图: 9（2012广东文） （本小题满分14分）设，集合，(1) 求集合（用区间表示）；(2) 求函数在内的极值点解：（1）集合B解集：令(1):当时，即：，B的解集为：此时（2）当此时，集合B的二次不等式为：，此时，B的解集为：故：（3）当即此时方程的两个根分别为： 很明显，故此时的综上所述：当当时，当，(2) 极值点，即导函数的值为0的点。即此时方程的两个根为： （）当 故当 分子做差比较：所以又分子做差比较法：，故,故此时时的根取不到，（）当时，此时，极值点取不到x=1极值点为(,（）当，,极值点为： 和总上所述：当 有1个当时，有1个极值点为(, 当，有2个极值点分别为为： 和10（2012湖南文）（本小题满分13分）已知函数，其中a0（）若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合；（）在函数的图象上取定两点，记直线AB的斜率为k，证明：存在，使成立解：（）令得 当时，单调递减； 当时，单调递增 故当时，取最小值于是对一切xR，1恒成立，当且仅当 令，则 当时，单调递增；当时，单调递减 故当时，取最大值 因此，当且仅当时，式成立 综上所述，a的取值集合为（）由题意知， 令，则 ， 令，则 当时，单调递减； 当时，单调递增 故当时， ，即 从而， 又，所以， 因为函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 所以存在存在，使，即成立11（2012湖北理）（本小题满分14分）（）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.解析：（），令，解得.当时，所以在内是减函数；当 时，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值. （）由（）知，当时，有，即 若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.综上，对，为正有理数且，总有. （）（）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数. 若，则. 用数学归纳法证明如下：（1）当时，有，成立. （2）假设当时，成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则. 当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=.因，由归纳假设可得，从而. 又因，由得，从而.故当时，成立.由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立. 说明：（）中如果推广形式中指出式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.12（2012湖南理）（本小题满分13分）已知函数，其中a0（）若对一切xR，1恒成立，求a的取值集合；（）在函数的图像上取定两点，记直线AB的斜率为k问：是否存在，使成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由解：（）若，则对一切，这与题设矛盾又，故而令，得当时，单调递减；当时，单调递增故当时，取最小值于是对一切恒成立，当且仅当 令则当时，单调递增；当时，单调递减故当时，取最大值因此，当且仅当，即时，式成立综上所述，的取值集合为（）由题意知，令则令，则当时，单调递减；当时，单调递增故当时，即从而，又所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在，使得又单调递增，故这样的是唯一的，且故当且仅当时， 综上所述，存在，使成立，且的取值范围为13.（2012江苏卷）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点. 已知是实数，1和-1是函数的两个极值点.(1)求a和b的值；(2)设函数的导函数，求的极值点;(3)设，其中，求函数的零点个数解.(1)由题设知，且解得(2)由（1）知，因为 所以的根为,于是函数的极值点只能是1或-2 当时,;当时, ,故-2是的极值点. 当或时, ,故1不是的极值点.所以的极值点是-2.(3)令,则,先讨论关于的方程根的情况,当时,由(2)可知，的两个不同根为1和-2，注意到是奇函数，所以的两个不同根为-1和2.当时，因为所以-2，-1,1,2都不是的根.由(1)知 当时,于是是单调增函数,从而 ,此时无实根,同理, 在上无实根. 当时, ,于是是单调增函数,又,的图像不间断,所以在内有唯一实根.同理, 在(-2,-1)内有唯一实根. 当时,故是单调减函数,又 的图像不间断, 所以在内有唯一实根.由上可知:当时,有两个不同的实根满足;当时，有三个不同的实根满足现考虑的零点.（）当时，有两个不同的根满足而有三个不同的实根，有两个不同的实根，故有5个零点.（）当时，有三个不同的根,满足而有三个不同的根,故有9个零点.综上可知,当时，函数有5个零点; 当时，函数有9个零点.14. （2012江西文）（本小题满分14分）已知函数f(x)=（ax2+bx+c）ex在上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.（1）求a的取值范围；（2）设g(x)= f(-x)- f(x)，求g(x)在上的最大值和最小值。【解析】（1），因为在0,1上单调递减则令即解得（2） 15. （2012辽宁） （本小题满分12分）设，曲线与直线在点相切.（1）求的值；（2）证明：当时，【命题意图】本题主要考查函数的切线及恒成立问题，考查运算求解能力，是难题.【解析】（1）由的图像过点，代入得由在处的切线斜率为，又，得3分（2）（证法一）由均值不等式，当时，故记，则，令，则当时，（lby lfx）因此在内是减函数，又由，得，所以因此在内是减函数，又由，得，于是当时， 12分（证法二）由（1）知，由均值不等式，当时，故令，则，故，即，由此得，当时，记，则当时，因此在内是减函数，又由，得，即16. （2012辽宁）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，不等式的解集为（1）求的值（2）若恒成立，求的取值范围【命题意图】本主要考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的意义，是容易题.【解析】（1）由得，又的解集为，所以当时，不合题意当时，得,（2）记，则，所以，因此 17.（2012辽宁文）(本小题满分12分)设，证明： ()当x1时， （ ） ()当时【答案与解析】证明:(1)记，,则当时, 又g(0)=1,所以 所以（2）记.由(1)得 令.则当时因此在内是减函数,又由g(0)=1,得所以所以在内是减函数,又得,于是当时,.18.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知，不等式的解集为. ()求a的值； ()若恒成立，求k的取值范围。【答案与解析】解(1)由得,又的解集为,所以当时,不合题意. 当时,得.(2)记,则所以,因此19.（2012全国卷理）（本小题满分12分）已知函数满足满足；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。解（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区间为 （2）得 当时，在上单调递增 时，与矛盾 当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为20.（2012全国卷理）（本小题满分10分）选修：不等式选讲已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围。解（1）当时， 或或 或 （2）原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立21.(2012山东理) (本小题满分13分)已知函数 （k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行。（）求k的值；（）求的单调区间；（）设,其中为f(x)的导函数，证明：对任意.解析：由可得，而，即，解得；（），令可得，当时，；当时，。于是在区间内为增函数；在内为减函数。简证（），当时， ，.当时，要证。只需证，然后构造函数即可证明。22 (2012山东文) (本小题满分13分)已知函数为常数，e=2.71828是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与x轴平行.()求k的值；()求的单调区间；()设，其中为的导函数.证明：对任意.解：(I)，由已知，.(II)由(I)知，.设，则，即在上是减函数，由知，当时，从而，当时，从而.综上可知，的单调递增区间是，单调递减区间是.(III)由(II)可知，当时，01+，故只需证明在时成立.当时，1，且，.设，则，当时，当时，所以当时，取得最大值.所以.综上，对任意，.23（2012上海理）已知函数. （1）若，求的取值范围；（6分） （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.（8分）解：（1）由，得. 由得. 3分 因为，所以，. 由得. 6分 （2）当xÎ1,2时，2-xÎ0,1，因此. 10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，. 14分24. （2012上海文）已知函数.若，求的取值范围；如果是以为周期的偶函数，且当时，有，求函数 的反函数.答案：25.（2012四川理）(本小题满分14分)已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距.（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A的坐标为，对则抛物线在点A处的切线方程为(2)由（1）知f(n)=,则即知，对于所有的n成立，特别地，取n=2时，得到a当,>2n3+1当n=0,1,2时，显然故当a=时，对所有自然数都成立所以满足条件的a的最小值是.（3）由（1）知，则，下面证明：首先证明：当0<x<1时，设函数当故g(x)在区间（0,1）上的最小值g(x)min=g所以，当0<x<1时，g(x)0,即得由0<a<1知0<ak<1(),因此，从而 26（2012四川文）(本小题满分14分)已知a为正实数，n为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点A，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距（）用和表示；（）求对所有都有成立的的最小值；（）当时，比较与的大小，并说明理由解：（）令，得，则由知，点处的切线方程为令，得，（）由（）知，则成立的充要条件是，即知，对于所有的n成立，特别地，取n=1得到当，n1时，当n=0时，故时，对所有都成立所以满足条件的a的最小值为3（）由（）知下面证明：首先证明：当时，设函数，则当时，；当时，故在上的最小值，所以当时，即得由知，因此，从而27.(2012天津理)（本小题满分14分）已知函数的最小值为，其中.（）求的值；（）若对任意的,有成立，求实数的最小值；（）证明.解：（1）的定义域为，由，得当变化时变化时，的不好情况如下表：因此，在处-0+极小值取得最小值，故由题意所以（2）当时，取，有，故不合题意.当时,令,即令得当时, 在上恒成立,因此在上单调递减,从而对于任意的,总有,即在上恒成立.故符合题意.当时, ,对于故在内单调递增,因此,当取时,即不成立.故不合题意.(3)证明:当时,不等式左边右边,所以不等式成立.当时, 在(2)中取得,从而所以有 综上28.（2012天津文）（本小题满分14分）已知函数，x其中a>0.（I）求函数的单调区间；（II）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数在区间上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间上的最小值。解(1),由得当变化时,的变化情况如下表:0-0+极大值极小值故函数的单调递增区间是，单调递减区间是.(2)由(1)知在区间(-2,-1)内单调递增,在(-1,0)内单调递减,从而函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,当且仅当,解得.所以,的取值范围为.（3）时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，在上的最大值，而最小值为与中的较小者，由知，当时，故，所以，而在上单调递增，因此，所以在上的最小值为.当时,且, 下面比较的大小. 由在上单调递增,有 又由, 从而 所以综上,函数在区间上的最小值为.29（2012浙江理）(本小题满分14分)已知a0，bR，函数()证明：当0x1时，()函数的最大值为|2ab|a；() |2ab|a0；() 若11对x0，1恒成立，求ab的取值范围解：()()当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，此时的最大值为：|2ab|a；综上所述：函数在0x1上的最大值为|2ab|a；() 要证|2ab|a0，即证|2ab|a亦即证在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a，令当b0时，0在0x1上恒成立，此时的最大值为：|2ab|a；当b0时，在0x1上的正负性不能判断，|2ab|a；综上所述：函数在0x1上的最大值小于(或等于)|2ab|a即|2ab|a0在0x1上恒成立()由()知：函数在0x1上的最大值为|2ab|a，且函数在0x1上的最小值比(|2ab|a)要大11对x0，1恒成立，|2ab|a1取b为纵轴，a为横轴则可行域为：和，目标函数为zab作图如下：由图易得：当目标函数为zab过P(1，2)时，有所求ab的取值范围为：30. (2012浙江文)（本题满分15分）已知函数求的单调区间证明：当时，解： 由题意得 当时，恒成立，此时的单调递增区间为 当时，此时函数的单调递增区间为和单调递减区间为 由于故当时，当时，设于是010+1减极小值增1所以，所以当时，故