高考数学试卷解析版全国卷文理两份.doc

2011年高考题全国卷II数学试题·文科全解全析科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(文科)知识点检索号新课标题目及解析1（1）设集合,则（A） （B） （C） （D）【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求,进而求出其补集为.【精讲精析】选D. .4（2）函数的反函数为（A） （B）（C） （D）【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。【精讲精析】选B.在函数中，且反解x得，所以的反函数为.20（3）设向量满足,则（A） （B） （C） （D）【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。29（4）若变量x，y满足约束条件，则的最小值为（A）17 （B）14 （C）5 （D）3【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函数的z的取值也其在y轴的截距是正相关关系，进而确定过直线x=1与x-3y=-2的交点时取得最小值。【精讲精析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5. 24（5）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（A） （B） （C） （D）【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。11（6）设为等差数列的前项和，若，公差，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选D.19（7）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A） （B） （C） （D）【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。【精讲精析】选C. 由题,解得，令，即得.40(8) 已知直二面角，点A，,C为垂足，点B，,D为垂足.若AB=2，AC=BD=1，则CD= （A） 2 （B） （C） （D）1【思路点拨】解决本题关键是找出此二面角的平面角，然后把要求的线段放在三角形中求解即可。【精讲精析】选C. 在平面内过C作，连接BM，则四边形CMBD是平行四边形，因为，所以，又,就是二面角的平面角。.所以代入后不难求出。45(9)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有(A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种【思路点拨】解本题分两步进行：第一步先选出2人选修课程甲，第二步再把剩余两人分别选乙、丙.【精讲精析】选A.第一步选出2人选修课程甲有种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有种选法，根据分步计数原理，有种选法。6(10)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则= (A) - (B) (C) (D)【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间0,1上进行求值。【精讲精析】选A.先利用周期性，再利用奇偶性得: .42(11)设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离= (A)4 (B) (C)8 (D) 【思路点拨】本题根据条件确定出圆心在直线y=x上并且在第一象限是解决这个问题的关键。【精讲精析】选D.由题意知圆心在直线y=x上并且在第一象限,设圆心坐标为(a,a)(a>0),则,求出a=1,a=9.所以C1(1,1),C2(9,9),所以由两点间的距离公式可求出.42(12)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】选B.作示意图如，由圆M的面积为4，易得，中，。故.45(13)(1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意.【精讲精析】0. 由得的系数为, x9的系数为,而.17(14)已知a(，)，tan=2，则cos= .【思路点拨】本题考查到同角三角函数的基本关系式，再由正切值求余弦值时，要注意角的范围，进而确定值的符号。【精讲精析】 由a(，)，tan=2得.39（15）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .【思路点拨】找出异面直线AE与BC所成的角是解本题的关键。只要在平面A1B1C1D1内过E作及B1C1的平行线即可。【精讲精析】 取A1B1的中点M连接EM，AM，AE，则就是异面直线AE与BC所成的角。在中，。33(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。【精讲精析】6.由角平分线定理得：,故.12(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) 设等比数列的前n项和为,已知求和.【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a1和公比q的方程，求出a1和q，然后利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解即可。【精讲精析】设的公比为q,由题设得解得或，当时，当时，.21（18）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知. ()求B；（）若.【思路点拨】第（I）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。（II）在（I）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解。【精讲精析】(I)由正弦定理得由余弦定理得。故，因此。（II）故.46(19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立. (I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； （）求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.【思路点拨】此题第（I）问所求概率可以看作“该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险”和“该地的1位车主购买甲种保险”两个事件的和。由于这两个事件互斥，故利用互斥事件概率计算公式求解。(II)第（II）问，关键是求出“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”的概率，然后再借助n次独立重复试验发生k次的概率计算公式求解即可.【精讲精析】记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买。（I）P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+BP(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.(II)D=,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,P(E)=.39(20）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形. (I) 证明：(II) 求AB与平面SBC所成角的大小。【思路点拨】第（I）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB这个条件，找出AB的中点E，连结SE，DE，就做出了解决这个问题的关键辅助线。(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB平行的其它线进行转移求解。【精讲精析】证明：（I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2。连结SE，则又SD=1，故所以为直角。由，得,所以.SD与两条相交直线AB、SE都垂直。所以（II）由知，作，垂足为F，则,作，垂足为G，则FG=DC=1。连结SG，则又，,故，作，H为垂足，则.即F到平面SBC的距离为。由于ED/BC，所以ED/平面SBC，E到平面SBC的距离d也为。设AB与平面SBC所成的角为，则,.解法二：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系C-xyz,设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）。又设S（x,y,z），则x>0,y>0,z>0.(I)由得故x=1.由得，又由得，即，故。于是，故，又所以.（II）设平面SBC的法向量，则又故取得，又.故AB与平面SBC所成的角为.53（21）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效)已知函数()证明：曲线（）若求a的取值范围。【思路点拨】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出直接方程。(II)第（II）问是含参问题，关键是抓住方程的判别式进行分类讨论.【精讲精析】解：（I）.由得曲线在x=0处的切线方程为由此知曲线在x=0处的切线过点（2，2）。（II）由得（i）当时，没有极小值；(ii)当或时，由得故。由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得综合(i)(ii)得的取值范围是。35（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足()证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.【精讲精析】 (I)设直线，与联立得由得,所以点P在C上。（II）法一：同理所以互补，因此A、P、B、Q四点在同一圆上。法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为由得、的交点为,故.所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科)知识点检索号新课标题目及解析（1）复数，为的共轭复数，则（A） （B） （C） （D）【思路点拨】先求出的共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。【精讲精析】选B.（2）函数的反函数为（A） （B）（C） （D）【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。【精讲精析】选B.在函数中，且反解x得，所以的反函数为.（3）下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是（A） （B） （C） （D）【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。（4）设为等差数列的前项和，若，公差，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通项公式即可求解，运算稍简。【精讲精析】选D.（5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于（A） （B） （C） （D）【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。【精讲精析】选C. 由题,解得，令，即得.(6)已知直二面角，点,C为垂足，为垂足若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于(A) (B) (C) (D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明平面，进而平面ABC,所以过D作于E，则DE就是要求的距离。【精讲精析】选C.如图，作于E，由为直二面角，得平面，进而，又，于是平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离。在中，利用等面积法得.(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。【精讲精析】选B.分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有种。总的赠送方法有10种。(8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。【精讲精析】选A.切线方程是：,在直角坐标系中作出示意图，即得。(9)设是周期为2的奇函数，当0x1时，=，则= (A) - (B) (C) (D)【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间0,1上进行求值。【精讲精析】选A.先利用周期性，再利用奇偶性得: .(10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点则=(A) (B) (C) (D) 【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。【精讲精析】选D.联立，消y得，解得.不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求，利用余弦定理.(11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。【精讲精析】选B.作示意图如，由圆M的面积为4，易得，中，。故.(12)设向量满足，则的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时，最大.【精讲精析】选A.如图，构造，所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时，最大，最大值为2.(13)(1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意.【精讲精析】0. 由得的系数为, x9的系数为,而.(14)已知a(，)，sin=，则tan2= 【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。【精讲精析】.由a(，)，sin=得,.(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。【精讲精析】6.由角平分线定理得：,故.(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.【精讲精析】.延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知AC=90°，a+c=b，求C.【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合AC=90°,得到.即可求解。【精讲精析】选D.由，得A为钝角且，利用正弦定理，可变形为，即有，又A、B、C是的内角，故或(舍去)所以。所以.(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为05，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；()X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：，解得。（I） 设所求概率为P1，则.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。（II） 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为。所以X的期望是20人。（19）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.（）证明：;（)求与平面所成角的大小.【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。【精讲精析】计算SD=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可证又，因此，.（II）过D做，如图建立空间直角坐标系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),可计算平面SBC的一个法向量是.所以AB与平面SBC所成角为.（20）设数列满足且（）求的通项公式；（）设【思路点拨】解本题突破口关键是由式子得到是等差数列，进而可求出数列的通项公式.（II）问求出的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。【精讲精析】 (I) 是公差为1的等差数列，所以(II).（21）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足()证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.【精讲精析】 (I)设直线，与联立得由得,所以点P在C上。（II）法一：同理所以互补，因此A、P、B、Q四点在同一圆上。法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为由得、的交点为,故.所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。【精讲精析】(I)所以在上单增。当时，。（II）由(I)，当x<0时，,即有故于是,即.利用推广的均值不等式：另解：，所以是上凸函数，于是因此，故综上：